Chapitres Maths en ECG1

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Cours : Intégration en ECG1

Résumé de cours Exercices Corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Intégration

1. Intégration sur le segment

Méthode 1 : Savoir calculer des primitives.

Dans tout le tableau, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $u$ est une fonction dérivable définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ (sauf pour la dernière ligne, où l’on suppose en plus que $u$ ne s’annule pas sur $I$ ). $c$ est une constante réelle.

Pour execeller dans le calcul des primitives, vous pouvez prendre des cours de maths sur notre plateforme.

Exemple : Calculer des primitives pour les fonctions suivantes sur les intervalles indiqués :

1) $x \mapsto x e^{x^2}$ sur $\mathbb{R},$

2) $x \mapsto \frac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}$ sur $\left] a , b \right[$ avec $a < b.$

Indication : On trouvera deux réels $c$ et $d$ tels que $\dfrac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}$ $= \dfrac{c}{x - a} + \frac{d}{x - b}.$

Réponse : 1) On reconnaît la forme 9 du tableau avec $u \left( x \right) = x^2.$ Comme $u ' \left( x \right) = 2x,$ on écrit $x e^{x^2} = \dfrac12 \left( 2 x e^{x^2} \right) = \dfrac12 u ' \left( x \right) e^{u \left( x \right)}$ de sorte qu’une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto x e^{x^2}$ est $x \mapsto \dfrac12 e^{x^2}.$

2) On suit l’indication et on cherche $c$ et $d$ tels que pour tout $x \in \left] a , b \right[,$

$\dfrac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)} = \dfrac{c}{x - a} + \frac{d}{x - b}.$

On a

$\dfrac{c}{x - a} + \dfrac{d}{x - b}$

$= \dfrac{c \left( x - b \right) + d \left( x - a \right)}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}$

$= \dfrac{\left( c + d \right) x - \left( cb + a d \right)}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}.$ On récupère, par égalité des fonctions polynômes, les équations suivantes :

$\begin{cases} c + d & = 0 \\ - \left( cb + a d \right) & = 1 \end{cases}.$

La résolution de ce système donne $c = - \dfrac{1}{b - a}$ et $d = \dfrac{1}{b - a}.$

Une primitive sur

$\left]a , b \right[$ de

$x \mapsto \dfrac{1}{\left( x - a \right) \left( x - b \right)}$ est

$x \mapsto - \dfrac{1}{b - a} \ln \left( \left| x - a \right| \right) + \dfrac{1}{b - a} \ln \left( \left| x - b \right| \right).$

Attention à ne pas oublier les valeurs absolues ! Comme

$x \in \left] a , b \right[,$ cela donne après simplification

$x \mapsto - \dfrac{1}{b - a} \ln \left( x - a \right)$

$+ \dfrac{1}{b - a} \ln \left( b -x \right).$

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Méthode 2 : Faire une intégration par parties.

On rappelle la formule d’intégration par parties : pour

$u, v : \left[ a , b \right] \to \mathbb{R}$ deux fonctions de classe $C^1$ sur

$\left[ a , b \right],$ alors

$\int_a^b u \left( t \right) v ' \left( t \right) dt$

$= \left[ u \left( t \right) v \left( t \right) \right]_a^b$

$- \int_a^b u ' \left( t \right) v \left( t \right) d t.$

Pour appliquer cette formule, il faut faire un choix. Que choisir pour

$u$ et pour

$v'$ ? Ce choix est important car il faut avoir en tête qu’à la fin d’une intégration par parties, il y a encore une intégrale à calculer. Il faut donc que cette nouvelle intégrale soit plus simple à calculer que la précédente, sinon l’intégration par parties aura été inutile ! Donnons quelques pistes :

$\bullet$ Pour des intégrales du type

$\int_a^b P \left( t \right) \begin{cases} e^{\alpha t} \\ \cos \left( \alpha t \right) \\ \sin \left( \alpha t \right) \end{cases} d t,$ on peut dériver le polynôme.

$\bullet$ Pour des intégrales du type

$\int_a^b \ln \left( t \right) P \left( t \right) d t,$ on peut dériver

$t \mapsto \ln \left( t \right)$ .

$\bullet$ Pour les intégrales du type

$\int_a^b t^n e^{-t^2 / 2} dt,$ on peut écrire l’intégrale sous la forme

$- \int_a^b t^{n - 1} \times \left( - t e^{-t^2 / 2} \right) dt$ et remarquer que

$t \mapsto - t e^{-t^2 / 2}$ se primitive en

$t \mapsto e^{- t^2 / 2}.$ Cet exemple sera très important lorsque l’on étudiera les lois normales.

