Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Suites réelles en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Suites réelles

Exercice 1 :

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Si oui, on demande une preuve, sinon un contre-exemple suffit.

1) Si $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite positive qui converge vers $0,$ alors $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang.

2) Si $\left( u_n^2 \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, alors $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.

3) Si $\left( u_n^2 \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et si $u_n \ge 0,$ alors $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.

4) Une suite convergente est bornée.

5) Une suite croissante et non majorée diverge vers $+ \infty.$

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Exercice 2 :

Etudier la monotonie des suites définies par :

1) Pour tout $n \in \mathbb{N},$ $u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} - n,$

2) Pour tout $n \in \mathbb{N},$ $u_n = \frac{e^n}{n!},$

3) Pour tout $n \in \mathbb{N}^*,$ $u_n = \frac{\ln^2 \left( n \right)}{n}.$

Exercice 3 :

Soit $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de réels vérifiant

$\forall n \ge 1, \qquad 2u_n \le u_{n- 1} + u_{n + 1 }.$

1) Soit $v_n = u_{n +1} - u_n.$ Montrer que $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante.

2) Montrer que $\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0.$

Exercice 4 :

Pour chacune des suites $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}},$ exprimer $u_n$ en fonction de $n$ :

1) $u_{n + 2 } = u_{n+1} + u_n$ avec $u_0=0 , u_1 = 1,$

2) $u_{n+ 1} = 2 u_n + 3$ avec $u_1 = 3,$

3) $u_{n+2}= \sqrt{u_{n+1} u_n}$ avec $u_0=1$ et $u_1 =e,$

4) $u_{n+1} = 2 u_n + n + 3$ avec $u_1 = 2,$

5) $u_{n+ 3} = -u_{n+2} + u_{n + 1} + u_n$ avec $u_0=3, u_1=1$ et $u_2=1.$

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