Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Intégration en ECG1

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.9 (1012 reviews)

Résumé de cours Exercices Corrigés

Courss en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Intégration

Exercice 1 :

Calculer les intégrales suivantes, après en avoir justifié l’existence :

1) $\int_1^2 \dfrac{\ln \left( x \right)}{x} dx,$

2) $\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \cos^4 \left( t \right) dt,$

3) $\int_0^{\dfrac12} \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx,$

4) $\int_0^1 t^2 \ln \left( t \right) dt,$

5) $\int_0^1 t \mathrm{Arctan} \left( t \right) dt.$

Exercice 2 :

Calculer les intégrales suivantes, après en avoir prouvé l’existence, en faisant les changements de variable indiqués.

1) $\int_1^{10} \dfrac{x}{ \left( x^2 + 1 \right) \left( x^2 +2 \right)}dx$ en posant $y=x^2$ (on pourra trouver les réels $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{\left( y + 1 \right) \left( y + 2 \right)}$ $= \dfrac{a}{y + 1} + \dfrac{b}{y + 2}$ ),

2) $\int_0^1 \sqrt{1 - t^2} dt$ en posant $t=\sin \left( \theta \right)$ avec $\theta \in \left[ 0 , \dfrac{\pi}{2} \right].$

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Exercice 3 :

Pour $p,q \in \mathbb{N}$ et pour $a < b,$ on définit $I_{p,q} = \int_a^b \left( t- a \right)^p \left( b- t \right)^q dt.$

1) Calculer $I_{0,q}.$

2) Montrer que pour tout $p \ge 1$ et tout $q \in \mathbb{N},$ on a

$I_{p, q} = \dfrac{p}{q + 1} I_{p - 1 , q + 1}.$

3) En déduire la valeur de $I_{p,q}$ dans le cas général.

Exercice 4 :

Soit, pour $n \in \mathbb{N},$ $I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n}{1 + t^2} dt.$

1) Montrer que $\left( I_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante, minorée.

2) Calculer la valeur de la limite.

3) Montrer que la suite $\left( n I_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et calculer sa limite.

Chaque cours de maths en ECG1 doit être retravaillé au travers de divers exercices afin de s’assurer de n’avoir aucune lacune. Après ces exercices sur l’intégration, contrôler vos connaissances sur d’autres chapitre de maths :

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