Chapitres Maths en ECG1
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Corrigés : Raisonnement et vocabulaire ensembliste en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Exercice 1 :
1) On procède par double inclusion.
Soit
Dire que cela signifie que
En particulier,
et
De la même fa\c{c}on,
donc on a justifié que
On a prouvé que
Soit
Comme
cela signifie que
De la même fa\c{c}on,
Donc
soit
On a prouvé que
2) On procède par double inclusion.
Soit
Ainsi, il existe
tel que
Comme
De la même fa\c{c}on,
puis
On a prouvé que l’inclusion est toujours vraie, même si l’on ne suppose pas
injective.
Soit
Il existe donc
(respectivement
) tel que
(respectivement
). Ainsi
Par injectivité de on a
D’où
On a prouvé l’inclusion .
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Exercice 2 :
1) Comme
est un ensemble fini et
soit
2) Soit, pour la proposition
: » si
est un ensemble fini de cardinal
et
une application injective de
dans
« .
Si
et
donc
et
est vérifiée.
On suppose que
est vraie pour un entier
donné.
Soit un ensemble de cardinal
et
On note alors
Comme
Si l’on avait il existerait
tel que
; comme
est injective, on aurait
donc
ce qui est impossible.
Les ensembles et
sont finis et disjoints, donc
En utilisant l’hypothèse de récurrence et le fait que la restriction de à
est injective, il vient que
La propriété est vraie au rang ce qui termine la récurrence.
3) En appliquant le résultat de la question précédente à ensemble fini et à l’injection
on en déduit
soit
4) Comme est une partie de
de même cardinal que
On a établi que est surjective.
On a démontré dans cet exercice que toute application injective d’un ensemble fini dans lui-même est une bijection.
Exercice 3 :
Supposons surjective et montrons que
est injective.
Soient tels que
montrons que
étant surjective, il existe
(respectivement
) tel que
(respectivement
).
La relation évaluée en
donne
soit
La même relation évaluée en
donne
Comme
on a
soit
Réciproquement, supposons injective et montrons que
est surjective. Soit
cherchons
tel que
La relation
évaluée en
donne
soit
Par injectivité de
on récupère
Ainsi
est surjective.
Exercice 4 :
1) C’est vrai !
Si l’on pose : « Noël est un
décembre » et
: «
, » il est clair que
est fausse ainsi l’assertion
est vraie.
2) C’est faux !
Soit la fonction définie sur
par
est bijective (vérifie-le !) et
n’est strictement pas monotone car
(donc
n’est pas strictement décroissante) et
(
n’est pas strictement croissante).
3) C’est faux !
n’est pas injective car
et pourtant
4) C’est vrai !
Pour s’en convaincre, il suffit de prendre la négation de chaque quantificateur. On rappelle que la négation de est
et non
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Exercice 5 :
1) Soient et
deux éléments de
tels que
Montrons que
En composant par il vient que
soit
Par injectivité de on a
2) Soit trouvons
tel que
Par surjectivité de il existe
tel que
soit
En posant
on a bien
3) On utilise les deux questions précédentes.
L’injectivité de assure l’injectivité de
La surjectivité de assure que
est surjective.
On en déduit que est bijective et donc
existe.
La composée de bijections étant une bijection, on récupère que