Chapitres Maths en ECG1

Corrigés : Suites réelles en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Suites réelles

Exercice 1 :

1) C’est faux !

En effet, prenons $u_n = \begin{cases} \dfrac1n & \text{si} \; n \; \text{est pair}, \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$ Il est clair que $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ et qu’elle n’est pas décroissante car $u_{2 n + 1} \le u_{2n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}.$

2) C’est faux encore !

En effet, en utilisant la racine carrée, on obtient la convergence de la suite $\left( \sqrt{u_n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}}.$ Puis $\sqrt{u_n^2} = \left| u_n \right|$ donc $\left(\left| u_n \right| \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge…

Pour trouver un contre-exemple, prenons $u_n = \left( - 1 \right)^n.$

$u_n^2 =1$ donc la suite $\left( u_n^2 \right)_{n \in \N}$ converge et pourtant $\left( u_n \right)_{n \in \N}$ diverge car les suites extraites $\left( u_{2n} \right)_{n \in \mathbb{N}$ et $\left( u_{2n + 1} \right)_{n \in \N}$ convergent vers des limites différentes ( $1$ et $-1$ ).

3) Si l’on rajoute l’hypothèse $u_n \ge 0,$ c’est vrai ! En effet, la suite $\left( \sqrt{u_n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et $\sqrt{u_n^2} = \left| u_n \right| = u_n.$

4) C’est vrai !

Si l’on appelle $l$ la limite de la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}},$ alors en écrivant la définition de la limite, on a :

$\forall \epsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N},$ $\left( n \ge N \right) \Rightarrow \left( \left| u_n - l \right| \le \epsilon \right).$
En choisissant $\epsilon = 1,$ par l’inégalité triangulaire, si $n \ge N$

Puis on introduit $M = \max \left\{ \left| u_0 \right| , \left| u_1 \right|, \cdots , \left| u_{N-1} \right|, \left| l \right| + 1 \right\},$ on a, en distinguant les cas $n \le N -1$ et $n \ge N$

$\text{pour tout} \; n \in \mathbb{N}, \left| u_n \right| \le M.$

5) C’est vrai et c’est du cours !

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Exercice 2 :

1) La suite $\left( u_n \right)_{n \in \N}$ est définie par une somme, on calcule

$\begin{eqnarray*} u_{n+ 1} - u_n &=& \sum_{k=0}^{n + 1} \dfrac{1}{2^k} - \left( n + 1 \right) - \sum_{k=0}^{n } \dfrac{1}{2^k} + n \\ &=& \dfrac{1}{2^{n + 1}} - 1 \\ &\le& 0. \end{eqnarray*}$

Donc la suite $\left( u_n \right)_{n \in \N}$ est décroissante.

2) La suite est définie par un quotient et $u_n > 0,$ calculons $\dfrac{u_{n+ 1}}{u_n}$ :

$\begin{eqnarray*} \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} &=& \dfrac{e^{n + 1}}{ \left( n + 1 \right)! } \times \dfrac{n!}{e^n} \\ &=& \dfrac{e}{n}. \end{eqnarray*}$

Comme $2 \le e \le 3,$ on a $\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} \le 1$ pour $n \ge 3.$ Il s’ensuit que la suite $\left( u_n \right)_{n \ge 3}$ est décroissante.

3) Si $f \left( x \right) = \dfrac{\ln^2 \left( x \right)}{x},$ alors $u_n =f \left( n \right).$ On a pour $x > 0,$ $f ' \left( x \right) = \dfrac{\ln \left( x \right) \left( 2 - \ln \left( x \right) \right)}{x^2}.$ $f ' \left( x \right) \le 0$ dès que $x \ge e^2 \approx 7,34.$ Ainsi la suite $\left( u_n \right)_{n \ge 8}$ est décroissante.

Exercice 3 :

1) On a $v_{n + 1} - v_n = u_{n + 2} - 2 u_{n + 1} + u_n.$ Or $2 u_{n + 1} \le u_n + u_{n + 2}$ soit $v_{n + 1} - v_n \ge 0,$ donc la suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante.

2) Comme la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée, la suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ l’est comme différence de deux suites bornées. La suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathhb{N}}$ étant croissante et majorée converge vers une limite notée $l.$ On montre que $l =0.$

Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose, par exemple, $l > 0,$ le cas $l < 0$ se traitant de manière analogue. On écrit que $\lim_{n \to +\infty} u_{n + 1 } - u_n = l,$

$\forall \epsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \; \forall n \in \mathbb{N} , \; \left( n \ge N \right) \Rightarrow \left( l - \epsilon \le u_{n + 1} - u_n \le l + \epsilon \right).$

On a le choix de $\epsilon,$ prenons $\epsilon = \dfrac{l }{2} > 0$ de sorte que $l - \epsilon = \dfrac{l}{2} > 0,$ ainsi pour tout $n \ge N,$ on a $\dfrac{l}{2} \le u_{n + 1} - u_n.$

Soit $p \ge N + 1,$ en sommant la relation précédente pour $n$ compris entre $N$ et $p -1,$ on obtient : $\displaystyle\sum_{n = N}^{p - 1} \dfrac{l}{2} \le \displaystyle\sum_{n = N}^{p - 1} \left( u_{n + 1} - u_n \right)$ soit $\left( p - N \right) \dfrac{l}{2} \le u_{p } - u_N$ puis $u_p \ge u_N + \left( p - N \right) \dfrac{l}{2}.$

