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Cours : Espace probabilisé et nouveaux résultats en ECG1

Résumé de cours

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Résumé de cours et méthodes – Espace probabilisé et nouveaux résultats

Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est un événement.

L’ensemble des événements sur l’univers $\Omega$ est une tribu notée $\mathcal A$ (c’est une partie de $\mathcal P \left( \Omega \right),$ contenant $\Omega,$ stable par complémentaire et par réunion finie et dénombrable, donc par intersection finie et dénombrable).

Pour montrer qu’un ensemble est un événement, il suffit de réussir à l’écrire comme une réunion/intersection/complémentaire d’événements i.e. d’éléments de $\mathcal A,$ en considérant si nécessaire des réunions ou intersections dénombrables d’éléments de $\mathcal A.$

Dans le cas où $\Omega$ est fini ou dénombrable, on choisit $\mathcal A$ $= \mathcal P \left( \Omega \right).$

Cette méthode est délicate, et rarement posée en pratique, ce qui ne vous dispense pas de savoir écrire correctement les événements étudiés en fonction d’événements plus simples. Si vous souhaitez maitriser les méthodes sur l’espace probabilisé nos profs particuliers de maths peuvent vous aider.

Exemple : On lance une infinité de fois une pièce avec un côté Pile et un côté Face.

1) Décrire $\Omega.$

Pour tout $k \in \mathbb{N}^*,$ on pose $P_k$ : « obtenir Pile au $k$ -ième lancer » et $F_k$ : « obtenir Face au $k$ -ième lancer ».

On suppose qu’il existe une tribu $\mathcal A$ sur $\Omega$ telle que pour tout $k \in \mathbb{N}^*,$ $F_k$ est un événement.

2) Soit $A$ l’ensemble des lancers donnant une infinité de Piles et une infinité de Faces. Montrer que $A$ est un événement.

Réponse :

1) $\Omega = \left\{ P , F \right\}^{\mathbb{N}}$ est l’ensemble des possibilités.

2) On écrit $A= B \cap C$ avec $B$ (resp. C) « obtenir une infinité de Piles (resp. de Faces) ».

On commence par traduire $B$ :

$B$ est réalisé si, et seulement si, pour tout $n \in \mathbb{N},$ il existe $m > n$ tel qu’il y ait un Pile au rang $m,$ ce qui revient à dire que pour tout $n \in \mathbb{N},$ il existe $m > n$ tel que $P_m$ soit réalisé soit pour tout $n \in \mathbb{N},$ $\displaystyle\bigcup_{n = m + 1}^{+ \infty} P_m$ est réalisé.

Donc $B=\displaystyle\bigcap_{n=0}^{+ \infty} \left( \displaystyle\bigcup_{n=m + 1}^{+ \infty} P_m \right).$

Pour tout $n \in \mathbb{N},$ $\displaystyle\bigcup_{n = m + 1}^{+ \infty} P_m \in \mathcal A$ (réunion dénombrable d’éléments de $\mathcal A$ ), puis comme intersection dénombrable d’éléments de $\mathcal A,$ $B \in \mathcal A.$

Par symétrie, $C =\bigcap_{n=0}^{+ \infty} \left( \displaystyle\bigcup_{n=m + 1}^{+ \infty} F_m \right),$ et on démontre que $C \in \mathcal A.$

Finalement $A \in \mathcal A$ comme intersection de deux éléments de $\mathcal A.$

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Méthode 2 : Savoir utiliser les relations fondamentales de probabilité.

On suppose que $\left( \Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right)$ est un espace probabilisé.

Mais on a les propriétés supplémentaires :

$\bullet$ si pour tout $n \in \mathbb{N},$ $A_n \in \mathcal A$ et si $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour $i \neq j,$ alors $\mathbb{P} \left( \bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)$ $= \sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).$

$\bullet$ pour une suite croissante d’événements : si pour tout $n \in \mathbb{N},$ $A_n \in \mathcal A$ et $A_n \subset A_{n + 1},$ $\mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)$ $= \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).$

$\bullet$ pour une suite décroissante d’événements : si pour tout $n \in \mathbb{N},$ $A_n \in \mathcal A$ et $A_{n + 1} \subset A_{n },$ $\mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcap_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)$ $= \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).$

On définit encore l’indépendance de $2,$ de $n$ événements que l’on complète par la notion de suite d’événements indépendants :

La suite $\left( A_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d’événements indépendants si, et seulement si, pour tout $n \in \mathbb{N}^*,$ les événements $\left( A_0 , A_1 , \cdots , A_n \right)$ sont mutuellement indépendants.

