Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Corrigés – Convergences et approximations en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Inégalités classiques, convergences de suites de variables aléatoires
Exercice :
1) a)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{x \to + \infty} x^{3 / 2} g_n \left( x \right) = 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b254b162d4eee74560d50c51505f5de_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com g_n \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^{3 / 2}} \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62161f7af02d02025ea5fc5594ba00a8_l3.png)
b) La fonction est continue sur
à valeurs positives et
; comme l’intégrale
converge, on en déduit que l’intégrale
est convergente.
c) On a
d) Soit On fait une intégration par parties sur
en utilisant les fonctions de classe
et
On a
![Rendered by QuickLaTeX.com \int_1^A \dfrac{\left( \ln \left( 1 +x \right) \right)^{n + 1} }{\left( 1 + x \right)^2} dx](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d239824ab9169afd4e2db6d7b7bf6c6f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left[ \dfrac{- \left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{n + 1}}{1 + t} \right]_0^x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ddced627a2214311da20a01fe92d7c8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com + \left( n + 1 \right) \int_0^x \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^n}{\left( 1 + x \right)^2} dx.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-385ac305af21240db021465f23ff56e3_l3.png)
Puis si
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com + \infty,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5db06aac704a7a699035ba8b6100f070_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{A \to + \infty} \left( \dfrac{\left( \ln \left( 1 + A \right) \right)^{n + 1}}{1 + A} \right) = 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c6ef5f2842b641a2df145e0873b4509_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com I_{n + 1} = \left( n + 1 \right) I_n.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-633c672a3133aac1b79550a5419ed307_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com I_n = n!](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16679857c6c4a0f961fb892c89a35ab8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com I_0 =1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a11e8519f142703895e71327412ded6_l3.png)
2) a) est continue sur
(on vérifie qu’elle est bien continue en
car les limites à droite et à gauche de
sont égales à
),
est à valeurs positives, l’intégrale
converge et est égale à
![Rendered by QuickLaTeX.com f_n](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f9d10af3355ac97a7c7fbc8a8396919_l3.png)
b) La fonction est continue sur
Pour
l’intégrale
diverge car
donc l’intégrale
diverge. La variable
n’a pas d’espérance.
c) Comme est nulle sur
pour
d) Pour
e) Soit et
en intégrant par parties en utilisant les fonctions
sur
et
avec
![Rendered by QuickLaTeX.com F_k \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f19f1d7397eea2a3616e7f7090313a1d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \int_0^x f_k \left( t \right) dt](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f01b110a5709f3b2839f1a23f6bbfc22_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \int_0^x \dfrac{ \left(\ln \left( 1 + t \right) \right)^k}{k! \left( 1 + t \right)^2} dt](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c46598aadeb65124e5cb527afb460602_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left[ - \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^k}{k! \left( 1 + t \right)} \right]_0^x](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f79c80198db2fe5c9f168837c957b94_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com + \dfrac{k}{k!} \int_0^x \dfrac{\left( \ln \left( 1 + t \right) \right)^{k - 1}}{\left( 1 + t \right)^2} dt.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-946e0bebf8f61154b720aade4ec95be3_l3.png)
On obtient alors
![Rendered by QuickLaTeX.com F_k \left( x \right) - F_{k - 1} \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2e7904069828955ba4236628e248748_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = - \dfrac{1}{k!} \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{1 + x}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06ba03d79b248e5e451886956d97762d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n \in \mathbb{N}^*,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c59dc94bf325f17f053aef58a21e5a4f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( F_k \left( x \right) - F_{k - 1} \left( x \right) \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de668d10d5e90036dee168bbce0142c0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle\sum_{k=1}^n - \dfrac{1}{k!} \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{1 + x},](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c1d604ac855edf641b21a693a099263_l3.png)
soit
![Rendered by QuickLaTeX.com F_n \left( x \right) - F_0 \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db58a865f45074179758c478a9de1aa9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = - \dfrac{1}{1 + x} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-132feaa7c04ebbf159dbf52c230ff605_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F_0 \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fb3f58790339f3ca80699668e1479a6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = 1 - \dfrac{1}{1 + x},](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00ac6d835ae9bdb417716e1858e30b98_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com - \dfrac{1}{1 + x}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fdf4860d4d3bd2b7f7ab16ea40a82ff_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k=0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9e234749ecc0a2852f141f388e2d253_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n \ge 1](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3608d7adc8e1914b1c6a5e0929adc5b0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x \ge 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a8dd5d2edf7b152fafab04527dd1ea0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F_n \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5131d6da91b6b2e3ee1bc2c6f818c2bb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = 1 - \dfrac{1}{1 + x } \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{\left( \ln \left( 1 + x \right) \right)^k}{k!}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95b436a8f3c58c56f0946b7f4d0590a7_l3.png)
f) Pour on reconnaît une somme partielle d’une série exponentielle, donc
et
![Rendered by QuickLaTeX.com x < 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75ed2e3be22d39c2a2f3bf33e9acb859_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{n \to + \infty} F_n \left( x \right) = 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-428808217ca7725eb3d0e58e44a2484a_l3.png)
g) La limite de la suite de fonctions de répartitions n’est pas une fonction de répartition, donc la suite de variables aléatoires
ne converge pas en loi.
