Chapitres Maths en ECG1
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Corrigés : Suites réelles en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Suites réelles
Exercice 1 :
1) C’est faux !
En effet, prenons Il est clair que
converge vers
et qu’elle n’est pas décroissante car
pour tout
2) C’est faux encore !
En effet, en utilisant la racine carrée, on obtient la convergence de la suite Puis
donc
converge…
Pour trouver un contre-exemple, prenons
donc la suite
converge et pourtant
diverge car les suites extraites
et
convergent vers des limites différentes (
et
).
3) Si l’on rajoute l’hypothèse c’est vrai ! En effet, la suite
converge et
4) C’est vrai !
Si l’on appelle la limite de la suite
alors en écrivant la définition de la limite, on a :
En choisissant par l’inégalité triangulaire, si
Puis on introduit on a, en distinguant les cas
et
5) C’est vrai et c’est du cours !
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Exercice 2 :
1) La suite est définie par une somme, on calcule
Donc la suite est décroissante.
2) La suite est définie par un quotient et calculons
:
Comme on a
pour
Il s’ensuit que la suite
est décroissante.
3) Si alors
On a pour
dès que
Ainsi la suite
est décroissante.
Exercice 3 :
1) On a Or
soit
donc la suite
est croissante.
2) Comme la suite est bornée, la suite
l’est comme différence de deux suites bornées. La suite
étant croissante et majorée converge vers une limite notée
On montre que
Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose, par exemple, le cas
se traitant de manière analogue. On écrit que
On a le choix de prenons
de sorte que
ainsi pour tout
on a
Soit en sommant la relation précédente pour
compris entre
et
on obtient :
soit
puis
Par minoration par une suite qui diverge vers
Cela contredit le fait que la suite
est bornée. Ainsi
Exercice 4 :
1) La suite est une suite récurrente linéaire d’ordre
La méthode est classique. L’équation caractéristique est
On a
Ainsi, l’équation caractéristique a deux solutions réelles :
et
Ainsi, il existe deux constantes réelles et
telles que : pour tout
Pour trouver et
utilisons les valeurs de
et
Cela donne le système suivant :
La résolution de ce système donne et
Si bien que pour tout
2) La suite est arithmético-géométrique.
On résout l’équation Cela donne
Soit la suite définie par
Il est facile de voir que
est géométrique de raison
Ainsi pour tout on a
D’où et
3) Il est facile de montrer, par récurrence double (faites-la !) que, pour tout on a
Posons
La suite
vérifie :
est une suite récurrente linéaire d’ordre
\`a coefficients constants. L’équation caractéristique est
soit
il y a donc deux solutions
et
Ainsi, il existe deux constantes telles que
Pour trouver et
utilisons les valeurs de
et
Cela donne le système :
La résolution de ce système donne et
Ainsi pour tout
puis
4) Cherchons une suite « simple » vérifiant la relation On la cherche sous la forme
avec
En substituant
dans la relation, on a :
soit
En identifiant les termes devant
et les termes constants, on obtient le système :
soit et
Soit la suite définie par
Il est facile de voir que est géométrique de raison
d’o\`u pour tout
Or
et
et
5) La relation donnée est équivalente à
En posant la relation précédente montre que la suite
est constante. Ainsi pour tout
On a donc montré que pour tout
avec
La suite
est donc arithmético-géométrique.
La suite est classique : on pose La suite
est géométrique de raison
ainsi pour tout
on a
Or
d’où, pour tout
pour tout
et donc
pour tout
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