Chapitres Maths en ECG1
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Cours : Espaces vectoriels & Applications Linéaires
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Résumé de cours, méthodes – Espaces vectoriels/applications linéaires
1. Premières notions sur les espaces vectoriels et les familles de vecteurs
Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel.
Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on montre que c’est un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de référence.
On rappelle quelques espaces vectoriels de référence :
(-uplets),
(polynômes réels),
(polynômes réels de degré inférieur à ),
(matrices réelles de taille ),
(fonctions réelles de classe sur un intervalle ),
(ensemble des suites réelles), etc.
On rappelle que pour montrer qu’un ensemble est un sous espace vectoriel de , on montre qu’il est non vide (on montre que est dans ) et que pour tout pour tout
Exemple :Montrer que les espaces suivants sont des espaces vectoriels :
Réponse :
Clairement
Soit et soit Montrons que
Pour voir cela, écrivons :
On rappelle que si sont des vecteurs d’un -espace vectoriel on appelle le sous espace vectoriel formé par toutes les combinaisons linéaires des vecteurs :
En conséquence si l’on reconnaît dans une partie de de l’espace vectoriel une écriture de la forme on peut conclure que donc est un sous-espace vectoriel de
Exemple : Montrer que l’ensemble suivant est un espace vectoriel :
Réponse : On remarque que
si, et seulement si,
Donc avec
Si bien que est un sous-espace vectoriel de
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Méthode 3 : Montrer qu’une famille est une famille libre dans un -espace vectoriel.
Voici quelques méthodes que l’on peut essayer, la méthode étant la plus importante :
La famille est libre si, et seulement si,
Pour démontrer que la famille est libre, il est en général plus simple de prouver que et que la condition où est impossible.
Pour montrer qu’une famille de vecteurs est libre, on revient généralement à la définition, c’est-à-dire que l’on se donne tels que
et on montre que
Si l’on sait que la famille est libre, pour démontrer que la famille est libre, il suffit de montrer que la relation
où est impossible.
Voici, en vrac, quelques idées qui peuvent aussi servir à montrer qu’une famille est libre :
Une famille de polynômes de degrés échelonnés (c’est-à-dire de degrés entiers deux à deux distincts, donc ne contenant pas le polynôme nul) est libre.
Lorsque l’on doit montrer qu’une famille de fonctions est libre, il peut être utile de prendre des valeurs de bien choisies.
Toujours avec des fonctions, il peut être parfois intéressant d’utiliser des propriétés d’analyse (continuité, dérivabilité, etc).
Exemple : Montrer que est libre dans
Réponse :
On pourrait prendre des valeurs particulières pour mais on va procéder autrement. On se donne trois réels et tels que montrons que
Pour montrer qu’une famille de vecteurs de est génératrice de , on montre que En pratique, pour tout on cherche des scalaires tels que
Dans le cas où l’on sait que pour démontrer qu’une famille de vecteurs de est génératrice de il suffit de prouver que pour tout est combinaison linéaire de vecteurs de
Exemple : On se place dans
On note avec et On note et Montrer que est un système générateur de
Réponse : On pose
De simples calculs montrent que et les vecteurs et qui engendrent sont combinaisons linéaires de vecteurs de donc
On cherche des réels tels que On obtient le système :
En formant et on obtient
alors
2. Espaces vectoriels de dimension finie
Méthode 5 : Montrer qu’une famille est une base.
On rappelle qu’une base est une famille libre et génératrice. En général, vous devrez justifier ces deux propriétés successivement. Je ne peux que vous conseiller de revoir les définitions et les méthodes du précédentes !
Remarque : Il est indispensable de noter les bases sous forme de listes, puisque l’ordre des éléments d’une base est important pour écrire les coordonnées des vecteurs.
Exemple : Soit
1) Montrer que est un espace vectoriel.
2) Donner une base de
Réponse :
1) La méthode est classique. est une partie non vide (car contenant le polynôme nul) de l’espace vectoriel On se donne et Montrons que Pour cela, on montre que En effet,
.
Ainsi, est un sous espace vectoriel de donc c’est un espace vectoriel.
