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Exercices corrigés sur les probabilités en seconde

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Seconde Générale

Les exercices sur les probabilités en seconde constituent une ressource pédagogique précieuse, vous permettant d’appréhender ce chapitre très important pour l’année de seconde générale mais également en classe de première et terminale ou même en CPGE d’explorer de manière interactive et stimulante les fondements de la théorie des probabilités. Ces activités sont essentielles pour ceux qui aspirent à exceller en maths et pour le bac, car elles fournissent une compréhension solide des principes de hasard et d’incertitude. Pour renforcer encore plus ces notions, envisager le recours de cours particuliers maths peut être extrêmement bénéfique. Un tel soutien, adapté au niveau de seconde, aide à identifier et à surmonter les obstacles spécifiques, et incite à une compréhension plus profonde et plus nuancée des probabilités, une compétence essentielle pour une maîtrise complète des mathématiques et pour la vie quotidienne.

Exercice 1 : Analyse probabiliste d’un tirage de boules de couleurs niveau seconde

Une urne contient trois boules rouges notées $R1,R2$ et $R3$ , deux boules blanches notées $B1$ et $B2$ et une boule noire notée $N$ .

On tire simultanément deux boules dans l’urne.

On note $A$ l’événement : les deux boules ont la même couleur ; et $B$ l’événement : les deux boules ont des couleurs différentes.

1. Donner l’univers noté $\Omega$ de cette expérience aléatoire.

2. Déterminer les ensembles correspondants aux événements $A,B$ , $A\cap B$ , $A\cup B$ , $\overline{A}$ et $\overline{B}$ .

3. Déterminer les cardinaux (nombre d’éléments) de ces ensembles d’événements.

4. Calculer les probabilités de ces événements.

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Exercice 2 de maths : Événements dans un lancer de dés en 2nde

On lance deux dés réguliers à quatre faces numérotées $1, 2,3$ et $4$ .

Donner l’ensemble des événements :

(a) $E$ : les deux nombres obtenus sont égaux.

(b) $F$ : la somme des nombres obtenus est un nombre pair.

(d) $E\cap F$ , $E\cap G$ , $E\setminus G$ et $(E\cup G)\cap \overline{G}$ .

Prouver que pour deux événements $A$ et $B$ :

$P(A\setminus B)=&P(A)-P(A\cap B)\cr$

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=&P(\overline{A})+P(A\cap B)-P(B)$

Calculer les probabilités : $P(E)$ , $P(G)$ et $P(E\cap G)$ .

En déduire $P(\overline{E\cup G})$ .

Quiz 3 de maths : Vrai ou faux sur les probabilités en seconde

On considère une expérience aléatoire d’univers $\Omega$ . On considère deux événements $A$ et $B$ , deux sous-ensembles de $\Omega$ .

Dire si l’affirmation est vraie ou fausse. Démontrer votre réponse.

1. Si $A\subset B$ alors $\overline{B}\subset \overline{A}$ .

2. $P(A)+P(B)>1$ si et seulement si $A\cap B\neq \emptyset$ .

3. $P(A)<P(B)$ si et seulement si $\overline{B}\subset \overline{A}$ .

4. $P(A\cup B) \geq P(A\cap B)$ .

5. Si $\overline{A}=\emptyset$ , alors $P(A)=1$ .

6. Si $P(A\cap B)=P(A\cup B)$ , alors $A=B$ .

7. Si $A\subset \overline{B}$ , alors $P(A\cap B)=0$

Exercice 4 : QCM sur les probabilités pour la seconde

On lance 200 fois une pièce à deux faces. L’intervalle de confiance est de $[0,51;0,54]$ .

1. La pièce est équilibrée.

2. La probabilité d’obtenir face est inférieure à $0,56$ .

3. Si on lance deux fois cette pièce, la probabilité d’obtenir pile puis face est inférieure à $\dfrac{1}{4}$ .

4. Si on lance une fois cette pièce, la probabilité d’obtenir pile est $0,5$ .

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Corrigé de l’exercice 1 : Analyse probabiliste d’un tirage de boules de couleurs

En piochant deux boules dans l’urne, les issues possibles sont

$R1R2$ , $R1R3$ , $R2R3$ , $R1B1$ , $R1B2$ , $R2B1$ , $R2B2$ , $R3B1$ , $R3B2$ , $R1N$ , $R2N$ , $R3N$ , $B1B2$ , $B1N$ et $B2N$ .

