Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Corrigés : Polynômes en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés sur les Polynômes en ECG1
Exercice 1 :
1) On pose et
Comme
il existe
et
tel que
(il existe donc
tels que
) et
Remarquons que se factorise en
Évaluons la relation en les racines de :
et
On a le système suivant :
La résolution de ce système donne
et
Ainsi
2) On commence par remarquer que Soit
le reste de la division euclidienne de
par
Comme
est un polynôme de degré au plus
Ainsi, on peut écrire
avec
Il existe donc
tel que
En évaluant cette relation en et
on a le système suivant d’équations :
La résolution donne et

3) On écrit
Comme le reste est de degré au plus
on écrit donc
En évaluant en les racines de qui sont
et
on obtient le système suivant :
.
Remarquons que la seconde ligne se retrouve grâce à la première en conjuguant. Ainsi, on doit trouver tels que
Il faut discuter selon les valeurs de
:
si
avec
alors on a :
soit
donc
si
avec
alors on a :
soit
donc
si
avec
alors on a :
soit
donc
si
avec
alors on a :
soit
donc
On écrit
Comme
le reste est de degré au plus
on écrit donc
Puis on traduit que
est divisible par
ce qui revient à dire que
. On obtient le système suivant
Le reste est égal à
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Exercice 2 :
Soit un polynôme vérifiant les conditions de l’énoncé. Comme
est racine de
, polynôme à coefficients réels, on en déduit que
est aussi racine de même ordre que
c’est-à-dire
Résumons : est racine d’ordre
donc
est divisible par
est racine d’ordre
donc
divise
est racine d’ordre
donc
divise
et enfin
est racine d’ordre
donc
divise
Remarquons que comme on a toutes les racines (comptées avec l’ordre de multiplicité). Si bien que
(attention à ne pas oublier le coefficient dominant).
On laisse le soin au lecteur de développer (ou pas) l’expression.
Exercice 3 :
1) Comme divise
il existe un polynôme
tel que
Comme
alors
2) Soit
Le polynôme divise
si, et seulement si,
(voir \textbf{méthode 2.8}).
On obtient donc les conditions nécessaires et suffisantes et
3) On utilise la relation
On a
et
Les conditions donnent



Exercice 4 :
Pour montrer que divise
il suffit de montrer que
On a bien
Comme on a bien
Exercice 5 :
Remarquons que le polynôme nul est solution. On procède par analyse-synthèse :
Analyse : Soit une solution (éventuelle) non nulle. On pose
Comme
vérifie
on a
On pose
où
et
sont des réels.
L’équation donne
Par égalité de deux polynômes, on a
Ainsi et
D’où
Synthèse : La synthèse est facile : les polynômes de la forme avec
vérifient bien l’équation
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