Exemple : On lance une infinité de fois une pièce donnant Pile avec la probabilité $p$ et Face avec la probabilité $q= 1- p.$

On note $P_k$ : « obtenir Pile au $k$ -ième lancer » et $F_k$ : « obtenir Face au $k$ -ième lancer ».

On admet l’existence d’un espace probabilisé $\left( \Omega , \mathcal A , \mathbb{P} \right)$ associé à cette épreuve pour lequel pour tout $k \in \mathbb{N}^*,$ $P_k$ est un événement, la suite $\left( P_n \right)_{n \ge 1}$ étant une suite d’événements indépendants.

1) Quelle est la probabilité d’obtenir une suite de faces suivie de deux Piles ?

2) Déterminer le probabilité de l’événement « les $n$ premiers jets ont donné $n$ Faces » si $n \in \mathbb{N}^*.$ Quelle est la probabilité de n’obtenir aucun Pile ?

Réponse : 1) On rappelle que $F_k$ est le complémentaire de $P_k,$ donc $F_k \in \mathcal A.$

Soit si $n \in \mathbb{N}^*,$ $A_n$ l’événement « on obtient $n$ Faces suivies de $2$ Piles », alors $A_n = F_1 \cap \cdots \cap F_{n - 1} \cap F_n \cap P_{n + 1} \cap P_{n + 2}.$ Ainsi $A$ : « obtenir une suite de Faces se terminant par deux Piles » s’écrit $A= \displaystyle\bigcup_{n=1}^{+ \infty} A_n.$

Les événements $F_1 , \cdots , F_{n - 1} , F_n , P_{n + 1} , P_{n + 2}$ étant indépendants :

$\mathbb{P} \left( A_n \right)$ $= \mathbb{P} \left( F_1 \right) \times \cdots \times \mathbb{P} \left( F_{n - 1} \right)$ $\times \mathbb{P} \left( F_n \right)$ $\times \mathbb{P} \left( P_{n + 1} \right)$ $\times \mathbb{P} \left( P_{n + 2} \right)$ $=q^n p^2.$

Les événements $A_n$ sont deux à deux incompatibles,

$\mathbb{P} \left( A \right)$ $= \displaystyle\sum_{n = 1}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right)$ $= \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} p^2 q^n \underset{i=n - 1}{=}\displaystyle\sum_{i=0}^{+ \infty} p^2 q^{i + 1}.$

Ainsi $\mathbb{P} \left( A \right)$ $= p^2 q \displaystyle\sum_{i=0}^{+ \infty} q^i$ $= \dfrac{p^2q}{1 - q}$ $=pq.$

2) On note $B_n$ l’événement : « les $n$ premiers jets ont donné $n$ Faces », ainsi $B_n = F_1 \cap \cdots \cap F_{n - 1} \cap F_n$ ; comme ci-dessus,

$\mathbb{P} \left( B_n \right)$

$= \mathbb{P} \left( F_1 \cap \cdots \cap F_{n - 1} \cap F_n \right)$

$= q^n.$

$B$ l’événement « ne jamais obtenir de Pile »,

$B = \displaystyle\bigcap_{n =1}^{+ \infty} B_n.$

Puis comme

$B_{n + 1} \subset B_n,$ par propriété de monotonie décroissante

$\mathbb{P} \left( \displaystyle \bigcap_{n=1}^{+ \infty} B_n \right)$

$= \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P} \left( B_n \right)$

$= 0.$

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Méthode 3 : Lorsque $\Omega$ est dénombrable, caractériser une probabilité sur $\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)$ .

Dans la suite $\Omega = \left\{ \omega_{n} , n \in \mathbb{N} \right\}.$

Une probabilité sur $\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)$ est une application $\mathbb{P}$ définie sur $\mathcal P \left( \Omega \right)$ à valeurs dans $\mathbb{R}_+$ telle que :

$\bullet$ $\mathbb{P} \left( \Omega \right) = 1,$

$\bullet$ $\mathbb{P}$ est $\sigma$ -additive : pour toute suite d’événements $\left( A_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ deux à deux incompatibles, on a :

$\mathbb{P} \left( \bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n \right)$ $= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( A_n \right).$

En particulier, la série de terme général $\mathbb{P} \left( \left\{ \omega_n \right\} \right)$ converge et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ \omega_n \right\} \right) = 1.$

Dans ce cas pour tout $A \in \mathcal P \left( \Omega \right),$ $\mathbb{P} \left( A \right)$ $= \displaystyle\sum_{\omega \in A} \mathbb{P} \left( \left\{ \omega \right\} \right).$

Exemple : On admet que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^2}= \dfrac{\pi^2}{6}.$