2) Soit On écrit et on cherche des conditions nécessaires et suffisantes sur et pour que On écrit donc :
Ainsi La famille étant libre car c’est une famille de polynômes ayant des degrés échelonnés, la famille est une base de car c’est une partie libre et génératrice de
Méthode 6 : Calculer la dimension d’un espace vectoriel.
On rappelle qu’un espace vectoriel de dimension finie est, par définition, un espace vectoriel ayant une famille génératrice finie. On peut montrer (c’est dans votre cours) qu’un tel espace non réduit à admet des bases ayant un nombre fini d’éléments et que ces bases ont toutes le même nombre d’éléments.
En pratique, lorsque l’on demande de calculer la dimension d’un espace vectoriel, on essaie d’en trouver une base et on compte le nombre d’éléments de cette base.
Cas particuliers à connaître parfaitement :
Si De plus, la famille avec (le étant en -ème position) est une base de appelée base canonique.
Si et la famille est une base de appelée base canonique.
Si
Exemple : Montrer que l’ensemble suivant est un espace vectoriel et calculer sa dimension :
Réponse :
est non vide car il contient le polynôme nul.
Lorsque est un espace vectoriel de dimension finie , pour montrer qu’une famille de est une base, il suffit de montrer qu’elle est libre et qu’elle contient éléments (le même nombre que la dimension) ou bien il suffit de montrer qu’elle est génératrice et qu’elle contient éléments.
Réponse :
Montrons que est libre. Pour cela, on se donne trois réels et tels que
On récupère le système suivant :
En faisant on obtient
En sommant les deux dernières lignes, on a Ainsi puis La famille est donc libre.
Remarque : Naurions pu montrer en premier que la famille était génératrice pour en déduire que c’est une base. Mais il est généralement plus facile de montrer que c’est une famille libre.
3. Somme de sous-espaces vectoriels
Méthode 8 : Montrer qu’un espace vectoriel est la somme de deux sous espaces vectoriels.
Soit un espace vectoriel et soient deux sous espaces vectoriels de
Pour montrer que on doit montrer que pour tout élément il existe et tels que On pourra utiliser la méthode d’analyse-synthèse décrite dans la méthode 8.
Pour déterminer il faut trouver l’ensemble des de tels qu’il existe tels que
Lorsque de plus on dit que la somme est directe et on écrit
Exemple : Donner une base de avec et
Réponse :
Soit et on cherche des conditions nécessaires et suffisantes sur et pour que Le plus simple est de procéder par analyse-synthèse, c’est-à-dire que l’on suppose que et on cherche des conditions nécessaires sur et Lors de la synthèse, on vérifiera que les conditions trouvées lors de l’analyse sont suffisantes.
Analyse : On suppose que ainsi il existe et tels que
Comme il existe tels que
On rappelle que pout résoudre un tel système, il faut l’échelonner. L’opération donne :
Puis en faisant on a
Et finalement, en faisant il vient :
La dernière ligne donne soit
On note lorsque est somme directe des sous-espaces et on dit alors que et sont des supplémentaires de
Soit un espace vectoriel et deux sous-espaces vectoriels de Pour montrer que on doit montrer que :
On rappelle aussi que
si, et seulement si, tout élément se décompose de manière unique sous la forme avec et
La principale difficulté consiste à prouver que
Pour cela, on peut utiliser la méthode d’analyse-synthèse :
La première phase est l’analyse : étant un vecteur quelconque de on suppose que l’on peut écrire avec et En utilisant les propriétés des sous-espaces et on détermine et (on remarquera que si l’on a trouvé par exemple alors ).
Puis dans la phase « synthèse », on introduit les vecteurs et obtenus dans l’analyse et on vérifie que et
Important : Si dans l’analyse, on a obtenu une unique valeur pour et pour donc unicité de la décomposition si elle existe, alors on peut conclure à l’issue de la synthèse que
Exemple : Montrer que :
où est l’ensemble des fonctions de dans est l’ensemble des fonctions paires de dans et est l’ensemble des fonction impaires de dans
Réponse : Il est facile de voir que et sont des sous-espaces vectoriels de
Puis en utilisant la parité (resp. l’imparité) de (resp. de ), on a :
soit
Cela donne
On en déduit que si et existent, elles sont uniques, cela termine l’analyse.
