Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Corrigés : Matrices en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Matrices
Exercice 1 :
On remarque que où On remarque que et Comme et commutent, on peut appliquer la formule du binôme de Newton, d’où pour
.
On vérifie que cette formule est vraie pour et
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Exercice 2 :
1) Pour on pose
: « il existe tel que « .
Pour on a ainsi est vraie avec
Supposons est vraie, montrons que est vraie. Pour cela, écrivons :
,
2) Nous avons montré que la suite vérifie et La suite est donc arithmético-géométrique.
Le cours donne
On en déduit en remplaçant dans
Exercice 3 : Calcul de produit scalaire
1) Soit L’ensemble est une partie non vide de car est nilpotente. Donc admet un plus petit élément Comme on a
Si cela signifierait que et que n’est pas le plus petit élément de
Ainsi, on a et
2) On suppose inversible, il existe donc telle que
En multipliant par : donc ce qui est impossible par choix de
La matrice n’est pas inversible.
3) On a, pour tout
.
d’où est inversible et
Exercice 4 :
1) Pour une matrice on a
soit
Cela peut se réécrire sous la forme
Ainsi est inversible et
Cette matrice étant de taille il n’y a pas de formule analogue à celle obtenue pour les matrices (en fait, si mais elle est compliquée).
Soit cherchons tel que Cela donne le système suivant :
Ainsi
Ainsi est inversible et
On procède de la même manière : soit cherchons tel que Cela donne le système suivant :
On applique la méthode du pivot de Gauss. On commence par faire et pour obtenir
la dernière ligne donne directement La deuxième ligne donne
La première ligne donne finalement
On a
.
Soit
2) La première colonne étant nulle, on a ainsi
donc n’est pas inversible.
On remarque que ainsi et donc n’est pas inversible.
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