Chapitres Maths en ECG1

Corrigés – Convergences et approximations en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Inégalités classiques, convergences de suites de variables aléatoires

Exercice :

1) a) $x^{3 / 2} g_n \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{\sim} \left( x + 1 \right)^{3 / 2} \dfrac{\left( \ln \left( 1 +x \right) \right)^n}{\left( x + 1 \right)^2}$ $\underset{x \to + \infty}{\sim} \dfrac{\left( \ln \left( 1 +x \right) \right)^n}{\left( x + 1 \right)^{1 / 2}}.$

Donc

$\lim_{x \to + \infty} x^{3 / 2} g_n \left( x \right) = 0$ par croissance comparée, soit

$g_n \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^{3 / 2}} \right).$

b) La fonction $g_n$ est continue sur $\left[ 0 , + \infty \right[$ à valeurs positives et $g_n \left( x \right) \underset{x \to +\infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^{3 / 2}} \right)$ ; comme l’intégrale $\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{x^{3 / 2}} dx$ converge, on en déduit que l’intégrale $I_n = \int_0^{+ \infty} g_n \left( t \right) dt$ est convergente.

c) On a $I_0 = \int_0^{+ \infty} \dfrac{1}{\left( 1 +x \right)^2}$ $= \lim_{x \to + \infty} \left[ - \dfrac{1}{1 + t } \right]_0^x = 1.$

d) Soit $A > 0.$ On fait une intégration par parties sur $\left[ 0 , A \right]$ en utilisant les fonctions de classe $C^1$ $u :x \mapsto- \dfrac{1}{1 +x}$ et $v : x \mapsto \left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^n.$ On a

$\int_1^A \dfrac{\left( \ln \left( 1 +x \right) \right)^{n + 1} }{\left( 1 + x \right)^2} dx$

$= \left[ \dfrac{- \left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{n + 1}}{1 + t} \right]_0^x$

$+ \left( n + 1 \right) \int_0^x \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^n}{\left( 1 + x \right)^2} dx.$
Puis si

$A$ tend vers

$+ \infty,$ comme

$\lim_{A \to + \infty} \left( \dfrac{\left( \ln \left( 1 + A \right) \right)^{n + 1}}{1 + A} \right) = 0,$ on obtient

$I_{n + 1} = \left( n + 1 \right) I_n.$

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On montre facilement par récurrence que

$I_n = n!$ (on rappelle que

$I_0 =1$ ).

2) a) $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ (on vérifie qu’elle est bien continue en $0$ car les limites à droite et à gauche de $f_n$ sont égales à $f_n \left( 0 \right)$ ), $f_n$ est à valeurs positives, l’intégrale $\int_{-\infty}^{+ \infty} f_n \left( t \right) dt$ converge et est égale à $\dfrac{1}{n!} \int_{- \infty}^{+ \infty} g_n \left( t \right) dt$ $= \dfrac{1}{n!} I_n = 1.$

On a donc prouvé que

$f_n$ est une densité de probabilité.

b) La fonction $x \mapsto x f_n \left( x \right)$ est continue sur $\left[ 0 , + \infty \right[.$

Pour $x \ge 1,$ $x f_n \left( x \right)$ $\ge \dfrac{x \left( \ln \left( 2 \right) \right)^n}{\left( 1 +x \right)^2},$ l’intégrale $\int_0^{+ \infty} \dfrac{x}{\left( 1 + x \right)^2} dx$ diverge car $\dfrac{x}{\left( 1 +x \right)^2} \underset{x \to 0}{\sim} \dfrac1x$ donc l’intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_n \left( t \right) dt$ diverge. La variable $X_n$ n’a pas d’espérance.

c) Comme $f_n$ est nulle sur $\left] - \infty , 0 \right[,$ pour $x < 0,$ $F_n \left( x \right) = 0.$

d) Pour $x \ge 0,$ $F_0 \left( x \right)$ $= \int_{- \infty}^x f_0 \left( t \right) dt$ $= \int_0^x \dfrac{1}{\left( 1 + t \right)^2} dt$ $= \left[ - \dfrac{1}{1 + t } \right]_0^x$ $= \dfrac{x}{x + 1}.$

e) Soit $x \ge 0$ et $k \in \mathbb{N}^*,$ en intégrant par parties en utilisant les fonctions $C^1$ sur $\left[ 0 , x \right],$ $u : t \mapsto - \dfrac{1}{1 + t}$ et $v : t \mapsto \left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^k$ avec $v' : t \mapsto k \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{k -1}}{1 + t}.$

$F_k \left( x \right)$

$= \int_0^x f_k \left( t \right) dt$

$= \int_0^x \dfrac{ \left(\ln \left( 1 + t \right) \right)^k}{k! \left( 1 + t \right)^2} dt$

$= \left[ - \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^k}{k! \left( 1 + t \right)} \right]_0^x$

$+ \dfrac{k}{k!} \int_0^x \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{k - 1}}{\left( 1 + t \right)^2} dt.$
On obtient alors

$F_k \left( x \right) - F_{k - 1} \left( x \right)$

$= - \dfrac{1}{k!} \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{1 + x}.$

Puis si

$n \in \mathbb{N}^*,$ par sommation puis télescopage :

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( F_k \left( x \right) - F_{k - 1} \left( x \right) \right)$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^n - \dfrac{1}{k!} \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{1 + x},$
soit

