Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Cours : Formules de Taylor et développements limités en ECG 1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
1. Savoir utiliser les relations de comparaison en prepa HEC ECG
Méthode 1 : La relation de négligeabilité.
Pour les suites : Soient et deux suites.
Si vous rencontrez des problèmes en mathématiques, nos cours particuliers de maths visent spécifiquement à assister les élèves en ECG1 dans leur démarche pour exceller en maths.
On suppose que la suite ne s’annule pas à partir d’un certain rang. Pour montrer que on montre que
Pour les fonctions : Soient et deux fonctions définies sur un voisinage de (). On suppose que la fonction ne s’annule pas au voisinage de (sauf éventuellement en lorsque est réel). Pour montrer que on montre que
Cas particuliers : on peut traduire les résultats sur les puissances comparées avec la notation « » : pour tout réel et pour tout
Piège : Pour les fonctions, il faut bien indiquer le point en lequel on travaille, ici En effet, on peut très bien avoir
et ainsi si l’on omet de mettre le point, il peut y avoir des ambiguïtés.
Par contre, pour les suites, il n’y a pas d’ambiguïté car les limites se considèrent uniquement lorsque tend vers
Exemple : Montrer les relations de négligeabilité suivantes :
1)
2)
Réponse :
1) Le quotient donne :
Ainsi
D’où
2) On a (c’est un taux d’accroissement).
D’où
Méthode 2 : La relation d’équivalence.
Pour les suites : Soient et deux suites.
Pour montrer que on montre qu’il existe une suite de limite et telle que Lorsque la suite ne s’annule pas à partir d’un certain rang, on montre que
Pour les fonctions : Soient et deux fonctions définies sur un voisinage de ().
Pour montrer que on montre qu’il existe une fonction définie sur un voisinage de de limite et telle que
Lorsque la fonction ne s’annule pas sur un voisinage de sauf éventuellement en si est fini, on montre que
Equivalents et limites : on fera attention de distinguer les résultats suivants :
Si la suite converge vers le réel non nul alors Si la fonction admet une limite finie non nulle en alors
Si et si admet une limite (finie ou infinie), il en est de même de la suite Si et si la fonction admet une limite finie ou infinie en il en est de même de la fonction
Il est utile de savoir que si avec alors
Les équivalents « passent » bien au produit, au quotient et à la puissance, c’est-à-dire que si et alors lorsque à partir d’un certain rang.
Si pour tout on a et alors pour tout
Si si alors (pas d’hypothèse sur le signe de et ).
Si si et si ne s’annule pas à partir d’un certain rang (il en est donc de même pour ), alors
Pour trouver un équivalent d’une somme de termes dont au moins l’un tend vers l’infini, mettre en facteur le terme qui tend le plus vite vers l’infini.
Pour trouver un équivalent d’une somme de termes qui admettent tous pour limite, mettre en facteur le terme qui tend le moins vite vers
C’est une erreur classique que de penser que l’on peut composer les équivalents par la fonction l’exponentielle : si nous n’avons pas en général Pour s’en convaincre, il suffit de prendre et
On retiendra aussi, qu’il est impossible de composer des équivalents par la fonction
Par exemple, et sont strictement positifs, vérifient
Pourtant, et n’est donc pas équivalent à
Quelques équivalents usuels à retenir :
Exemple : 1) Montrer la relation d’équivalence suivante :
2) Trouver un équivalent de : en et en
Réponse :
1) Si l’on pose est dérivable en et donc soit
2) En :
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2. Formules de Taylor en prepa HEC ECG
Méthode 3 : Appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange.
Soit une fonction de classe sur un intervalle telle que soit bornée sur Soient et deux points de alors :
Remarque : lorsque l’on ne suppose pas bornée sur on peut quand même écrire : pour tout
Cette formule servira dans les cas suivants :
lorsque l’on doit montrer des inégalités faisant intervenir les dérivées successives d’une fonction,
et dans les exercices plus théoriques faisant intervenir des dérivées successives en un même point (c’est vague, je sais…).
Exemple :Montrer que tout réel on a
Réponse : Il suffit d’écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange avec
en remarquant que pour tout et
Si et si Dans tous les cas, D’où :
Puis,
Remarque : Et maintenant la question que vous vous posez, quelle formule de Taylor choisir ? Vous cherchez une propriété valable au voisinage d’un point (ce que l’on appelle une propriété locale) : pensez à la formule de Taylor-Young.
Vous cherchez une propriété valable sur tout un intervalle (ce que l’on appelle une propriété globale) :
elle contient une valeur absolue ; pensez inégalité de Taylor-Lagrange,
il n’y a pas de valeur absolue : vous avez la malchance de devoir vous souvenir de la formule de Taylor avec reste intégral, mais rassurez-vous, la situation est rare.
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3. Développements limités en prepa ECG
Méthode 6 : Savoir faire un développement limité.
On donne ci-dessous la liste des développements limités usuels au voisinage de Il faut absolument la connaître sur le bout des doigts.
On rappelle que ces développements limités sont une conséquence de la formule de Taylor-Young : si est une fonction de classe au voisinage d’un point alors admet un développement limité à l’ordre en et :
Les développements limités servent principalement à :
calculer des limites (lorsqu’il y a des formes indéterminées),
faire l’étude de fonction au voisinage d’un point (continuité, dérivabilité, signe, etc.),
trouver un équivalent simple dans le cas d’une somme de fonctions. On retiendra que c’est le premier terme non nul du développement limité.
Remarque : le choix de l’ordre d’un développement limité pour lever une forme indéterminée est crucial : il doit être assez élevé pour lever l’indétermination mais pas trop pour éviter de faire trop de calculs,
lorsque l’on demande un développement limité en la méthode la plus simple est de faire le changement de variable avec quand et de faire un développement limité en en fonction des puissances de puis d’exprimer le résultat en fonction des puissances de sans les développer.
Exemple : Calculer les développements limités à l’ordre et au point indiqué pour les fonctions suivantes :
1) en à l’ordre
2) en à l’ordre
Réponse : 1) Sachant que l’on doit diviser le développement de par pour obtenir le développement limité à l’ordre il faut écrire celui de à l’ordre donc celui de à l’ordre
Le développement limité de en à l’ordre donne :
2) Le développement limité demandé n’est pas au voisinage de On pose de sorte que lorsque On a :
.
puis en remplaçant par on a :
évidemment, on ne développe pas !D’autres chapitres au programme de maths en ECG1 peuvent également être travaillés grâce à nos cours en ligne :