Chapitres Maths en ECG1

Cours en ligne Maths en ECG1

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Cours : Convergences et approximations en ECG1

Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Méthodes – Inégalités & convergences de suites de variables aléatoires

Méthode 1 : Savoir utiliser l’inégalité de Markov.

On rappelle l’inégalité de Markov : si $X$ est une variable aléatoire positive ayant une espérance, alors pour tout $a > 0,$ on a

$\mathbb{P} \left( X \ge a \right)$ $\le \dfrac{ \mathbb{E} \left( X \right) }{a}.$
L’inégalité de Markov sert souvent à établir des inégalités à condition de reconnaître la loi d’une variable aléatoire classique à valeurs positives.

Exemple : Soit $\lambda > 0.$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*,$

$\displaystyle\displaystyle\sum_{k=n}^{+ \infty} \dfrac{\lambda^k}{k!}$ $\le \dfrac{\lambda e^{\lambda}}{n}.$

Réponse :

On introduit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda.$ $X$ est à valeurs positives et admet une espérance égale à $\lambda.$

En utilisant l’inégalité de Markov, pour tout

$n \in \mathbb{N}^*,$

$\mathbb{P} \left( X \ge n \right)$

$\le \dfrac{\mathbb{E} \left( X \right)}{n}$ soit

$\displaystyle\sum_{k=n}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( X = k \right)$

$\le \dfrac{\lambda}{n}.$

On obtient :

$\displaystyle\sum_{k=n}^{+ \infty} e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^k}{k!} \le \dfrac{\lambda}{n},$ il suffit de multiplier par

$e^{\lambda} > 0$ pour obtenir l’inégalité souhaitée.

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Méthode 2 : Savoir utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Soit $X$ une variable aléatoire ayant une variance. Alors, pour tout $\mathbb{E}psilon > 0,$

$\mathbb{P} \left( \left| X - \mathbb{E} \left( X \right) \right| \ge \epsilon \right)$ $\le \dfrac{V \left( X \right)}{\epsilon^2}.$
Cette inégalité servira notamment dans les méthodes suivantes lorsque l’on parlera de convergence de suites de variables aléatoires.

Exemple : Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2.$ Montrer que, pour tout $\alpha > 0,$

$\mathbb{P} \left( \mu - \alpha \sigma < X < \mu + \alpha \sigma \right)$ $\le 1 - \dfrac{1}{\alpha^2}.$

Réponse : On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $X,$ cela donne :

$\mathbb{P} \left( \left| X - \mu \right| \ge \alpha \sigma \right)$

$\le \dfrac{\sigma^2}{ \left( \alpha \sigma \right)^2}$

$= \dfrac{1}{\alpha^2}.$
On conclut en passant à l’événement complémentaire.

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Méthode 3 : Sur la convergence en probabilité.

On rappelle qu’une suite de variables aléatoires $\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers une variable aléatoire $X$ si : pour tout $\mathbb{E}psilon > 0$

$\lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \left| X_n - X \right| > \mathbb{E}psilon \right)$ $= 0.$
On écrit $X_n \overset{\mathbb{P}}{\to} X.$

Les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev sont très utiles pour montrer la convergence en probabilité.

Méthode 4 : Sur la convergence en loi.

On suppose que pour tout $n \in \mathbb{N},$ $X_n$ est une variable aléatoire réelle définie sur $\left( \Omega, \mathcal A , \mathbb{P} \right)$ de fonction de répartition $F_{X_n}$ et que $X$ une variable aléatoire réelle définie sur le même espace probabilisé dont on note $F_X$ la fonction de répartition.

On dit que la suite de variables aléatoires $\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $X$ en loi si

$\lim_{n \to + \infty} F_{X_n} \left( a \right)$ $= F_X \left( a \right),$
en tout point $a$ où $F_X$ est continue. On écrit $X_n \overset{\mathcal L}{\to} X.$

Dans le cas où les variables aléatoires $X_n$ et $X$ sont à valeurs dans $\mathbb{N},$ il est plus simple d’utiliser la caractérisation suivante : la suite de variables aléatoires $\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en loi vers $X$ si et seulement si,

pour tout $k \in \mathbb{N},$ $\lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( X_n = k \right)$ $= \mathbb{P} \left( X = k \right).$

On retiendra le résultat suivant au programme :

Soit $\lambda > 0$ et $\left( p_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels de $\left] 0 , 1 \right[$ telle que $\lim_{n \to + \infty} n p_n$ $= \lambda.$ On suppose que tout $n \in \mathbb{N}^*,$ $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p_n.$

Alors $\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre $\lambda.$

Méthode 5 : Utiliser le théorème central limite pour des variables aléatoires binomiales ou de loi de Poisson.

