Chapitres Maths en ECG1

Corrigés : Raisonnement et vocabulaire ensembliste en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Exercice 1 :

1) On procède par double inclusion.

$\bullet$ Soit $y \in f^{- 1} \left( A \cap B \right).$

Dire que $y \in f^{- 1} \left( A \cap B \right),$ cela signifie que $f \left( y \right) \in A \cap B.$ En particulier, $f \left( y \right) \in A$ et $y \in f^{-1} \left( A \right).$ De la même fa\c{c}on, $y \in f^{-1} \left( B \right)$ donc on a justifié que $y \in f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right).$

On a prouvé que $f^{-1} \left( A \cap B \right) \subset f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right).$

$\bullet$ Soit $z \in f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right).$ Comme $z \in f^{-1} \left( A \right),$ cela signifie que $f \left( z \right) \in A.$ De la même fa\c{c}on, $f \left( z \right) \in B.$ Donc $f \left( z \right) \in A \cap B$ soit $z \in f^{- 1} \left( A \cap B \right).$

On a prouvé que $f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right) \subset f^{-1} \left( A \cap B \right).$

2) On procède par double inclusion.

$\bullet$ Soit $y \in f \left( A \cap B \right).$ Ainsi, il existe $x \in A \cap B$ tel que $y = f \left( x \right).$ Comme $x \in A,$ $y = f \left( x \right) \in f \left( A \right).$ De la même fa\c{c}on, $y \in f \left( B \right)$ puis $y \in f \left( A \right) \cap f \left( B \right).$

On a prouvé que l’inclusion $f \left( A \cap B \right) \subset f \left( A \right) \cap f \left( B \right)$ est toujours vraie, même si l’on ne suppose pas $f$ injective.

$\bullet$ Soit $z \in f \left( A \right) \cap f \left( B \right).$ Il existe donc $x_1 \in A$ (respectivement $x_2 \in B$ ) tel que $y = f \left( x_1 \right)$ (respectivement $y = f \left( x_2 \right)$ ). Ainsi $y= f \left( x_1 \right) = f \left( x_2 \right).$

Par injectivité de $f,$ on a $x_1 = x_2 \in A \cap B.$ D’où $y \in f \left( A \cap B \right).$

On a prouvé l’inclusion $f \left( A \cap B \right) \subset f \left( A \right) \cap f \left( B \right)$ .

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Exercice 2 :

1) Comme $f \left( E \right) \subset E,$ $f \left( E \right)$ est un ensemble fini et

$\mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right) \le \mathrm{card} \left( E \right)$ soit $m \le n.$

2) Soit, pour $n\in \mathbb{N}^*,$ la proposition $\mathcal P_n$ : » si $F$ est un ensemble fini de cardinal $n$ et $g$ une application injective de $F$ dans $G,$ $\mathrm{card} \left( F \right) = \mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right)$ « .

$\bullet$ Si $n=1,$ $F = \left\{ a \right\}$ et $g \left( F \right) = \left\{ g \left( a \right) \right\},$ donc $\mathrm{card} \left( F \right) = \mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right)= 1$ et $\mathcal P_1$ est vérifiée.

$\bullet$ On suppose que $\mathcal P_n$ est vraie pour un entier $n \in \mathbb{N}^*$ donné.

Soit $F$ un ensemble de cardinal $n + 1$ et $a \in F.$

On note $F' = F \backslash \left\{ a \right\},$ alors $\mathrm{card} \left( F' \right) = n.$

Comme $F = F' \cup \left\{ a \right\},$ $g \left( F \right) = g \left( F' \right) \cup \left\{ g \left( a \right) \right\}.$

Si l’on avait $g \left( a \right) \in g \left( F ' \right),$ il existerait $x \in F'$ tel que $g \left( a \right) = g \left( x \right)$ ; comme $g$ est injective, on aurait $x = a,$ donc $a \in F',$ ce qui est impossible.

Les ensembles $g \left( F' \right)$ et $\left\{ g \left( a \right) \right\}$ sont finis et disjoints, donc

$\mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right)$ $= \mathrm{card} \left( g \left( F' \right) \right) + \mathrm{card} \left( \left\{ g \left( a \right) \right\} \right)$ $= \mathrm{card} \left( g \left( F' \right) \right) + 1.$
En utilisant l’hypothèse de récurrence et le fait que la restriction de $g$ à $F'$ est injective, il vient que $\mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right) = n + 1.$

La propriété est vraie au rang $n + 1,$ ce qui termine la récurrence.

