Chapitres Maths en ECG1

Corrigés : Stratégies de calcul en ECG1

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Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Stratégies de calcul

Exercice 1 :

Si l’on prouve que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k - 1\right)^2 = 0,$ comme somme de termes positifs, on en déduit que pour tout $k \in [\![ 1, n ]\!],$ $\left( x_k - 1 \right)^2 = 0$ soit $x_k = 1.$

L’introduction de

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k - 1 \right)^2$ se justifie par la possibilité d’introduire les sommes données par l’énoncé :

$\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2$ et

$\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k.$

On développe donc :

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k - 1\right)^2$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_k^2 - 2x_k + 1 \right)$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2 - 2 \displaystyle\sum_{k=1 }^n x_k + \displaystyle\sum_{k=1}^n 1$

$\underset{\text{d'après l'énoncé}}{=}$

$n - 2n + n$

$=0$ .

Exercice 2 :

1) Si pour tout $k \in [\![ 1, n ]\!],$ $y_k = 0,$ alors les deux membres de l’inégalité sont nuls, l’inégalité est donc claire.

2) a) Pour démontrer que $f$ est un trinôme de degré $2,$ développons $f$ :

$f \left( t \right)$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_i + t y_i \right)^2$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x_i^2 + 2 x_i y_i t + t^2 y_i^2 \right)$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^n x_i^2 + \left(2 \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right) t + \left( \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) t^2$ .

Comme la suite

$\left( y_i \right)_{i \in [\![ 1, n ]\!]}$ est constituée d’éléments non tous nuls,

$\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \neq 0$ donc

$f$ est bien un trinôme du second degré en

$t.$

Par définition de

$f,$ il est clair que

$f \left( t \right) \ge 0$ pour tout

$t \in \mathbb{R}.$

b) Si $\Delta > 0,$ $f$ s’annule en changeant de signe, ce qui contredit $f \left( t \right) \ge 0$ pour tout $t \in \R,$ donc $\Delta \le 0.$
$\Delta$ $= \left(2 \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 - 4 \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n x_i^2 \right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \right),$
d’où

$\left( \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \le \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n x_i^2 \right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) .$

Et en passant à la racine carrée (attention $\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2} = \left| \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i \right|$ ), on a bien l’inégalité voulue.

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Exercice 3 :

1) Il faut revenir à la définition de $\sqrt[3]{x}$ : c’est le réel qui, élevé au cube donne vaut $x.$ On a

$\left( \sqrt[3]{xy} \right)^3 = xy, \qquad \text{par definition}.$

On a aussi

$\left( \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} \right)^3 = \sqrt[3]{x}^3 \times \sqrt[3]{y}^3 = xy.$

On a trouvé deux nombres qui élevés au cube donnent $xy,$ ils sont donc égaux. Finalement

$\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}.$

2) Il suffit d’écrire $\left( a + b \right)^3 = \left( a + b \right)^2 \left( a + b \right)$ et de développer.

3) On a :

$S^3$

$= \left( \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}} \right)^3$

$= 45 + 29 \sqrt{2}$

$+ 3 \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}}^2 \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$

$+ 3 \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}^2$

$+ 45 - 29 \sqrt{2}$

$= 90$

$+ 3 \sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$

$\times \left( \underbrace { \sqrt[3]{{45 + 29 \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}} }_{=S} \right)$ .

Or, un simple calcul donne

$\sqrt[3]{45 + 29 \sqrt{2}} \sqrt[3]{45 - 29 \sqrt{2}}$

$\underset{\text{question 1}}{=}$

$\sqrt[3]{\left( 45 + 29 \sqrt{2} \right) \left( 45-29 \sqrt{2} \right)}$

$= \sqrt[3]{343}$

$= 7$ ,

d’où

$S^3 = 21S + 90 .$

4) Étudions la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f \left( x \right) = x^3 - 21 x - 90.$ Un simple calcul donne $f ' \left( x \right) = 3x^2 - 21 = 3 \left( x^2 - 7 \right).$ Cela donne le tableau suivant :

On a

$M = 14 \sqrt{7 } - 90 < 0$ et

$m = -14 \sqrt{7} - 90 < 0.$ Par le tableau de variation,

$f$ est négative sur

$\left]- \infty , \sqrt{7} \right]$ car

$f \left( - \sqrt{7} \right) < 0$ et

$f$ est continue et strictement croissante sur

$\left[ \sqrt{7} , +\infty \right[$ avec

$f \left( \sqrt{7} \right) < 0$ et

$\lim_{x \to + \infty} f \left( x \right) = + \infty.$

Par le théorème de la bijection,

$f$ s’annule une et une seule fois sur

$\left[ 7 , +\infty \right[.$

5) En testant quelques entiers naturels supérieurs à $\sqrt{7},$ on remarque que $f \left( 6 \right) = 0.$ Ainsi, par unicité du zéro de $f,$ on a $S = 6.$

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