On rappelle l’énoncé :

Si $\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite de variables aléatoires telle que $X_n$ suit une loi binomiale $\mathcal B \left( n , p \right)$ (respectivement $X_n$ de loi $\mathcal P \left( n \lambda \right)$ ), alors la suite de variables aléatoires centrées réduites $\left( X_n^* \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

On rappelle que $X_n^* = \dfrac{X_n - \mathbb{E} \left( X_n \right)}{\sqrt{ V \left( X_n \right) }}.$

Le théorème dit que

$\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \dfrac{X_n - \mathbb{E} \left( X_n \right)}{\sqrt{ V \left( X_n \right) }} \le x \right)$ $= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt.$

Si $X_n$ suit une loi $\mathcal B \left( n , p \right),$

$\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \dfrac{X_n - np}{\sqrt{ np q }} \le x \right)$ $= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt.$

Si $X_n$ suit une loi $\mathcal P \left( n \lambda \right),$ on a

$\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \dfrac{X_n - n \lambda}{\sqrt{ n \lambda }} \le x \right)$ $= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt.$

Exemple : Dans un stade, il y a $20 \, 000$ supporters. On estime qu’un supporter mange un sandwich avec une probabilité de $\dfrac{4}{10}$ et le choix de manger un sandwich ou non ne dépend pas de ce que font les autres supporters.

Combien le club doit-il acheter de sandwichs pour que la probabilité qu’il y ait rupture de stock soit inférieur à $\dfrac{5}{100}$ ?

Indications :

$\bullet$ On admettra que l’on peut approcher une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ par une loi normale $\mathcal N \left( np , \sqrt{ np \left( 1 - p \right) } \right)$ lorsque $n \ge 30,$ $np \ge 5$ et $n \left( 1 - p \right) \ge 5.$

$\bullet$ On utilisera le fait suivant : si $Z$ suit la loi normale centrée réduite et $x \in \mathbb{R}$ ,

$\mathbb{P} \left( Z \ge x \right)$ $\le \dfrac{5}{100} \Leftrightarrow x \ge 1,645.$

Réponse :

Soit $X$ le nombre de sandwichs demandés par les supporters. $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 20\,000$ et $p = \dfrac{4}{10}.$

Comme l’événement

$\left( X > m \right)$ signifie que le stade est en rupture de stock de sandwichs (les supporters ont demandé plus de sandwichs qu’il y en a de disponibles), l’énoncé demande de trouver le nombre de sandwichs

$m$ que le stade achète pour que

$\mathbb{P} \left( X > m \right) \ge \dfrac{5}{100}.$

Comme

$n= 20 \,000 \ge 30,$

$np = 8 \, 000 \ge 5$ et

$n \left( 1 - p \right) = 12 \,000 \ge 5,$ d’après l’indication, on peut approcher

$X$ par la loi normale

$\mathcal N \left( 8 \, 000 , 40 \sqrt{3} \right).$

Ainsi

$\mathbb{P} \left( X > m \right) \approx \mathbb{P} \left( Y > m \right)$ où

$Y$ suit la loi normale

$\mathcal N \left( 8 \, 000 , 40 \sqrt{3} \right).$

Finalement, si

$Z$ suit la loi normale centrée réduite, on a :

$\mathbb{P} \left( X > m \right)$

$\approx \mathbb{P} \left( Z > \dfrac{m - 8 \, 000}{40 \sqrt{3}} \right).$
Ainsi, il suffit de trouver

$m$ tel que

$\mathbb{P} \left( Z > \dfrac{m - 8 \, 000}{40 \sqrt{3}} \right)$

$\le \dfrac{5}{100}.$

D’après une indication de l’énoncé, on a donc :

$\dfrac{m - 8 \,000}{40 \sqrt{3}} \ge 1,645$ soit

$m \ge 8 \,114.$

Il suffit que le stade achète environ $8 \,114$ sandwichs.

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