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Exercices et corrigés sur la physique quantique en maths spé

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Ces exercices corrigés pour la maths spé en physique chimie sur la physique quantique pourront vous aider à mieux comprendre les notions sur Pseudo-OPPH, Vitesse de groupe, vitesse de phase. En plus de ces exercices et corrigés que vous pouvez faire en autonomie, Groupe Réussite propose si vous souhaitez cibler des concours comme X/ENS, Centrale Supelec ou encore Mines Ponts l’aide d’un prof de physique chimie. Au quotidien, l’enseignant à domicile ou en ligne vous proposera des résumés de cours et des séries d’exercices ou d’annales ciblées pour répondre à vos problématiques et vous faire gagner des points aux différentes épreuves.

QCM sur la physique quantique en maths spé

Question 1 :

Le terme spatial $\varphi(x)$ de la solution stationnaire est

a. toujours une exponentielle complexe ou réelle

b. toujours une exponentielle complexe

c. toujours une exponentielle réelle

d. parfois une fonction qui n’est ni exponentielle complexe ni exponentielle réelle.

Question 2 :

Une onde progressive harmonique définie sur $]-\infty,+\infty[$ solution de l’EDS

a. est non normalisable et de largeur spectrale non nulle

b. est non normalisable et de largeur spectrale nulle

c. est normalisable et de largeur spectrale non nulle

d. est normalisable et de largeur spectrale nulle

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Corrigé du QCM de maths spé sur la physique quantique

Question 1 :

La bonne réponse est la d.

$\varphi(x)$ est exponentielle réelle ou complexe quand $V(x)$ est constante sur un intervalle, mais peut être une autre fonction si $V(x)$ n’est pas une fonction en escaliers.

Question 2 :

La bonne réponse est b.

Exercices sur la physique quantique en maths spé

Exercice sur le paquet d’ondes.

Un paquet d’ondes possède un spectre continu dont la densité spectrale est

$\displaystyle{\alpha(k)=\frac{d\psi_0}{dk}}$

où $\psi_0$ est l’amplitude de la solution stationnaire de l’EDS, et dont la fonction d’onde est une somme intégrale

$\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=-\infty}^{+\infty}d\psi(x,t)}$

$\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=-\infty}^{+\infty}d\psi_0(k)e^{-i(\omega t-kx)}}$

$\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=-\infty}^{+\infty}\alpha(k)e^{-i(\omega t-kx)}dk}$

Un paquet d’ondes possède un profil spectral rectangulaire

$\alpha(k)=\alpha_0$ pour $k\in\left[k_0-\frac{\Delta k}{2},k_0+\frac{\Delta k}{2}\right]$

et nulle partout ailleurs.

1. Pour $k=k_0$ , donner l’expression de la pulsation

$\omega(k=k_0)=\omega_0$ et de sa dérivée

$\displaystyle{v_g=\frac{d\omega}{dk}(k=k_0)}$

En fonction de $k_0$ et de la masse $m$ de la particule.

2. On fait le développement limité au premier ordre

$\displaystyle{\omega(k)\simeq\omega_0+\frac{d\omega}{dk}\cdot (k-k_0)}$

Soit $\displaystyle{\omega(k)\simeq\omega_0+v_g(k-k_0)}$

On pose $x=X+v_gt$ et $K=k-k_0$ .

Écrire la fonction d’onde sous la forme

$\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\beta}\int_{-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}e^{iKX}dK}$

Où on donnera l’expression de $\beta$ en fonction de $X$ et de $t$ .

3. En calculant explicitement l’intégrale, montrer que

$\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\beta}\Delta k\mathrm{~sinc~}\frac{X\Delta k}{2}}$

Avec $\displaystyle{\mathrm{sinc~}u=\frac{\sin u}{u}}$

Et en déduire l’expression de la densité linéïque de probabilité $\rho(X)$ .

4. La fonction $\mathrm{sinc}^2u$ passe par un maximum absolu égal à 1 pour $u=0$ . Expliquer pourquoi $v_g$ est la vitesse de groupe.

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Exercice sur la marche de potentiel de hauteur inférieure à l’énergie.

Une particule de masse $m$ , d’énergie $E$ , est soumise à un champ de forces qui dérive de l’énergie potentielle

$V(x)=0$ pour $x<0$

$V(x)=V_0<E$ pour $x>0$

1. Donner l’expression des solutions stationnaires en notant $A_1$ et $A_2$ les amplitudes des ondes se propageant dans le sens des $x$ croissants et $B_1$ et $B_2$ l’amplitude de celles se propageant dans l’autre sens.

On posera

$\displaystyle{k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}$ et $\displaystyle{k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}}$

2. On considère un faisceau de particules venant de $-\infty$

Déterminer les coefficients $\displaystyle{r=\frac{B_1}{A_1}}$ et $\displaystyle{t=\frac{A_2}{A_1}}$

3. En déduire les coefficients de réflexion $R$ et de transmission $T$ en courant de probabilités.

4. Application : un faisceau de particules homocinétiques est formé de 98,000 pourcents d’ions X de masse $m$ et d’énergie $E$ et de 2,000 pourcents d’ions de masse $m'=1,01m$ et d’énergie $E'$ . On prend $V_0=E/2$ .

