Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Corrigés : Variables aléatoires finies en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Variables aléatoires finies
Exercice 1 :
1) Pour réaliser on doit avoir
Ainsi
Par indépendance des événements, on a
Ainsi
2) a) Les deux derniers tirages sont Le premier tirage pouvant être Pile ou Face, on a bien
Ainsi









b) Les deux derniers lancers sont
On s’intéresse aux
premiers lancers. Deux possibilités :


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En effet, si l’on avait un Face au cours de ces lancers. En notant
le rang d’apparition du premier Face au cours de ces lancers, on aurait un lancer du type

Ainsi le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face serait en position


On a bien



Notons que ces

c) A la question précédente, nous avons écrit
comme réunion de
événements deux à deux disjoints. Remarquons que, par indépendance des lancers, chacun de ces événements est de probabilité égale à
Les événements étant disjoints, on a:





d) Remarquons que
Ainsi
Si
se réalise. Comme le premier lancer est Pile,
se réalise. Ainsi,
se réalise car le premier groupement Pile puis Face est en position
et
Réciproquement, supposons que
se réalise. Montrons qu’il n’y a pas de Face lors dans lancers de rang
S’il y en a un, on note par
le rang d’apparition du premier Face. Ainsi, on a

.

.
3) a) On suppose que le premier lancer est Pile.











Ici, on remarque que le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face est au rang
ce qui est impossible car l’on travaille avec l’événement 


b) Le famille
est un système complet d’événements. la formule des probabilités totales assure que




Or, à la question précédente, on a montré que
remarquons aussi que lévénement
sachant
est équivalent à
ainsi










c) En multipliant la relation obtenue à la question précédente, on a:

soit
d’où
et


soit
d’où



d) En multipliant la relation obtenue à la question précédente, on a:

soit
La suite
est arithmétique de raison
Pour tout
on a
d’où
et


soit
La suite



d’où



4) Pour montrer que
admet une espérance, montrons que la série
converge absolument.



.


Par croissance comparée, on a

Ainsi
Comme la série de terme général
converge (Riemann), la série
converge et
admet une espérance et









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