Chapitres Maths en ECG1

Corrigés : Variables aléatoires finies en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Variables aléatoires finies

Exercice 1 :

1) Pour réaliser $\left( X = 2 \right),$ on doit avoir $P_1 F_2.$ Ainsi $\mathbb{P} \left( X = 2 \right) = \mathbb{P} \left( P_1 F_2 \right).$ Par indépendance des événements, on a $\mathbb{P} \left( P_1 F_2 \right)$ $= \mathbb{P} \left( P_1 \right) \times \mathbb{P} \left( F_2 \right)$ $= \dfrac14.$ Ainsi

$\mathbb{P} \left( X = 2 \right) = \dfrac14.$

2) a) Les deux derniers tirages sont $P_2 F_3.$ Le premier tirage pouvant être Pile ou Face, on a bien

$\left( X= 3 \right) = P_1 P_2 F_3 \cup F_1 P_2 F_3.$

Ainsi

$\mathbb{P} \left( X= 3 \right)$

$= \mathbb{P} \left( P_1 P_2 F_3 \cup F_1 P_2 F_3 \right)$

$\text{les evenements etant disjoints}$

$= \mathbb{P} \left( P_1 P_2 F_3 \right) + \mathbb{P} \left( F_1 P_2 F_3 \right)$

$\text{par independance}$

$=\mathbb{P} \left( P_1 \right) \times \mathbb{P} \left( P_2 \right) \times \mathbb{P} \left( F_3 \right)$

$+ \mathbb{P} \left( F_1 \right) \times \mathbb{P} \left( P_2 \right) \times \mathbb{P} \left( F_3 \right)$

$= \dfrac18 + \dfrac18$

$= \dfrac14$ .

b) Les deux derniers lancers sont

$P_{k - 1} F_k.$ On s’intéresse aux

$k - 2$ premiers lancers. Deux possibilités :

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$\star$ il n’y a pas de Pile lors des

$k - 2$ premiers lancers, auquel cas, le lancer est de la forme

$F_1 F_2 \cdots F_{k - 2} P_{k - 1} F_k.$

$\star$ il y a au moins un Pile lors des

$k - 2$ premiers lancers. On appelle par

$k- 2 \ge j \ge 1$ le rang d’apparition du premier Pile. Ainsi, les

$j - 1$ premiers lancers sont Face. Remarquons que les lancers obtenus aux rangs

$j + 1, j + 2, \cdots , k- 2$ sont Pile.

En effet, si l’on avait un Face au cours de ces lancers. En notant

$l$ le rang d’apparition du premier Face au cours de ces lancers, on aurait un lancer du type

$F_1 \cdots F_{j - 1} P_j P_{j + 1} \cdots P_{l - 1} F_l \cdots P_{k - 1} F_k.$

Ainsi le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face serait en position

$l < k,$ ce qui n’est possible puisque l’on travaille sur l’événement

$\left( X = k \right).$ Finalement, le lancer est de la forme

$F_1 F_2 \cdots F_{j - 1} P_j P_{j + 1} \cdots P_{k - 1} F_k.$

On a bien

$\left( X= k \right)$

$= \left( F_1 F_2 \cdots F_{k - 2} P_{k - 1} F_k \right)$

$\cup (\displaystyle\bigcup_{j=1}^{k - 2} \left( F_1 \cdots F_{j - 1} P_j P_{j + 1} \cdots P_{k - 1} F_k \right) ).$
Notons que ces

$k - 1$ événements sont deux à deux disjoints.

c) A la question précédente, nous avons écrit

$\left( X = k \right)$ comme réunion de

$k - 1$ événements deux à deux disjoints. Remarquons que, par indépendance des lancers, chacun de ces événements est de probabilité égale à

$\left( \dfrac12 \right)^k.$ Les événements étant disjoints, on a:

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \left( k - 1 \right) \left( \dfrac12 \right)^k.$

d) Remarquons que

$X \left( \Omega \right) = \mathbb{N} \backslash \left\{ 1 \right\}.$ Ainsi

$\mathbb{P} \left( X = 0 \right)$ $= 1 - \mathbb{P} \left( X \ge 2 \right)$
$= 1 - \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} \left( k - 1 \right) \left( \dfrac12 \right)^k$
$\underset{\text{on pose} \; l = k - 1}{=} 1 - \displaystyle\sum_{l=1}^{+ \infty} l \left( \dfrac12 \right)^{l + 1}$
$= 1 - \dfrac14 \displaystyle\sum_{l=1}^{+ \infty} l \left( \dfrac12 \right)^{l - 1}$
$= 1 - \dfrac14 \times \dfrac{1}{\left( 1 - \dfrac12 \right)^2}$
$= 0$ .