$\bullet$ Lorsque l’on a pas de produit, c’est-à-dire lorsque l’intégrale est de la forme

$\int_a^b f \left( t \right) dt,$ on peut essayer de poser

$v ' \left( t \right) = 1.$

Remarque : Il est bon pour une rédaction propre d’une intégration par parties de définir d’abord les fonctions

$u$ et

$v,$ de préciser qu’elles sont

$C^1$ sur l’intervalle considéré.

Méthode 3 : Faire un changement de variable.

Nous rappelons ci-dessous la formule du changement de variable.

Soit

$\varphi$ une fonction de classe

$C^1$ sur

$\left[ a , b \right]$ définissant une bijection de

$\left[ a , b \right]$ sur

$\left[ \varphi \left( a \right) , \varphi \left( b \right) \right].$ Soit

$f$ une fonction continue sur l’intervalle

$J$ contenant le segment d’extrémités

$\varphi \left( a \right)$ et

$\varphi \left( b \right)$ à valeurs dans

$\mathbb{R},$ alors

$\int_{\varphi \left( a \right)}^{\varphi \left( b \right)} f \left( t \right) dt$

$= \int_a^b f \left( \varphi \left( u \right) \right) \varphi ' \left( u \right) du.$

En pratique, cette formule est difficilement mémorisée par les étudiants et vous passez rapidement à la « recette assez efficace » que voici : soit à calculer

$\int_c^d f \left( t \right) dt.$

Vous avez l’idée ou l’énoncé vous suggère un changement de variable que l’on note

$t = \varphi \left( u \right),$

$\varphi$ étant de classe

$C^1$ et bijective de

$\left[ a , b \right]$ sur

$\left[ c , d \right]$ (condition absente dans l’énoncé). On « oublie » en général l’intervalle

$\left[ a , b \right]$ de définition de

$\varphi$ qui donne une bijection de

$\left[ a , b \right]$ sur

$\left[ c , d \right]$ en disant simplement que

$\varphi$ est bijective. Il faudrait préciser

$\left[ a , b \right]$ pour être rigoureux.

Dans la suite, on suivra mieux les étapes en mémorisant que

$t$ est l’ancienne variable et

$u$ la nouvelle.

$\cdots$ on remplace dans

$f \left( t \right),$

$t$ par

$\varphi \left( u \right)$ : on obtient

$f \left( t \right)$

$= f \left( \varphi \left( u \right) \right)$

$\cdots$ on remplace

$dt$ par

$\varphi ' \left( u \right) du$

$\cdots$ on change les bornes en se posant les questions : quelle est la valeur de

$u$ lorsque

$t$ vaut

$c$ soit

$u = \varphi^{-1} \left( c \right)$ et quelle est la valeur de

$u$ lorsque

$t = d$ soit

$u = \varphi^{-1} \left( d \right)$ ? et on change les bornes. N’oubliez pas cette étape !

Et on obtient

$\int_c^d f \left( t \right) dt$

$= \int_{\varphi^{-1} \left( c \right)}^{\varphi^{-1} \left( d \right)} f \left( \varphi \left( u \right) \right) \varphi ' \left( u \right) du.$

Nous illustrons ci-dessous sur un exemple les étapes du raisonnement. Calculons

$\int_0^1 \dfrac{1}{e^t + 1} dt$ en faisant le changement de variable

$t = \ln \left( u \right)$ et en remarquant que

$\dfrac{1}{u \left( u + 1 \right)} = \dfrac1u - \dfrac{1}{u + 1}.$

On fera attention dans cet exemple que l’on a exprimé le changement de variable sous la forme

$u = \psi \left( t \right),$ mais que l’on peut écrire sous la forme

$t = \ln \left( u \right)$ de façon à utiliser la méthode exposée ci-dessus.