Par minoration par une suite qui diverge vers $+ \infty,$ $\lim_{p \to +\infty} u_p = +\infty.$ Cela contredit le fait que la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. Ainsi $l = 0.$

Exercice 4 :

1) La suite $\left( u_n \right)_{n \in \N}$ est une suite récurrente linéaire d’ordre $2.$ La méthode est classique. L’équation caractéristique est $r^2 = r + 1.$ On a $\Delta = 5.$ Ainsi, l’équation caractéristique a deux solutions réelles : $r_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $r_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}.$

Ainsi, il existe deux constantes réelles $A$ et $B$ telles que : pour tout $n \in \N,$ $u_n = A \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n + B \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n.$

Pour trouver $A$ et $B,$ utilisons les valeurs de $u_0$ et $u_1.$ Cela donne le système suivant :

$\begin{cases} A + B & = 0 \\ A \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} + B \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} & = 1 \end{cases}.$

La résolution de ce système donne $A= \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ et $B = - \dfrac{1}{\sqrt{5}}.$ Si bien que pour tout $n \in \mathbb{N},$

$u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n .$

2) La suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est arithmético-géométrique.

On résout l’équation $l = 2l + 3.$ Cela donne $l = -3.$

Soit la suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $v_n = u_n - l = u_n + 3.$ Il est facile de voir que $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est géométrique de raison $2.$

Ainsi pour tout $n \ge 1,$ on a $v_n = 2^{n - 1} v_1 = 6 \times 2^{n - 1}.$

D’où $u_n + 3 = 6 \times 2^{n - 1}$ et $u_n = 6 \times 2^{n - 1} - 3.$

3) Il est facile de montrer, par récurrence double (faites-la !) que, pour tout $n \in \mathbb{N},$ on a $u_n > 0.$ Posons $v_n = \ln \left( u_n \right).$ La suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie :

$v_0 = \ln \left( u_0 \right) = 0, v_1 = \ln \left( u_1 \right) = 1 \; \text{et}\; v_{n + 2} = \dfrac12 v_{n + 1} + \dfrac12 v_n.$

$\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite récurrente linéaire d’ordre $2$ \`a coefficients constants. L’équation caractéristique est $r^2 = \dfrac12 r + \dfrac12$ soit $2 r^2 - r - 1 = 0.$ $\Delta = 9$ il y a donc deux solutions $r_1 = 1$ et $r_2 = - \dfrac12.$

Ainsi, il existe deux constantes $A, B \in \mathbb{R}$ telles que

$\text{pour tout} \; n \in \mathbb{N}, v_n = A 1^n + B \left( - \dfrac12 \right)^n.$

Pour trouver $A$ et $B,$ utilisons les valeurs de $v_0$ et $v_1.$ Cela donne le système :

$\begin{cases} A + B & = 0 \\ A - \dfrac12 B & = 1 \end{cases}.$

La résolution de ce système donne $A= \dfrac23$ et $B = - \dfrac23.$ Ainsi pour tout $n \in \mathbb{N},$ $v_n = \dfrac23 - \dfrac23 \times \left( - \dfrac12 \right)^n$ puis

$u_n = e^{v_n} = e^{\dfrac23 - \dfrac23 \times \left( - \dfrac12 \right)^n}.$

4) Cherchons une suite « simple » vérifiant la relation $u_{n + 1} = 2 u_n + n + 3.$ On la cherche sous la forme $v_n = an + b$ avec $a, b \in \R.$ En substituant $v_n$ dans la relation, on a : $a \left( n + 1 \right) + b = 2 \left( a n + b \right) + n + 3$ soit $an + a + b = \left( 2 a + 1 \right) n + 2 b + 3.$ En identifiant les termes devant $n$ et les termes constants, on obtient le système :

$\begin{cases} a & = 2 a + 1 \\ a + b & = 2 b + 3 \end{cases},$

soit $a = -1$ et $b = - 4.$

Soit la suite $\left( w_n \right)_{n \in \N^*}$ définie par $w_n = u_n - \left( - n - 4 \right).$

Il est facile de voir que $\left( w_n \right)_{n \in \N^*}$ est géométrique de raison $2$ d’o\`u pour tout $n \ge 1,$ $w_n = 2^{n - 1} w_1.$ Or $w_1 = u_1 - \left( - 1 - 4 \right) = 2+ 5 = 7$ et $w_n = 7 \times 2^{n - 1}$ et

$u_n = w_n - n - 4 = 7 \times 2^{n - 1} - n - 4 .$

5) La relation donnée est équivalente à $u_{n + 3} + u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n.$

En posant $v_n=u_{n +1} + u_n,$ la relation précédente montre que la suite $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante. Ainsi pour tout $n \in \mathbb{N},$ $v_n = v_0 = u_0 + u_1 = 3 + 1 = 4.$

On a donc montré que pour tout $n \in \mathbb{N},$ $u_{n + 1} = 4 - u_n$ avec $u_0 = 1.$ La suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc arithmético-géométrique.

La suite est classique : on pose $w_n = u_n - 2.$ La suite $\left( w_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $-1,$ ainsi pour tout $n \in \mathbb{N},$ on a $w_n = \left( - 1 \right)^n w_0.$ Or $w_0 = u_0 - 2 =1$ d’où, pour tout $n \in \mathbb{N},$ $w_n = \left( - 1 \right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et donc $u_n = 2 + \left( - 1 \right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}.$

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