Chapitres Maths en ECG1

Exercices corrigés : Formules de Taylor, développements limités ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Formules de Taylor et développements limités

Exercice 1 :

1) On pose $u = \dfrac{x}{2}.$ On a :

$\sqrt{1 + u} = \left( 1 + u \right)^{1 / 2}$
$\underset{u \to 0}{=} 1 + \dfrac12 u - \dfrac18 u^2 + \dfrac{1}{16} u^3 + o \left( u^3 \right)$
$\underset{x \to 0}{=} 1 + \dfrac14 x - \dfrac{1}{32} x^2 + \dfrac{1}{128} x^3 + o \left( x^3 \right)$ .

2) On pose $x = \dfrac{\pi}{4} + h.$ Faisons le développement limité de $\sin \left( \dfrac{\pi}{4} + h \right)$ à l’ordre $5$ lorsque $h$ tend vers $0.$ On a

$\sin \left( \dfrac{\pi}{4} + h \right)$

$= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \left( h \right) + \sin \left( h \right) \right)$

$\underset{h \to 0}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} ( 1 - \dfrac{h^2}{2!} + \dfrac{h^4}{4!} + o \left( h^5 \right) h$

$- \dfrac{h^3}{3!} + \dfrac{h^5}{5!} + o \left( h^5 \right))$

$\underset{h \to 0}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} ( 1 + h - \dfrac{h^2}{2} - \dfrac{h^3}{6}$

$+ \dfrac{h^4}{24} + \dfrac{h^5}{120} + o \left( h^5 \right) )$ .

Comme

$h = x - \dfrac{\pi}{4},$ on a finalement,

$\sin \left( x \right) \underset{x \to \dfrac{\pi}{4}}{=}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} ( 1 + \left( x - \dfrac{x}{4} \right) - \dfrac{\left( x - \dfrac{x}{4} \right)^2}{2}$

$- \dfrac{\left( x - \dfrac{x}{4} \right)^3}{6} + \dfrac{\left( x - \dfrac{x}{4} \right)^4}{24}$

$+ \dfrac{\left( x - \dfrac{x}{4} \right)^5}{120}$

$+ o \left( \left( x - \dfrac{x}{4} \right)^5 \right) ).$
On ne développe pas, bien sûr !

3) On a $e^{-x} \underset{x \to 0}{=}$ $1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} + o \left( x^3 \right)$ et $\cos \left( 2 x \right) \underset{x \to 0}{=}$ $1 - \dfrac{\left( 2 x \right)^2}{2!} + o \left( x^3 \right).$ Ce qui donne :

$e^{-x} \cos\left( 2 x \right) \underset{x \to 0}{=}$

$\left( 1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{6} + o \left( x^3 \right) \right)$

$\times \left( 1 - \dfrac{\left( 2 x \right)^2}{2!} + o \left( x^3 \right) \right).$
Lorsque que l’on développe, les termes ayant

$x^k$ avec

$k \ge 4$ « entrant » dans

$o \left( x ^3 \right).$ Après calculs, il vient que :

$e^{-x} \cos\left( 2 x \right) \underset{x \to 0}{=}$

$1 - 3 x + \dfrac52 x^2 - \dfrac76 x^3 + o \left( x^3 \right).$

4) On commence par écrire :

$\dfrac{\cos \left( x \right)}{2 - x}$ $= \dfrac12 \dfrac{\cos \left( x \right)}{1 - \dfrac{x}{2}}$

$= \dfrac12 \cos \left( x \right) \times \left( 1 - \dfrac{x}{2} \right)^{-1}$

$\underset{x \to 0}{=} \dfrac12 \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} + o \left( x^3 \right) \right)$

$\times \left( 1 + \dfrac12 x + \dfrac14 x^2 + \dfrac18 x^3 + o \left( x^3 \right) \right)$

$\underset{x \to 0}{=} \dfrac12 ( 1 + \dfrac12 x + \dfrac14 x^2 + \dfrac18 x^3$

$- \dfrac12 x^2 - \dfrac14 x^3 + o \left( x^3 \right) )$

$\underset{x \to 0}{=} \dfrac12 \left( 1 + \dfrac12 x - \dfrac14 x^2 - \dfrac18 x^3 + o \left( x^3 \right) \right)$ .

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Exercice 2 :

1) On a $\ln \left( 1 + x \right) \underset{x \to 0}{=}$ $x - \dfrac{x^2}{2} + o \left( x^2 \right).$ Ainsi $\ln \left( 1 + x \right) - x \underset{x \to 0}{=}$ $- \dfrac12 x^2 + o \left( x^2 \right)$ soit $\ln \left( 1 + x \right) - x \underset{x \to 0}{\sim} - \dfrac12 x^2.$

Ainsi $\dfrac{\ln \left( 1 +x \right) - x}{x^2} \underset{x \to 0}{\sim} \dfrac{- \dfrac12 x^2}{x^2} \underset{x \to 0}{\sim} - \dfrac12 .$ En particulier,

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + x \right) - x}{x^2} = - \dfrac12.$

2) Trouvons un équivalent du numérateur et du dénominateur.