La fonction

$u \mapsto \ln \left( u \right)$ est

$C^1$ sur

$\left] 0 , + \infty \right[$ et définit une bijection de

$\left] 0 , + \infty \right[$ sur

$\mathbb{R}.$

$\cdots$

$f \left( t \right) = \dfrac{1}{e^t + 1}$ s’écrit

$\dfrac{1}{u + 1}$

$\cdots$

$dt$ est remplacé par

$\varphi ' \left( u \right) du$ soit

$\dfrac1u du$

$\cdots$ lorsque

$t$ vaut

$0,$

$u$ est égal à

$1,$ lorsque

$t$ vaut

$1,$

$u$ est égal à

$e,$ donc

$\int_0^1 \dfrac{1}{e^t + 1} dt = \int_1^e \dfrac{1}{\left( u + 1 \right) u} du$

$= \int_1^e \left( \dfrac1u - \dfrac{1}{u + 1} \right) du$

$= \left[ \ln \left( u \right) - \ln \left( u + 1 \right) \right]_1^e$

$= 1 - \ln \left( 1 + e \right) + \ln \left( 2 \right).$

Méthode 4 : Reconnaître une somme de Riemann.

Soit

$f : \left[ a , b \right] \to \mathbb{R}$ une fonction continue, alors

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{b - a}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( a + k \dfrac{b- a}{n} \right)$

$= \int_a^b f \left( t \right) dt.$

Pour savoir si une somme est une somme de Riemann, il est important de transformer l’expression de façon à ce que le coefficient de

$k$ soit de la forme

$\dfrac{b - a}{n}$ et de parvenir à mettre

$\dfrac{b - a}{n}$ en facteur devant la somme, puis il reste à préciser la fonction

$f$ en vérifiant sa continuité sur

$\left[ a , b \right].$

Dans la majorité des cas,

$\left[ a , b \right] = \left[ 0 , 1 \right].$

Remarque : Le résultat précédent reste valable pour une somme où

$k$ varie entre

$0$ et

$n - 1$ au lieu de

$1$ et

$n.$

Exemple :

Calculer, après en avoir prouvé l’existence,

$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}.$

Réponse :

On écrit :

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}$

$= \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n \left( 1 + \dfrac{k}{n} \right)}=\dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + \dfrac{k}{n}}.$

Ainsi si l’on pose

$f \left( x \right) = \dfrac{1}{1 + x},$ on a :

$\isplaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}$

$= \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^n f \left( \dfrac{k}{n} \right).$

On remarque que dans cette somme, on a

$b - a = 1$ (c’est le nombre devant les

$\dfrac{k}{n}$ ) et

$a=0$ (c’est le nombre à l’intérieur de

$f$ avant le

$\dfrac{k}{n}$ ).

$f$ étant continue sur

$\left[ 0 , 1 \right],$ par le théorème des sommes de Riemann, on a

$\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n + k}$

$= \int_0^1 f \left( t \right) dt$

$= \ln \left( 2 \right).$

2. Intégration sur un intervalle quelconque

Méthode 5 : Montrer que l’intégrale $\int_a^b f \left( t \right) dt$ est convergente, la fonction $f$ étant continue sur $\left[ a , b \right[$ avec $b \in \mathbb{R},$ $b > a$ ou $b = + \infty$ , à valeurs dans $\mathbb{R}.$

On ne le répétera jamais assez : la première chose à faire est de vérifier que la fonction

$f$ est continue sur

$\left[ a , b \right[,$ ce que l’on suppose dans la suite.

1) Si

$b$ est un réel et si

$f$ est prolongeable par continuité en

$b$ , on dit que l’intégrale est faussement impropre et on se ramène à l’intégrale sur

$\left[ a , b \right]$ d’une fonction continue étudiée dans la première partie de ce chapitre.

2) Méthode déconseillée (sauf si l’on sait trouver une primitive de

$f$ très facilement ou dans le cas où

$f : t \mapsto \dfrac{\sin \left( t \right)}{t}$ sur

$\left[ 1 , + \infty \right[,$ en effectuant une intégration par parties), on montre que

$x \mapsto \int_a^x f \left( t \right) dt$ a une limite finie en

$b.$

3) Si

$f$ est à valeurs positives sur

$\left[ a , b \right[,$ l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est convergente si, et seulement si, la fonction

$x \mapsto \int_a^x f \left( t \right) dt$ est majorée sur

$\left[ a , b \right[.$

4) Par comparaison par inégalité de fonctions positives.

$f$ et

$g$ sont continues sur

$\left[ a , b \right[$ et vérifient :

$\text{pour tout} \; x \in \left[ a , b \right[, 0 \le f \left( x \right) \le g \left( x \right),$

$\star$ si l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right) dt$ est convergente, l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right)$ est convergente.