En tout, il y a 15 issues. Donc :

$\Omega=\{R1R2, R1R3, R2R3, & R1B1, R1B2, R2B1, R2B2, R3B1,\cr & R3B2,R1N, R2N, R3N, B1B2, B1N,B2N\}$

On a :

L’événement $A$ , obtenir deux boules qui ont la même couleur, se réalise si et seulement si les deux boules sont rouges ou les deux boules sont blanches. Avoir deux boules noires est impossible.Donc, $A=\left\lbrace R1R2,R1R3,R2R3,B1B2\right\rbrace$ .

L’événement $B$ , obtenir deux boules de couleurs différentes, se réalise si et seulement si on a une boule rouge avec une boule blanche, une boule rouge avec une boule noire ou une boule blanche avec une boule noire.Donc, $B=\overline{A}$ .

L’événement $A\cap B$ correspond à obtenir deux boules à la fois de même couleur et de couleur différente. Donc, $A\cap B=\emptyset$ . Mathématiquement, $A\cap B=A\cap\overline{A}=\emptyset$ .

L’événement $A\cup B$ correspond à {\em obtenir deux boules de même couleur ou de couleurs différentes}. Donc, $A\cup B=\Omega$ . Mathématiquement, $A\cup B=A\cup\overline{A}=\Omega$ .

$\overline{A}=B$ et $\overline{B}=\overline{\overline {A}}=A$ .

On a :

Le cardinal de $A$ est égal à 4.

Le cardinal de $B$ est égal à 11.

Le cardinal de $A\cap B$ est égal à 0.

Le cardinal de $A\cup B$ est égal à 15.

Le cardinal de $\overline{A}$ est égal à 11.

Le cardinal de $\overline{B}$ est égal à 4.

D’après la question précédente, on obtient :

$P(A)=\dfrac{4}{15}$

$P(B)=\dfrac{11}{15}$

$P(A\cap B)=\dfrac{0}{15}=0$

$P(A\cup B)=\dfrac{15}{15}=1$

$P(\overline{A})=\dfrac{11}{15}$

$P(\overline{B})=\dfrac{4}{15}$ .

Réponse à l’exercice 2 : Événements dans un lancer de dés en 2nde

On lance deux dés réguliers à quatre faces numérotées $1,2,3,4$ .On s’intéresse au couple de numéros des faces obtenues.

Alors, l’univers associé à cette expérience est $\Omega=\left\lbrace\{i,j\}\right\rbrace$ avec $i,j\in \left\lbrace 1,\dots,4\right\rbrace$ .

On note :

$E$ : les deux nombres obtenus sont égaux.

$F$ : la somme des nombres obtenus est un nombre pair.

$G$ : on a au moins un $4$ .

1. Les événements élémentaires sont de la forme de couple $(i;j)$ où $i$ correspond au résultat du premier dé alors que $j$ correspond au résultat du deuxième dé. Ainsi, sous forme ensembliste, on obtient :

(a) $E=\left\lbrace (1;1), (2;2), (3,3), (4,4)\right\rbrace$

(b) $F=\left\lbrace (1;1), (1;3), (3;1), (2;2), (2;4), (4;2), (3,3), (4,4)\right\rbrace$

(d) $E\cap F=E$

$E\cap G=\left\lbrace(4;4)\right\rbrace$

$E\backslash G=E\cap \overline{G}=\left\lbrace (1;1), (2;2), (3;3) \right\rbrace$

$(E\cup G\}\cap \overline{G}=(E\cap \overline{G})\cup (G\cap \overline{G})=E\cap \overline{G}=\left\lbrace(1;1), (2;2), (3;3)\right\rbrace$

2. Soient $A$ et $B$ deux événements :

Par un raisonnement direct.

On rappelle que $P(A\backslash B)=P(A\cap \overline{B})$ et $A=A\cap \Omega=A\cap (B\cup \overline{B})$ .

Alors, $A=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap \overline{B} \right)$ .

Sachant que $\left(A\cap B\right)\cap \left(A\cap \overline{B} \right)=\emptyset$ , $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})$ .

Donc, $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$ .

Par conséquent, $P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)$ .

Par un raisonnement direct.

Sachant que $P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A \cup B})$ et que $P(\overline{A \cup B})=1-P(A \cup B)$ alors:

$P(\overline{A}\cap\overline{B})$ $& =1-P(A \cup B)$

$P(\overline{A}\cap\overline{B})$ $& =1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)$

$P(\overline{A}\cap\overline{B})$ $& =P(\overline A)-P(B)+P(A \cap B)$

Ce qui achève la démonstration.

3. Chaque événement élémentaire a la même probabilité, alors :

$P(E)=\dfrac{7}{16}$ .

$P(G)=\dfrac{7}{16}$ .

$P(E\cap G)=\dfrac{1}{16}$ .