1) Montrer qu’il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que l’application $\mathbb{P}$ définie sur $\left( \mathbb{N}, \mathcal P \left( \mathbb{N} \right) \right)$ par : pour tout $n \in \mathbb{N},$ $\mathbb{P} \left( \left\{ n \right\} \right)$ $= \dfrac{\alpha}{\left( n + 1 \right)^2},$ est une probabilité sur $\left( \mathbb{N} , \mathcal P \left( \mathbb{N} \right) \right).$

2) On note $B$ l’ensemble des entiers pairs, donner $\mathbb{P} \left( B \right).$

Réponse :

1) Pour tout $n \in \mathbb{N},$ $\dfrac{\alpha}{\left( n + 1 \right)^2} \ge 0$ si et seulement si $\alpha \ge 0.$ La série de terme général $\ dfrac{\alpha}{\left( n + 1 \right)^2}$ converge par comparaison par équivalence avec une série de Riemann convergente. Or

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ n \right\} \right)$

$= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{\alpha}{\left( n + 1 \right)^2}$

$= \alpha \displaystyle\sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^2}$

$= \alpha \dfrac{\pi^2}{6}.$
Finalement

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ n \right\} \right)$

$= 1 \Leftrightarrow \alpha$

$= \dfrac{6}{\pi^2}.$
On a montré que

$\mathbb{P}$ est une probabilité sur

$\left( \mathbb{N} , \mathcal P \left( \mathbb{N} \right) \right)$ si et seulement si

$\alpha = \dfrac{6}{\pi^2}.$

2) Il est plus simple de calculer la probabilité du complémentaire de

$B,$

$\overline{B}$ est l’ensemble des nombres impairs.

$\mathbb{P} \left( \overline{B} \right)$

$= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( \left\{ 2 n + 1 \right\} \right)$

$= \alpha \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{\left( 2 n + 2 \right)^2}.$ Si l’on pose

$p = n + 1,$ on a

$\mathbb{P} \left( \overline{B} \right)$

$= \dfrac{\alpha}{4} \displaystyle\sum_{p=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{p^2}$

$= \frac{\alpha}{4} \times \dfrac{\pi^2}{6}$

$= \dfrac14,$ donc

$\mathbb{P} \left( B \right)$

$= 1 - \mathbb{P} \left( \overline{B} \right)$

$= \dfrac34.$

Méthode 4 : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles, des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayès.

On suppose que $\left( \Omega, \mathcal A , \mathbb{P} \right)$ est un espace probabilisé.

On dit que $B$ est un événement presque impossible lorsque $\mathbb{P} \left( B \right) = 0$ et presque certain lorsque $\mathbb{P} \left( B \right)=1.$

1) Probabilité conditionnelle :

si $A$ n’est pas un événement presque impossible (i.e. $\mathbb{P} \left( A \right) \neq 0$ ), on définit $\mathbb{P}_A \left( B \right)$ $= \frac{\mathbb{P} \left( A \cap B \right)}{\mathbb{P} \left( A \right)}.$

Cette formule sert aussi sous la forme $\mathbb{P} \left( A \cap B \right)$ $= \mathbb{P}_A \left( B \right)$ $\times \mathbb{P} \left( B \right).$

On retiendra que $\mathbb{P}_A : \begin{cases} \mathcal A \to \mathbb{R} \\ B \mapsto \mathbb{P}_A \left( B \right) \end{cases}$ définit une probabilité sur $\left( \Omega, \mathcal A \right).$

2) La formule des probabilités composées est la même.

3) Formule des probabilités totales avec un système complet d’événements dénombrable (elle reste bien sûr valable pour un système complet fini) ou un système quasi-complet d’événements (elle reste bien sûr valable pour un système complet fini) :

On suppose que l’on a une suite d’événements deux à deux incompatibles tels que $\displaystyle\bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n = \Omega$ (système complet d’événements) ou $\bigcup_{n=0}^{+ \infty} A_n$ est quasi-certain (système quasi-complet d’événements), pour tout $B \in \mathcal A$

$\mathbb{P} \left( B \right)$ $= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( B \cap A_n \right).$

De plus, si pour tout $n \in \mathbb{N},$ $\mathbb{P} \left( A_n \right) > 0,$ on peut écrire :

$\mathbb{P} \left( B \right)$ $= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P}_{A_n} \left( B \right) \times \mathbb{P} \left( A_n \right).$

4) Formule de Bayès, avec les hypothèses développées au point 3), on peut écrire lorsque $\mathbb{P} \left( A_j \right) > 0,$

$\mathbb{P}_{ A_j } \left( B \right)$ $= \dfrac{\mathbb{P}_{A_j} \left( B \right)}{\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \mathbb{P} \left( B \cap A_n \right)}.$

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