3) En appliquant le résultat de la question précédente à $E$ ensemble fini et à l’injection $f,$ on en déduit

$\mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right) = \mathrm{card} \left( E \right)$ soit $m=n.$

4) Comme $f \left( E \right)$ est une partie de $E$ de même cardinal que $E,$ $f \left( E \right) = E.$

On a établi que $f$ est surjective.

On a démontré dans cet exercice que toute application injective d’un ensemble fini dans lui-même est une bijection.

Exercice 3 :

Supposons $f$ surjective et montrons que $f$ est injective.

Soient $x_1, x_2 \in E$ tels que $f \left( x _1 \right) = f \left( x _2 \right),$ montrons que $x_1 =x_2.$

$f$ étant surjective, il existe $u_1 \in E$ (respectivement $u_2 \in E$ ) tel que $x_1 = f \left( u_1 \right)$ (respectivement $x_2 = f \left( u_2 \right)$ ).

La relation $f \circ f \circ f = f$ évaluée en $u_1$ donne $f \circ f \circ f \left( u_1 \right) = f \left( u_1 \right)$ soit $f \circ f \left( x_1 \right) = x_1.$ La même relation évaluée en $u_2$ donne $f \circ f \left( x_2 \right) = x_2.$ Comme $f \left( x_1 \right) = f\left( x_2 \right),$ on a $f \circ f \left( x_1 \right) = f \circ f \left( x_2 \right)$ soit $x_1 = x_2.$

Réciproquement, supposons $f$ injective et montrons que $f$ est surjective. Soit $y \in E,$ cherchons $x \in E$ tel que $y = f \left( x \right).$ La relation $f \circ f \circ f = f$ évaluée en $y$ donne $f \circ f \circ f \left( y \right) = f \left( y \right)$ soit $f \left( f \left( f \left( y \right) \right) \right) = f \left( y \right).$ Par injectivité de $f,$ on récupère $f \left( f \left( y \right) \right) = y.$ Ainsi $f$ est surjective.

Exercice 4 :

1) C’est vrai !

Si l’on pose $A$ : « Noël est un $26$ décembre » et $B$ : « $1 + 1 = 3$ , » il est clair que $A$ est fausse ainsi l’assertion $A \Rightarrow B$ est vraie.

2) C’est faux !

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f \left( x \right) = \begin{cases} x & \text{si} \; x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0 , 1 \right\} \\ 1 & \text{si} \; x= 0 \\ 0 & \text{si} \; x= 1 \end{cases}.$

$f$ est bijective (vérifie-le !) et $f$ n’est strictement pas monotone car $f \left( 2 \right) \ge f \left( 0 \right)$ (donc $f$ n’est pas strictement décroissante) et $f \left( 0 \right) \ge f \left( 1 \right)$ ( $f$ n’est pas strictement croissante).

3) C’est faux !

$f$ n’est pas injective car $f \left( 1 , 1 \right) = f \left( 1 , 2 \right)$ et pourtant $\left( 1 , 1 \right) \neq \left( 1 , 2 \right).$

4) C’est vrai !

Pour s’en convaincre, il suffit de prendre la négation de chaque quantificateur. On rappelle que la négation de $A \Rightarrow B$ est $A$ et non $\left( B \right).$

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Exercice 5 :

1) Soient $x$ et $y$ deux éléments de $E$ tels que $f \left( x\right) = f \left( y \right).$ Montrons que $x = y.$

En composant par $g,$ il vient que $g \left( f \left( x \right) \right) = g \left( f \left( y \right) \right)$ soit $g \circ f \left( x \right) = g \circ f \left( y \right).$

Par injectivité de $g \circ f,$ on a $x = y .$

2) Soit $y \in G,$ trouvons $x \in F$ tel que $y = g \left( x \right).$

Par surjectivité de $g \circ f,$ il existe $u \in E$ tel que $y = g \circ f \left( u \right)$ soit $y = g \left( f \left( u \right) \right).$ En posant $x = f \left( u \right) \in F,$ on a bien $y = g \left( x \right).$