Chapitres Maths en ECG1
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Corrigés : Raisonnement et vocabulaire ensembliste en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Exercice 1 :
1) On procède par double inclusion.
Soit
Dire que cela signifie que En particulier, et De la même fa\c{c}on, donc on a justifié que
On a prouvé que
Soit Comme cela signifie que De la même fa\c{c}on, Donc soit
On a prouvé que
2) On procède par double inclusion.
Soit Ainsi, il existe tel que Comme De la même fa\c{c}on, puis
On a prouvé que l’inclusion est toujours vraie, même si l’on ne suppose pas injective.
Soit Il existe donc (respectivement ) tel que (respectivement ). Ainsi
Par injectivité de on a D’où
On a prouvé l’inclusion .
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Exercice 2 :
1) Comme est un ensemble fini et
soit
2) Soit, pour la proposition : » si est un ensemble fini de cardinal et une application injective de dans « .
Si et donc et est vérifiée.
On suppose que est vraie pour un entier donné.
Soit un ensemble de cardinal et
On note alors
Comme
Si l’on avait il existerait tel que ; comme est injective, on aurait donc ce qui est impossible.
Les ensembles et sont finis et disjoints, donc
En utilisant l’hypothèse de récurrence et le fait que la restriction de à est injective, il vient que
La propriété est vraie au rang ce qui termine la récurrence.
3) En appliquant le résultat de la question précédente à ensemble fini et à l’injection on en déduit
soit
4) Comme est une partie de de même cardinal que
On a établi que est surjective.
On a démontré dans cet exercice que toute application injective d’un ensemble fini dans lui-même est une bijection.
Exercice 3 :
Supposons surjective et montrons que est injective.
Soient tels que montrons que
étant surjective, il existe (respectivement ) tel que (respectivement ).
La relation évaluée en donne soit La même relation évaluée en donne Comme on a soit
Réciproquement, supposons injective et montrons que est surjective. Soit cherchons tel que La relation évaluée en donne soit Par injectivité de on récupère Ainsi est surjective.
Exercice 4 :
1) C’est vrai !
Si l’on pose : « Noël est un décembre » et : « , » il est clair que est fausse ainsi l’assertion est vraie.
2) C’est faux !
Soit la fonction définie sur par
est bijective (vérifie-le !) et n’est strictement pas monotone car (donc n’est pas strictement décroissante) et ( n’est pas strictement croissante).
3) C’est faux !
n’est pas injective car et pourtant
4) C’est vrai !
Pour s’en convaincre, il suffit de prendre la négation de chaque quantificateur. On rappelle que la négation de est et non
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Exercice 5 :
1) Soient et deux éléments de tels que Montrons que
En composant par il vient que soit
Par injectivité de on a
2) Soit trouvons tel que
Par surjectivité de il existe tel que soit En posant on a bien
3) On utilise les deux questions précédentes.
L’injectivité de assure l’injectivité de
La surjectivité de assure que est surjective.
On en déduit que est bijective et donc existe.
La composée de bijections étant une bijection, on récupère que