Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Raisonnement et vocabulaire ensembliste

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Exercice 1 :

Soit $E$ un ensemble non vide et soit $f : E \to E$ une application.

1) Montrer que, si $A, B \subset E,$ alors $f^{- 1} \left( A \cap B \right) = f^{-1} \left( A \right) \cap f^{-1} \left( B \right).$

2) On suppose $f$ injective. Pour $A, B \subset E,$ montrer que $f \left( A \cap B \right) = f\left( A \right) \cap f \left( B \right).$

Exercice 2 :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Soit $f: E \to E$ une application injective.

1) Soit $m = \mathrm{card} \left( f \left( E \right) \right).$ Justifier que $m \in \mathbb{N}^*$ et $m \le n.$

2) Si $F$ et $G$ sont des ensembles non vides, $F$ étant fini et si $g : F \to G$ est une application injective, montrer que l’on a :

$\mathrm{card} \left( F \right) = \mathrm{card} \left( g \left( F \right) \right).$

Indication : On pourra raisonner par récurrence sur le cardinal de $F.$

3) En déduire que $m=n.$

4) Conclure.

Exercice 3 :

Soit $E$ un ensemble non vide et soit $f: E \to E$ une application.

On suppose que $f \circ f \circ f = f.$

Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.

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Exercice 4 :

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Si oui, on demande une preuve, sinon un contre-exemple suffit.

1) L’assertion suivante : » Noël est un 26 décembre donc 1 + 1 = 3 » est vraie.

2) Une application bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est nécessairement strictement monotone.

3) L’application $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f \left( x , y \right) = \left( x , x \right)$ est injective.

4) Le contraire de l’assertion suivante :

$\forall \epsilon > 0, \, \left( x^2 \le \epsilon \right) \Rightarrow \left( \left| x \right| \le \epsilon \right)$

est

$\exists \epsilon > 0, \, \left( x^2 \le \epsilon \right) \, \text{et} \, \left( \left| x \right| > \epsilon \right).$

Exercice 5 :

Soient $E,F$ et $G$ trois ensembles et deux applications $f: E \to F$ et $g : F \to G.$ Montrer que :

1) si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective.

2) si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.

3) On suppose $E= F =G.$ Montrer que :

si $f \circ g \circ f$ est bijective, alors $f$ et $g$ sont bijectives.

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