$\star$ si l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est divergente, l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right)$ est divergente.

5) Par équivalence de fonctions positives.

$f$ et

$g$ sont continues sur

$\left[ a , b \right[$ à valeurs positives et vérifient

$f \left( x \right) \underset{x \to b}{\sim} g \left( x \right),$ l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est convergente si, et seulement si, l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right) dt$ est convergente.

6) Par utilisation des intégrales absolument convergentes.

Si l’intégrale

$\int_a^b f \left( t\right) dt$ est absolument convergente (c’est-à-dire que l’intégrale

$\int_a^b \left| f \left( t \right) \right| dt$ est convergente), elle est convergente.

7) Si

$f$ et

$g$ sont continues sur

$\left[ a , b \right[,$ la fonction

$g$ étant à valeurs positives au voisinage de

$b,$ si

$f \left( x \right) \underset{x \to b}{=} o \left( g \left( x \right) \right)$ et si l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right) dt$ est convergente, l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est absolument convergente.

Cette méthode s’applique aux fonctions

$f$ vérifiant

$f \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^2} \right)$ pour prouver que l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge (y penser lorsque

$f$ contient une exponentielle mais ne se réduit pas à

$t \mapsto e^{- a t}$ ).

8) Pour les comparaisons par équivalence ou inégalités, il faut connaître les intégrales de référence :

l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt$ converge

$\Leftrightarrow \alpha > 1$

l’intégrale

$\int_{0}^{+ \infty} e^{-at} dt$ converge

$\Leftrightarrow$

$a > 0$

l’intégrale

$\int_a^b \dfrac{1}{\left( b - t \right)^{\alpha}} dt$ converge

$\Leftrightarrow$

$\alpha < 1.$

On rappelle que lorsque l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ converge,

$\int_a^b f \left( t \right) dt$

$= \lim_{x \to b} \int_a^x f \left( t \right) dt.$

On retiendra aussi que si

$f$ est continue sur

$\left[ a , b \right[$ et si

$c \in \left] a , b \right[,$ les intégrales

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ et

$\int_c^b f \left( t \right) dt$ sont de même nature (i.e. convergent ou divergent en même temps

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Méthode 6 : Montrer que l’intégrale $\int_a^b f \left( t \right) dt$ est convergente, la fonction $f$ étant continue sur $\left] a , b \right]$ avec $a \in \mathbb{R},$ $a < b$ ou $a = - \infty$ , à valeurs dans $\mathbb{R}.$

On ne le répétera jamais assez : la première chose à faire est de vérifier que la fonction

$f$ est continue sur

$\left] a , b \right],$ ce que l’on suppose dans la suite.

1) Si

$a$ est un réel et si

$f$ est prolongeable par continuité en

$a$ , on dit que l’intégrale est faussement impropre et on se ramène à l’intégrale sur

$\left[ a , b \right]$ d’une fonction continue étudiée au début de ce chapitre.

2) Méthode déconseillée (sauf si l’on sait trouver une primitive de

$f$ très facilement ou dans le cas où

$f : t \mapsto \ln \left( t \right)$ sur

$\left] 0 , 1 \right]$ ), on montre que

$x \mapsto \int_x^b f \left( t \right) dt$ a une limite finie en

$a.$

3) Si

$f$ est à valeurs positives sur

$\left] a , b \right],$ l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est convergente si, et seulement si, la fonction

$x \mapsto \int_x^b f \left( t \right) dt$ est majorée sur

$\left] a , b \right].$

4) Par comparaison par inégalité de fonctions positives.

$f$ et

$g$ sont continues sur

$\left] a , b \right]$ et vérifient :

$\text{pour tout} \; x \in \left] a , b \right], 0 \le f \left( x \right) \le g \left( x \right),$

$\star$ si l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right) dt$ est convergente, l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right)$ est convergente.

$\star$ si l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est divergente, l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right)$ est divergente.

5) Par équivalence de fonctions positives.

$f$ et

$g$ sont continues sur

$\left] a , b \right]$ à valeurs positives et vérifient

$f \left( x \right) \underset{x \to a}{\sim} g \left( x \right),$ l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est convergente si, et seulement si, l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right) dt$ est convergente.

6) Par utilisation des intégrales absolument convergentes.

Si l’intégrale

$\int_a^b f \left( t\right) dt$ est absolument convergente (c’est-à-dire que l’intégrale

$\int_a^b \left| f \left( t \right) \right| dt$ est convergente), elle est convergente.

