Chapitres Maths en ECG1

Exercices sur les espaces vectoriels & applications linéaires ECG 1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Espaces vectoriels et applications linéaires

Exercice 1 :

Montrer que les applications suivantes sont linéaires. Déterminer leur noyau et leur image. Préciser enfin si elles sont bijectives.

1) $\begin{cases} g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \\ \left( x , y , z \right) \mapsto \left( x - y - z , y - 2 z \right) \end{cases},$

2) $\begin{cases} h : \mathbb{R}_2 \left[ X \right] \to \mathbb{R}^3 \\ P \mapsto \left( P \left( 0 \right) , P ' \left( 0 \right) , P '' \left( 0 \right) \right) \end{cases},$

3) $\begin{cases} i : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \\ \left( x, y \right) \mapsto \left( y , x \right) \end{cases}.$

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Exercice 2 :

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ tel que les images des vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^3$ sont respectivement $\left( 1 , - 1 , 2 \right) , \left( - 3 , 2 , - 1 \right), \left( - 7 , 4 ,1 1 \right).$

1) Pour $u \in \mathbb{R}^3,$ calculer $f \left( u \right).$

2) Déterminer les éventuels antécédents de $\left( - 1 , - 1 , 8 \right)$ et $\left( - 2 , 1, 3 \right).$ $f$ est-elle injective ? surjective ?

Exercice 3 :

Soit $A \in \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right).$ Soit $f : \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right) \to \mathcal M_n \left( \mathbb{R} \right)$ définie par $f \left( M \right) = AM.$