Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Probabilités sur un univers fini en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Probabilités sur un univers fini

Exercice 1 :

Une urne contient $n$ boules distinctes numérotées de $1$ à $n.$ On effectue un tirage de $p$ boules avec $p \in [\![ 1, n ]\!].$

1) On suppose dans cette question que les $p$ boules sont extraites simultanément. Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2) Soit $k \in [\![ p , n ]\!].$ Déterminer le nombre de tirages tels que :

a) toutes les boules obtenues ont un numéro inférieur ou égal à k,

b) le plus grand numéro est $k.$

c) En déduire que $\displaystyle\sum_{k=p}^n \displaystyle\binom{k - 1}{p - 1} = \displaystyle\binom{n}{p}.$

3) On suppose dans cette question que les tirages sont successifs et sans remise.

a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?

b) Combien y a-t-il de tirages commençant par la boule numéro $2$ ?

4) On suppose dans cette question que les tirages sont successifs et avec remise.

a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?

b) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels le premier numéro obtenu est strictement inférieur au dernier ?

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Exercice 2 :

Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. On note $S_n^p$ le nombre de surjections d’un ensemble à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.

1) a) Pour $n > p,$ calculer $S_n^p.$

b) Pour $p \in \mathbb{N}^*,$ calculer $S_p^p$ et $S_1^p.$

c) Montrer que pour tout $p \ge 2,$ $S_2^p = 2^p - 2.$

d) Montrer que $S_n^{n + 1} = \frac{n}{2} \left(n + 1 \right)!.$

2) Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels tels que $1 \le n \le p.$

a) Soit $q \in [\![ 1 , n - 1 ]\!].$ établir que : pour $k \in [\![ q , n ]\!],$ $\displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{q} = \displaystyle\binom{n}{q} \displaystyle\binom{n - q}{k - q}.$

En déduire :

$\displaystyle\sum_{k=q}^n \left( - 1 \right)^k \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{k}{q} = 0.$

b) Soit $i \in [\![ 1 , n ]\!].$ On pose $\mathcal A_i = \left\{ f \in F^E, \, \mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right) = i \right\}.$ Justifier que $F^E = \bigcup_{i=1}^n \mathcal A_i.$ En déduire que :