Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Corrigés : Variables aléatoires discrètes en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Variables aléatoires discrètes
Exercice :
1) suit une loi binomiale
En effet,
compte le nombre de transmissions de messages contraires qui est une répétition de
d’épreuves indépendantes ayant
issues possibles : le message transmis est le contraire du message précédent avec une probabilité
et coïncide avec le message reçu avec une probabilité
2) a) Comme la variable aléatoire est à valeurs entières, si
est un entier naturel pair ou impair donc, on a
Ainsi
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( F \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91622a6cdba8d424f1e55c079ea1e5cd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \mathbb{P} \left( E \right) + \mathbb{P} \left( \overline{E} \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca0a0c109557e09b8911eeac7dcd396e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = 1.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db1db5c9a72172ab37f0a95513b779ae_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7dab700bdd78728ebf25e768053fd3e1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =\displaystyle\sum_{k=0 \atop k \, \text{pair}}^n \mathbb{P} \left( X = k \right) - \displaystyle\sum_{k=0 \atop k \, \text{impair}}^n \mathbb{P} \left( X = k \right).](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f22da30a8ad66fd4717fea91deddfc1b_l3.png)
Cela donne les calculs suivants :
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7dab700bdd78728ebf25e768053fd3e1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle\sum_{k \in [\![ 0, n ]\!] \atop k \; \text{pair}} \binom{n}{k} q^{k} p^{n - k}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e10f5d05a43de27f0e72245c2711e541_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com - \displaystyle\sum_{k \in [\![ 0, n ]\!] \atop k \; \text{impair}} \binom{n}{k} q^k p^{n - k}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d55f63b412962052ba1a36cf1112a1cc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} q^{2k} p^{n - 2k}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fff74d49ac1594a2e97cf35846566866_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com - \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} q^{2k + 1} p^{n - \left( 2k + 1 \right)}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9958cace78289a6fbcf05f091fda5c64_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} \left( - 1 \right)^{2k} q^{2k} p^{n - 2k} + \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} \left( - 1 \right)^{2 k + 1} q^{2k + 1}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33a5e5b68460f7d59169b2b275950a02_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \times p^{n - \left( 2k + 1 \right)}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a65dfeb0f23d50f8ec6bdc739c78519_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle\sum_{0 \le 2k \le n } \binom{n}{2k} \left( - q \right)^{2k} p^{n - 2k}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-944af52a2411922db7f320fb112b875d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com + \displaystyle\sum_{0 \le 2k + 1 \le n } \binom{n}{2k + 1} \left( - q \right)^{2 k + 1} p^{n - \left( 2k + 1 \right)}](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a42464aeb457e3edf42b33d90d90b61_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( - q \right)^k p^{n - k }](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f68efc760dce9cb844ed9681fd273303_l3.png)
c) On reconnaît la formule du binôme de Newton dans cette dernière expression, ainsi
Or
donc
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( E \right) - \mathbb{P} \left( F \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7dab700bdd78728ebf25e768053fd3e1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com = \left( 1 - 2 q \right)^n.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a62d09734f550ce2515a4b61e6bb248b_l3.png)
Pour calculer
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( E \right),](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e604fc9ea4e84d76d033018715ed9ebf_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( E \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1f8b08d4c88b4253d016ba7f03e1994_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{P} \left( F \right)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dee00b6493a3195412bd1aa6eec34e85_l3.png)
La résolution de ce système donne
![Rendered by QuickLaTeX.com G](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30a79c32f18567063fe44716929e7ced_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com G = E.](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f48a424666295c2f713717ea324f171_l3.png)
4) Comme on a :
donc
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