3) a) On suppose que le premier lancer est Pile.

$\bullet$ Si

$P_2 P_3 \cdots P_{k- 1} F_k$ se réalise. Comme le premier lancer est Pile,

$P_1 P_2 \cdots P_{k - 1} F_k$ se réalise. Ainsi,

$\left( X = k \right)$ se réalise car le premier groupement Pile puis Face est en position

$k-1$ et

$k.$

$\bullet$ Réciproquement, supposons que

$\left( X = k \right)$ se réalise. Montrons qu’il n’y a pas de Face lors dans lancers de rang

$2, 3 , \cdots, k - 2.$ S’il y en a un, on note par

$j < k$ le rang d’apparition du premier Face. Ainsi, on a

$P_1 P_2 \cdots P_{j - 1} F_j.$

Ici, on remarque que le rang d’apparition du premier groupement Pile puis Face est au rang

$j,$ ce qui est impossible car l’on travaille avec l’événement

$\left( X = k \right).$

b) Le famille

$\left\{ P_1 , F_1 \right\}$ est un système complet d’événements. la formule des probabilités totales assure que

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \mathbb{P}_{P_1} \left( X = k \right) \times \mathbb{P} \left( P_1 \right)$

$+ \mathbb{P}_{F_1} \left( X = k \right) \times \mathbb{P} \left( F_1 \right).$

Or, à la question précédente, on a montré que

$\mathbb{P}_{P_1} \left( X = k \right)$

$= \mathbb{P} \left( P_2 P_3 \cdots P_{k - 1} F_k \right)$

$= \dfrac{1}{2^{k - 1}}.$ remarquons aussi que lévénement

$\left( X = k \right)$ sachant

$F_1$ est équivalent à

$\left( X = k - 1 \right),$ ainsi

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \dfrac{1}{2^{k - 1}} \times \mathbb{P} \left( P_1 \right)$

$+ \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right) \times \mathbb{P} \left( F_1 \right)$

$= \dfrac{1}{2^k} + \dfrac12 \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right)$ .

c) En multipliant la relation obtenue à la question précédente, on a:

$2^k \mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= 2^{k - 1} \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right) + 1,$
soit

$u_k = u_{k - 1} + 1.$

La suite

$\left( u_k \right)_{k \ge 2}$ est arithmétique de raison

$1.$ Pour tout

$k \ge 2,$ on a

$u_k = u_2 + \left( k - 2 \right) r,$

d’où

$u_k = k -1$ et

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \dfrac{k - 1}{2^k}.$

d) En multipliant la relation obtenue à la question précédente, on a:

$2^k \mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= 2^{k - 1} \mathbb{P} \left( X = k - 1 \right) + 1,$
soit

$u_k = u_{k - 1} + 1.$

La suite

$\left( u_k \right)_{k \ge 2}$ est arithmétique de raison

$1.$ Pour tout

$k \ge 2,$ on a

$u_k = u_2 + \left( k - 2 \right) r,$

d’où

$u_k = k -1$ et

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \dfrac{k - 1}{2^k}.$

4) Pour montrer que

$X$ admet une espérance, montrons que la série

$\displaystyle\sum_{k \ge 2} k \mathbb{P} \left( X = k \right)$ converge absolument.

Par croissance comparée, on a

$\lim_{k \to + \infty} k^2 \times \dfrac{k - 1}{2^k} = 0.$

Ainsi

$\dfrac{k -1}{2^{k - 1}} \underset{k \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{k^2} \right).$ Comme la série de terme général

$\displaystyle\sum_{k \ge 2} \dfrac{1}{k^2}$ converge (Riemann), la série

$\displaystyle\sum_{k \ge 2} k \mathbb{P} \left( X = k \right)$ converge et

$X$ admet une espérance et

$\mathbb{E} \left( X \right)$

$= \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} k \times \dfrac{k - 1}{2^k}$

$= \left( \dfrac12 \right)^2 \displaystyle\sum_{k=2}^{+ \infty} k \left( k - 1 \right) \left( \dfrac12 \right)^{k - 2}$

$= \dfrac14 \times \dfrac{2}{\left( 1 - \dfrac12 \right)^3}$

$= 4$ .

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