$F_n \left( x \right) - F_0 \left( x \right)$

$= - \dfrac{1}{1 + x} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}.$ Or

$F_0 \left( x \right)$

$= 1 - \dfrac{1}{1 + x},$

$- \dfrac{1}{1 + x}$ est le terme pour

$k=0$ de la somme située à droite, on en déduit que si

$n \ge 1$ et

$x \ge 0,$

$F_n \left( x \right)$

$= 1 - \dfrac{1}{1 + x } \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}.$

f) Pour $x \in \left[ 0 , + \infty \right[,$ on reconnaît une somme partielle d’une série exponentielle, donc $\lim_{n \to + \infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}$ $= e^{\ln \left( 1 + x \right)}$ $= 1 + x$ et $\lim_{n \to + \infty} F_n \left( x \right) = 0.$

$x < 0,$ on a aussi

$\lim_{n \to + \infty} F_n \left( x \right) = 0.$

g) La limite de la suite de fonctions de répartitions $\left( F_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ n’est pas une fonction de répartition, donc la suite de variables aléatoires $\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge pas en loi.

3) a) $X_n$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\left[ 0 , + \infty \right[,$ donc on peut définir la variable aléatoire $Y_n$ et $Y_n$ est à valeurs positives.

b) Si $x \in \mathbb{R},$ $H_n \left( x \right)$ $= \mathbb{P} \left( Y_n \le x \right)$ $= \mathbb{P} \left( \ln \left( 1 + X_n \right) \le x \right).$

Par croissance de la fonction exponentielle,

$H_n \left( x \right)$

$= \mathbb{P} \left( 1 + X_n \le e^x \right)$

$= \mathbb{P} \left( X_n \le e^x - 1 \right)$

$= F_n \left( e^x - 1 \right).$

c) On a montré que la fonction $F_n$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ de dérivée égale à $f_n$ (la fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ ), donc par composée, la fonction $H_n$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R},$ $Y_n$ admet une densité $h_n = H_n'.$

Pour tout

$x \in \mathbb{R},$

$h_n \left( x \right)$

$= e^x f_n \left( e^x - 1 \right).$

$x \ge 0,$

$e^x - 1 \ge 0$ et

$f_n \left( e^x - 1 \right)$

$= \dfrac{\left( \ln \left( 1 + e^x - 1 \right) \right)^n}{n! \left( 1 + e^x - 1 \right)^2}$

$= \dfrac{x^n}{n! e^{2x}}.$

On en déduit que pour tout

$x \in \mathbb{R},$

$h_n \left( x \right)$

$= \dfrac{x^n}{n! e^{2x}}$ si

$x \ge 0$ et

$h_n \left( x \right) = 0$ si

$x < 0.$

d) La fonction $\varphi_n x : \mapsto x h_n \left( x \right)$ est continue sur $\mathbb{R},$ nulle sur $\left] - \infty , 0 \right[$ à valeurs positives et vérifie $\varphi_n \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^2} \right),$ donc l’intégrale $\int_0^{+ \infty} x h_n \left( x \right) dx$ est absolument convergente.

$Y_n$ admet une espérance et

$\mathbb{E} \left( Y_n \right)$

$= \int_0^{+ \infty} x h_n \left( x \right) dx$

$= \left( n + 1 \right) \int_0^{+ \infty} h_{n + 1} \left( x \right) dx$

$= n+ 1$ car

$h_{n + 1}$ est une densité d’une variable aléatoire à valeurs dans

$\left[ 0 , + \infty \right[.$

e) On montre de même que l’intégrale $\int_0^{+ \infty} x^2 h_n \left( x \right) dx$ est convergente et que

$\mathbb{E} \left( X_n^2 \right)$

$= \int_0^{+ \infty} x^2 h_n \left( x \right) dx$

$= \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) \int_0^{+ \infty} h_{n + 2} \left( x \right) dx$

$= \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right).$
Alors

$V \left( X_n \right)$

$= \mathbb{E} \left( X_n^2 \right)$

$- \left( \mathbb{E} \left( X_n \right) \right)^2$

$= \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) - \left( n + 1 \right)^2$

$= n + 1.$

f) $Y_0$ suit une loi exponentielle de paramètre $1.$ Pour tout $k \in \mathbb{N}^*,$ on a

$\int_0^{+ \infty} x^k h_0 \left( x \right) dx$ $= k! \int_0^{+ \infty} h_0 \left( x \right) dx$ $= k!.$

g) $\mathbb{E} \left( Z_n \right)$ $= \dfrac{1}{n + 1} \mathbb{E} \left( Y_n \right)$ $= 1$ et $V \left( Z_n \right)$ $= \dfrac{1}{\left( n + 1 \right)^2} V \left( Y_n \right)$ $= \dfrac{1}{n + 1}.$

Par application de Bienaymé Tchebychev,

$\mathbb{P} \left( \left| Z_n - \mathbb{E} \left( Z_n \right) \right| \ge \epsilon \right)$

$\le \dfrac{V \left( Z_n \right)}{\epsilon^2}.$
Par encadrement,

$\lim_{n \to + \infty } \mathbb{P} \left( \left| Z_n - \mathbb{E} \left( Z_n \right) \right| \ge \epsilon \right) = 0.$

La suite de terme général $Z_n = \dfrac{Y_n}{n + 1}$ converge en probabilité vers une variable aléatoire constante égale à $1.$

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