Numérateur :

On a

$e^x \underset{x \to 0}{=} 1 + x + o \left( x \right).$ Donc

$\left( x - 1 \right) e^x + 1 \underset{x \to 0}{=}$

$\left( x - 1 \right) \left( 1 + x + \dfrac12 x^2 + o \left( x^2 \right) \right) + 1$

$\underset{x \to 0}{=} x^2 + o \left( x^2 \right).$
Ce qui donne

$\left( x - 1 \right) e^x + 1 \underset{x \to 0}{\sim} x^2 .$

Dénominateur :

On a

$e^x \underset{x \to 0}{=} 1 + x + o \left( x \right)$ soit

$e^x - 1 \underset{x \to 0}{\sim} x .$ Ainsi

$x \left( e^x - 1 \right) \underset{x \to 0}{\sim} x^2.$

Finalement

$\dfrac{\left( x - 1 \right) e^x + 1}{x \left( e^x - 1 \right)}$

$\underset{x \to 0}{\sim} \dfrac{x^2}{x^2}$

$\underset{x \to 0}{\sim} 1$ .

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\left( x - 1 \right) e^x + 1}{x \left( e^x - 1 \right)} = 1.$

3) Trouvons un équivalent du numérateur et du dénominateur.

Numérateur :

On a

$e^x - 1 - \sin \left( x \right) \underset{x \to 0}{=}$

$\left( 1 + x + \dfrac12 x^2 + o \left( x^2 \right) \right) - 1 - \left( x + o \left( x^2 \right) \right)$

$\underset{x \to 0}{=} \dfrac12 x^2 + o \left( x^2 \right)$ .

Ce qui donne

$e^x - 1 - \sin \left( x \right) \underset{x \to 0}{\sim} \dfrac12 x^2.$

Dénominateur :

On a

$\cos \left( x \right) \underset{x \to 0}{=} 1 - \dfrac12 x^2 + o \left( x^2 \right),$ soit

$\cos \left( x \right) - 1 \underset{x \to 0}{\sim} - \dfrac12 x^2 .$

Ce qui donne finalement :

$\dfrac{e^x - 1 - \sin \left( x \right)}{\cos \left( x \right) - 1}$

$\underset{x \to 0}{\sim} \dfrac{\dfrac12 x^2}{- \dfrac12 x^2}$

$\underset{x \to 0}{\sim} - 1$ .

Ainsi

$\lim_{x \to 0 } \dfrac{e^x - 1 - \sin \left( x \right)}{\cos \left( x \right) - 1} = - 1.$

Exercice 3 :
Faisons un développement limité à l’ordre

$4$ du numérateur. On a

$\sqrt{1 + 2x} \underset{x \to 0}{=}$

$1 + x - \dfrac12 x^2 + \dfrac12 x^3 - \dfrac58 x^4 + o \left( x^4 \right),$

$\cos \left( x \right) \underset{x \to 0}{=}$

$1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + o \left( x^4 \right)$

$= 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o \left( x^4 \right).$
Ainsi

$\sqrt{1 + 2x } - x - \cos \left( x \right) \underset{x \to 0}{=}$

$\dfrac12 x^3 - \dfrac{7}{12} x^4 + o \left( x^4 \right).$
Ce qui donne finalement :

$\dfrac{\sqrt{1 + 2x } - x - \cos \left( x \right)}{x^3} \underset{x \to 0}{=}$

$\dfrac12 - \dfrac{7}{12} x + o \left( x \right).$
On a donc montré que

$f$ admet un développement limité à l’ordre

$1$ en

$0,$ il s’ensuit que

$f$ est dérivable en

$0$ et

$f ' \left( 0 \right) = - \dfrac{7}{12}.$ En particulier,

$f$ est continue en

$0.$

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Exercice 4 :

On utilise la formule de Taylor-Young à $f$ à l’ordre $2$ en $0$ :

$f \left( x \right) \underset{x \to 0}{=}$

$f \left( 0 \right) + f ' \left( 0 \right) x + \dfrac{f'' \left(0 \right)}{2} x^2 + o \left( x^2 \right).$
Ainsi,

$\dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x} \underset{x \to 0}{=}$

$f ' \left( 0 \right) + \dfrac{f'' \left( 0 \right)}{2} x + o \left( x \right).$
De plus,

$f ' \left( x \right) \underset{x \to 0}{=}$

$f ' \left( 0 \right) + f'' \left( 0 \right) x + o \left( x \right).$
Soit finalement

$f ' \left( x \right) - \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x} \underset{x \to 0}{=}$

$\dfrac12 f '' \left( 0 \right) x + o \left( x \right),$
ce qui donne

$\lim_{x \to 0} \dfrac{f' \left( x \right) - \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x}}{x}$ $= \dfrac12 f '' \left( 0 \right).$

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