Chapitres Maths en ECG1
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Corrigés : Variables aléatoires finies en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Variables aléatoires finies
Exercice 1 :
1) Pour réaliser on doit avoir Ainsi Par indépendance des événements, on a Ainsi
2) a) Les deux derniers tirages sont Le premier tirage pouvant être Pile ou Face, on a bien
Ainsi
.
b) Les deux derniers lancers sont On s’intéresse aux premiers lancers. Deux possibilités :
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il n’y a pas de Pile lors des premiers lancers, auquel cas, le lancer est de la forme
il y a au moins un Pile lors des premiers lancers. On appelle par le rang d’apparition du premier Pile. Ainsi, les premiers lancers sont Face. Remarquons que les lancers obtenus aux rangs sont Pile.
En effet, si l’on avait un Face au cours de ces lancers. En notant le rang d’apparition du premier Face au cours de ces lancers, on aurait un lancer du type
Ainsi le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face serait en position ce qui n’est possible puisque l’on travaille sur l’événement Finalement, le lancer est de la forme
On a bien
Notons que ces événements sont deux à deux disjoints.
c) A la question précédente, nous avons écrit comme réunion de événements deux à deux disjoints. Remarquons que, par indépendance des lancers, chacun de ces événements est de probabilité égale à Les événements étant disjoints, on a:
d) Remarquons que Ainsi
.
.
3) a) On suppose que le premier lancer est Pile.
Si se réalise. Comme le premier lancer est Pile, se réalise. Ainsi, se réalise car le premier groupement Pile puis Face est en position et
Réciproquement, supposons que se réalise. Montrons qu’il n’y a pas de Face lors dans lancers de rang S’il y en a un, on note par le rang d’apparition du premier Face. Ainsi, on a
Ici, on remarque que le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face est au rang ce qui est impossible car l’on travaille avec l’événement
b) Le famille est un système complet d’événements. la formule des probabilités totales assure que
Or, à la question précédente, on a montré que remarquons aussi que lévénement sachant est équivalent à ainsi
.
c) En multipliant la relation obtenue à la question précédente, on a:
soit
d’où et
soit
d’où et
d) En multipliant la relation obtenue à la question précédente, on a:
soit
La suite est arithmétique de raison Pour tout on a
d’où et
soit
La suite est arithmétique de raison Pour tout on a
d’où et
4) Pour montrer que admet une espérance, montrons que la série converge absolument.
.
Par croissance comparée, on a
Ainsi Comme la série de terme général converge (Riemann), la série converge et admet une espérance et
.
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