Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Séries numériques en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Séries numériques

Exercice 1 :

Donner la nature des séries dont le terme général est donné ci-dessous. En cas de convergence, calculer la somme.

1) $\dfrac{3^{2n + 1}}{n!},$

2) $n \dfrac{4^n}{3^{2n}},$

3) $\dfrac{n}{ \left( n + 1 \right)!}.$

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Exercice 2 :

Pour $x > 1,$ on pose $\zeta \left( x \right) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}.$

1) Vérifier que l’ensemble de définition de $\zeta$ est $\left] 1, + \infty \right[.$

2) En faisant une comparaison série-intégrale, déterminer $\lim_{x \to 1^+} \left( x - 1 \right) \zeta \left( x \right).$

Exercice 3 :

Soit la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = \dfrac12$ et pour tout $n \in \mathbb{N},$

$u_{n + 1} = u_n - u_n^2.$

1) Montrer que la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et converge vers $0.$

2) Prouver que la série $\displaystyle\sum_{n \ge 0} u_n^2$ converge et calculer sa somme.

3) A l’aide des sommes partielles, prouver que la série de terme général $\ln \left( \dfrac{u_{n +1}}{u_n} \right)$ diverge.

4) Utilisez la règle des équivalents pour en déduire la nature de la série de terme général $u_n.$

Exercice 4 :

Soit $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs de limite nulle. Soient les suites $\left( S_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ et $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$ et $v_n = \dfrac{u_{n + 1}}{S_n}.$

Montrer que les séries $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ sont de même nature.

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