Quel est le pourcentage des ions formant le faisceau transmis ?

Corrigé des exercices la physique quantique en maths spé

Corrigé sur le paquet d’ondes.

1. La relation de dispersion s’écrit

$\displaystyle{\omega=\frac{\hbar}{2m}k^2}$

Donc

$\displaystyle{\omega_0=\frac{\hbar k_0^2}{2m}}$

On en déduit la vitesse de groupe

$\displaystyle{\frac{d\omega}{dk}=\frac{\hbar}{m}k}$

$\displaystyle{v_g=\frac{\hbar k_0}{m}}$

2. On calcule l’intégrale dans l’intervalle de non nullité, en remplaçant $k$ et $x$ par les expressions fournies

$\displaystyle{\psi(x,t)=\int_{k=k_0-\frac{\Delta k}{2}}^{k_0+\frac{\Delta k}{2}}}$

$\displaystyle{\alpha_0e^{-i\left(\omega_0t+v_gkt-v_gk_0t-kX-kv_gt\right)}dk}$

$\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0\int_{k=k_0-\frac{\Delta k}{2}}^{k_0+\frac{\Delta k}{2}}}$

$\displaystyle{e^{-i\left(\omega_0t-v_gk_0t-kX\right)}dk}$

Effectuons le changement de variable d’intégration proposé par l’énoncé

$K=k-k_0$ donc $k=K+k_0$ et $dk=dK$

$\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0\int_{K=-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}}$

$\displaystyle{e^{-i\left(\omega_0t-v_gk_0t-KX-k_0X\right)}dK}$

$\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\left((\omega_0-v_gk_0)t-k_0X\right)}}$

$\displaystyle{\int_{K=-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}e^{iKX}dK}$

On retrouve donc bien la formule donnée par l’énoncé avec

$\beta=(\omega_0t-v_gk_0)t-k_0X$ .

3. Le calcul de l’intégrale est simple :

$\displaystyle{I=\int_{K=-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}e^{iKX}dK}$

$\displaystyle{I=\left[\frac1{iK}e^{iKX}\right]_{-\frac{\Delta k}{2}}^{\frac{\Delta k}{2}}}$

$\displaystyle{I=\frac{e^{iX\frac{\Delta k}{2}}-e^{-iX\frac{\Delta k}{2}}}{iX}}$

$\displaystyle{I=\frac{2i\sin\frac{X\Delta k}{2}}{2i\frac{X\Delta k}{2}}\cdot\Delta k}$

$\displaystyle{I=\Delta k\cdot \mathrm{sinc~}\frac{X\Delta k}{2}}$

Donc

$\displaystyle{\psi(x,t)=\alpha_0e^{-i\beta}\Delta k\mathrm{~sinc~}\frac{X\Delta k}{2}}$

Qui est bien la forme attendue. La densité linéïque de probabilité est, par définition :

$\displaystyle{\rho(x)=\psi(x,t)\cdot\psi^*(x,t)}$

$\displaystyle{\rho(x)=\alpha_0^2\Delta k^2\mathrm{~sinc^2~}\frac{X\Delta k}{2}}$

4. Le pic de probabilité correspond au maximum de $\rho(x,t)$ , et est donc atteint, à la date $t$ , lorsque $X=0$ (maximum de la fonction sinus cardinal carré), soit

$x-v_gt=0$ soit $x=v_gt$

$v_g$ est donc la vitesse de déplacement du maximum de la fonction $\rho$ , c’est donc celle de déplacement du paquet d’onde, ce qui est bien la définition de la vitesse de groupe.

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Corrigé sur la marche de potentiel de hauteur inférieure à l’énergie.

1. Les solutions s’écrivent

* pour $x<0$

$\displaystyle{\psi_1(x,t)=A_1\exp(-i(\omega t-k_1x))}$

$\displaystyle{+B_1\exp(-i(\omega t+k_1x))}$

* pour $x>0$

$\displaystyle{\psi_2(x,t)=A_2\exp(-i(\omega t-k_2x))}$

$\displaystyle{+B_2\exp(-i(\omega t+k_2x))}$

2. Les particules venant de $-\infty$ , on prend $B_2=0$ . On écrit, en $x=0$ , les relations de continuité de $\varphi$ et de sa dérivée car la marche de potentiel est de hauteur finie

$\displaystyle{A_1+B_1=A_2}$

$\displaystyle{ik_1A_1-ik_1B_1=-ik_2A_2}$

En divisant la première relation par $A_1$ et la seconde par $ik_1A_1$ il vient

$1+r=t$ et $\displaystyle{1-r=\frac{k_2}{k_1}t}$

On en déduit

$\displaystyle{r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}}$

$\displaystyle{t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}}$

3. Par définition

$\displaystyle{R=\frac{k_1B_1B_1^*}{k_1A_1A_1^*}=r^2=\frac{(k_1-k_2)^2}{(k_1+k_2)^2}}$

$\displaystyle{T=\frac{k_2A_2A_2^*}{k_1A_1A_1^*}=\frac{k_2}{k_1}t^2=\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}}$

On vérifie $R+T=1$

4. L’énergie des deux types de particules diffère. Comme elles viennent de $-\infty$ , où l’énergie potentielle est nulle, leur énergie est donc purement cinétique donc, en notant $v$ leur vitesse commune