3) a) est une variable aléatoire à valeurs dans
donc on peut définir la variable aléatoire
et
est à valeurs positives.
b) Si
![Rendered by QuickLaTeX.com H_n \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3f1d551c0aae7a3ad57492e1e6acf0b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \mathbb{P} \left( 1 + X_n \le e^x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8094a2c3924bc130c50b4898dfc97d35_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \mathbb{P} \left( X_n \le e^x - 1 \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25a2a48bd1a92d962a24fb24bfeb9a82_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = F_n \left( e^x - 1 \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d61b9b039c7d05c0104ae706644bfe2a_l3.png)
c) On a montré que la fonction est de classe
sur
de dérivée égale à
(la fonction
est continue sur
), donc par composée, la fonction
est de classe
sur
admet une densité
![Rendered by QuickLaTeX.com x \in \mathbb{R},](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-118f1462664ef7d29deab8371f1b18de_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com h_n \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95bd3a5cccc841ba62cb867cb5f553df_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = e^x f_n \left( e^x - 1 \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c8345eb93a024214d1c5dd4feb2f42a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x \ge 0,](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a8dd5d2edf7b152fafab04527dd1ea0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e^x - 1 \ge 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8822f7a0f84fee5c8041af55abd91ca5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f_n \left( e^x - 1 \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfd315dec890538339a28f0d5442bb2f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \dfrac{\left( \ln \left( 1 + e^x - 1 \right) \right)^n}{n! \left( 1 + e^x - 1 \right)^2}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1663fb8b3ba3a9093ecc1b325be1a74_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \dfrac{x^n}{n! e^{2x}}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3a89b3259c57f82290ad98f52ce2f61_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x \in \mathbb{R},](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-118f1462664ef7d29deab8371f1b18de_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com h_n \left( x \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95bd3a5cccc841ba62cb867cb5f553df_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \dfrac{x^n}{n! e^{2x}}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e1deacb5c028e68b0362ab60a7625d2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x \ge 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6d6eeb8fb606d225736745be06032ca_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com h_n \left( x \right) = 0](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2dda47824ed9ab98ac509252a7e6dd7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x < 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4026188a6d5fba596c7bd1bde701b618_l3.png)
d) La fonction est continue sur
nulle sur
à valeurs positives et vérifie
donc l’intégrale
est absolument convergente.
e) On montre de même que l’intégrale est convergente et que
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{E} \left( X_n^2 \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e23b151bc9a03805c7b723fac606156_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \int_0^{+ \infty} x^2 h_n \left( x \right) dx](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0caf6c36e768cb3c504069439ac0580_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) \int_0^{+ \infty} h_{n + 2} \left( x \right) dx](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df7a5954193a164304894703b17f50f8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fdbb485fc0a19e2a0ec30b2a24f7e87_l3.png)
Alors
![Rendered by QuickLaTeX.com V \left( X_n \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf8a416992f67f72e05b5ee82b78fbe7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \mathbb{E} \left( X_n^2 \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc14c0dae23bdc757e1740bcca03a53c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com - \left( \mathbb{E} \left( X_n \right) \right)^2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-811c1900eafd896559ab0c46049ff4df_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) - \left( n + 1 \right)^2](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71e389e876247a20f4884c7d84238c08_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = n + 1.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b861710bcee68c970b0c9e94ffab6689_l3.png)
f) suit une loi exponentielle de paramètre
Pour tout
on a
g)
et
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( \left| Z_n - \mathbb{E} \left( Z_n \right) \right| \ge \epsilon \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5961ed233a12c40cfd3d1790b72b6882_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \le \dfrac{V \left( Z_n \right)}{\epsilon^2}.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46936912772eca577a7132da333b67c6_l3.png)
Par encadrement,
![Rendered by QuickLaTeX.com \lim_{n \to + \infty } \mathbb{P} \left( \left| Z_n - \mathbb{E} \left( Z_n \right) \right| \ge \epsilon \right) = 0.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-072e7274cc636ef60b5e00a679e52718_l3.png)
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