Synthèse : Il faut vérifier que les fonctions et trouvées ci-dessus conviennent, c’est-à-dire que est paire, est impaire et
est donc paire et on montre de la même façon que est impaire
Soit un espace vectoriel de dimension finie et et deux sous-espaces vectoriels de Pour montrer que il est en général plus simple de montrer que :
et
On retiendra de plus que :
Lorsque est de dimension de base dans le cas où les sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires dans
Si si est une base de et est une base de alors la famille est une base de dite adaptée à la somme directe.
Exemple : Montrer que :
avec et
Réponse : On pose et
4. Applications linéaires
Méthode 11 : Montrer qu’une application est linéaire.
Soient et deux -espaces vectoriels. Soit une application. Pour montrer que est linéaire, en général on revient à la définition, c’est-à-dire que l’on montre que pour tous vecteurs et pour tout
Il est aussi possible d’utiliser le fait qu’une combinaison linéaire d’applications linéaires est linéaire et que la composée d’applications linéaires est linéaire (attention quand même aux espaces vectoriels de départ et d’arrivée).
On rappelle que si et sont de dimension finie, alors est de dimension finie et
Piège : Lorsque l’on demande de montrer qu’une application est un endomorphisme de , on doit montrer :
la linéarité de ,
si alors
\noindent Le dernier point est trop souvent oublié.
Exemple : Montrer que les applications suivantes sont linéaires :
1) définie par : pour tout
2) définie par : pour tout est le reste de la division euclidienne de par
Réponse :
1) Soit Cela signifie que le degré de est inférieur à Celui de est donc inférieur à et donc celui de est inférieur à Ainsi
Soient et On a
.
Ainsi est un endomorphisme de
2) Soient et montrons que Ici l’expression de n’est pas explicite comme dans les deux premiers exemples. Faisons la division euclidienne de et par : il existe et dans tels que :
et
En multipliant la deuxième ligne par et en sommant les lignes, on a :
Par unicité du reste de la division euclidienne de par dans et , on a
Ainsi est un endomorphisme de
Dans certains exercices, on vous demandera de définir une application linéaire vérifiant certaines conditions. Il peut être utile de définir alors l’application linéaire seulement sur une base (éventuellement bien choisie). La linéarité permettant de la définir sur tout l’espace.
En effet, soit une application linéaire entre deux -espaces vectoriels et Supposons que l’on connaisse sur une base de disons Alors si on peut écrire avec Ainsi
On a la conséquence suivante très intéressante : pour montrer que deux applications et linéaires sont égales, il suffit de vérifier qu’elles sont égales sur les éléments d’une base.
Exemple : Soit un espace vectoriel de dimension finie. Soit un sous espace vectoriel de Montrer qu’il existe un endomorphisme de dont soit le noyau.
Réponse : Si l’application convient. Dans la suite, on suppose que On note et on se donne une base de . On complète cette famille libre en une base notée de grâce au théorème de la base incomplète.
On définit de la façon suivante :
si et si
Si est une application linéaire entre deux espaces vectoriels et le noyau de noté est le sous-espace vectoriel de défini par :
Le noyau est généralement facile à déterminer, il suffit de résoudre l’équation
Remarque : Une application linéaire est injective si et seulement si Dès que l’on rencontre une question portant sur l’injectivité d’une application linéaire, il faut faire le lien avec le noyau.
Exemple :
Déterminer le noyau des applications linéaires suivantes :
1) définie par
2) définie par
Réponse :
1) Soit On a donc : ainsi on a le système suivant :
La somme des deux premières lignes donne : puis et Ainsi L’inclusion contraire est évidente, donc
En particulier, cela montre que est injective.
2) Soit cela signifie que soit
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Soient un espace vectoriel de dimension finie et un espace vectoriel (pas nécessairement de dimension finie) et Le théorème du rang donne la relation
En conséquence, pour démontrer que il suffira de montrer que et d’utiliser le théorème du rang lorsque est une espace vectoriel de dimension finie.
Remarque : Le théorème du rang ne veut pas dire que !
Exemple : Soient un espace vectoriel de dimension finie et Montrer l’équivalence entre les propriétés
i)
ii)
iii)
Réponse : On va prouver que i) ii) iii) i).
On suppose que