$P(\overline{E \cup G})=& 1-P(E\cup G)\cr$

$P(\overline{E \cup G})=& 1-P(E)-P(G)+P(E\cap G)\cr$

$P(\overline{E \cup G})=& 1-\dfrac{4}{16}-\dfrac{7}{16}+\dfrac{1}{16}\cr$

$P(\overline{E \cup G})=& \dfrac{6}{16}$

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Correction exercice 3 : Vrai ou faux sur les probabilités en seconde

On considère une expérience aléatoire d’univers $\Omega$ et deux événements $A$ et $B$ deux sous ensembles de $\Omega$ .

1.Vrai. Par un raisonnement direct.

On rappelle que pour deux ensembles $A$ et $B$ , $A\subset B$ si et seulement si $A=A\cap B$ , et si et seulement si $B=A\cup B$ .

Soient $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\Omega$ tels que $A\subset B$ . Alors $B=A\cup B$ , donc $\overline{B}=\overline{A \cup B}$ .

Ce qui, par la loi de Morgane, donne $\overline{B}=\overline{A} \cap \overline{B}$ . Ce qui permet de conclure que $\overline{B}\subset \overline{A}$ . D’où le résultat.

2. Faux.

Cette propriété est une relation d’équivalence entre deux propositions que l’on note

${\bf P}$ et ${\bf Q}$ avec ${\bf P}$ : $P(A)+P(B)>1$ et ${\bf Q}$ : $A\cap B\neq \emptyset$ .

On a l’implication ${\bf P}$ $\Rightarrow$ ${\bf Q}$ , si ${\bf P}$ est vraie alors ${\bf Q}$ sera forcément vraie; mais la réciproque est fausse.

On veut montrer par contraposition que ${\bf P}$ $\Rightarrow$ ${\bf Q}.}$

Soient alors $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A)+P(B)>1$ .

Si $A\cap B=\emptyset$ , c’est-à-dire que la proposition ${\bf Q}$ n’est pas vraie, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ .

Comme $A\cup B\subset \Omega$ alors $P(A\cup B)\leq P(\Omega)=1$ .

Par conséquent, $P(A)+P(B)\leq 1$ . Ce qui montre que la proposition ${\bf P}$ n’est pas vraie. Par passage à la contraposition, la proposition ${\bf P}$ implique la proposition ${\bf Q}$ .

On veut montrer par un contre-exemple que ${\bf Q} \nRightarrow$ ${\bf P}.}$

On considère $\Omega=\{a,b,c,d,e\}$ , $A=${a,b\}$ et $B=\{b,c\}$ alors $A\cap B\neq \emptyset$ alors que $P(A)+P(B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}<1$ .

En conclusion, l’équivalence $P(A)+P(B)>1$ si et seulement si $A\cap B\neq \emptyset$ n’est pas vraie.

3. Faux.

Comme dans la question précédente, cette affirmation est une relation d’équivalence entre deux propositions notées

${\bf P}$ et ${\bf Q}$ avec ${\bf P}$ : $P(A)<P(B)$ et ${\bf Q}$ : $\overline{B}\subset \overline{A}$ .

On veut montrer par un contre-exemple que la proposition ${\bf P}$ n’entraîne pas la proposition ${\bf Q}.}$

On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé équilibré à six faces numérotées $1,1,1,2,2,3$ .

On s’intéresse au numéro de la face affichée.

En notant $A$ l’événement \emph{obtenir la face $\no 3$ } et $B$ l’événement \emph{obtenir la face $\no 1$ },

On obtient $P(A)=\dfrac{1}{6}$ et $P(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ .

Ce qui donne $P(A)<P(B)$ .

En outre, $\overline{B}=\{2,3\}$ et $\overline{A}=\{1,2\}$ .

Donc, $\overline{B} \not\subset \overline{A}$ .

Ainsi, on a une proposition de la forme ${P}$ et $\textbf{non-Q}$ .

On veut montrer par un raisonnement direct que la proposition ${\bf Q}$ entraîne la proposition ${\bf P}.}$

Soient $A$ et $B$ deux ensembles tels que $\overline{B}\subset \overline{A}$ . Alors, $A\subset B$ .

Par conséquent, $P(A)\leq P(B)$ . Car, la probabilité est une fonction croissante des événements.

Remarque : Pour montrer qu’une relation d’équivalence est fausse, il suffit de montrer que l’une des deux implications est fausse. Dans les deux cas précédents, on a démontré que l’une des implications est vraie alors que l’une est fausse. Ces démonstrations sont à but pédagogique; mais il n’est pas nécessaire que l’une des implications soit vraie.

4. Vrai. Par un raisonnement direct

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. Alors $A\cap B\subset A\cup B$ . Par la croissance de la probabilité, $P(A\cap B)\leq P(A\cup B)$ .