7) Si

$f$ et

$g$ sont continues sur

$\left] a , b \right],$ la fonction

$g$ étant à valeurs positives au voisinage de

$a,$ si

$f \left( x \right) \underset{x \to a}{=} o \left( g \left( x \right) \right)$ et si l’intégrale

$\int_a^b g \left( t \right) dt$ est convergente, l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ est absolument convergente.

8) Pour les comparaisons par équivalence ou inégalités, il faut connaître les intégrales de référence :

l’intégrale

$\int_0^{1} \dfrac{1}{t^{\alpha}} dt$ converge

$\Leftrightarrow \alpha < 1$

l’intégrale

$\int_a^b \dfrac{1}{\left( t - a \right)^{\alpha}} dt$ converge

$\Leftrightarrow$

$\alpha < 1.$

On rappelle que lorsque l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ converge,

$\int_a^b f \left( t \right) dt$

$= \lim_{x \to a} \int_x^b f \left( t \right) dt.$

On retiendra aussi que si

$f$ est continue sur

$\left] a , b \right]$ et si

$c \in \left] a , b \right[,$ les intégrales

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ et

$\int_a^c f \left( t \right) dt$ sont de même nature (i.e. convergent ou divergent en même temps).

Méthode 7 : Intervalle ouvert ou réunion d’intervalles ouverts.

1) Si

$I = \left] a, b \right[$ avec

$a < b$ (

$a$ pouvant être égal à

$- \infty$ et

$b$ à

$+ \infty$ ), la fonction

$f$ étant continue sur

$\left] a ,b \right[,$ pour montrer que l’intégrale

$\int_a^b f \left( t \right) dt$ converge, on choisit

$c \in \left] a , b \right[$ et on montre que les intégrales

$\int_a^c f \left( t \right) dt$ et

$\int_c^b f \left( t \right) dt$ convergent.

Dans ce cas,

$\int_a^b f \left( t \right) dt = \int_a^c f \left( t \right) dt + \int_c^b f \left( t \right) dt$ (quelque soit

$c \in \left]a , b \right[$ ).

2) Lorsque

$a_1 < a_2 < \cdots < a_{p- 1} < a_p$ (

$a_1$ pouvant être égal à

$- \infty$ et

$a_p$ à

$+ \infty$ ), la fonction

$f$ étant continue sur chacun des intervalles

$\left] a_k , a_{k + 1} \right[$ (avec

$1 \le k \le p- 1$ ), pour démontrer que l’intégrale

$\int_{a_1}^{a_p} f \left( t \right) dt$ converge, on démontre que les

$p - 1$ intégrales

$\int_{a_k}^{a_{k + 1}} f \left( t \right) dt$ (

$1 \le k \le p - 1$ ) convergent.

Dans ce cas,

$\int_{a_1}^{a_p} f \left( t \right) dt = \sum_{k=1}^{p - 1} \int_{a_k}^{a_{k + 1}} f \left( t \right) dt.$

Exemple :

Déterminer la nature (convergente ou divergente) des intégrales suivantes.

$\int_0^1 \dfrac{\ln \left( t \right)}{t - 1} dt,$

$\int_0^{+\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{t}} - \dfrac{1}{\sqrt{t + 1}} \right) dt,$

Réponse : 1) Posons

$f \left( t \right) = \dfrac{\ln \left( t \right)}{t - 1},$

$f$ est continue sur

$\left] 0 , 1 \right[.$

$\ln \left( t \right) = \ln \left( 1 + \left( t - 1 \right) \right) \underset{t \to 1}{\sim} t - 1$ en utilisant

$\ln \left( 1 + u \right) \underset{u \to 0}{\sim} u,$ ce qui donne

$f \left( t \right) \underset{t \to 1}{\sim}1.$ On peut prolonger

$f$ par continuité en

$1$ en posant

$f \left( 1 \right) = 1.$

La fonction

$f$ est continue sur

$\left] 0 , 1 \right]$ à valeurs positives. On est dans le cadre d’un intervalle

$\left] 0 , 1 \right]$ (méthode 8).

$f \left( t \right) \underset{t \to 0}{\sim} - \ln \left( t \right).$ Nous avons déjà montré à l’application 8 que l’intégrale

$\int_0^1 \ln \left( t \right) dt$ converge. On utilise ici une autre méthode de prouver la convergence.

Pour

$x \in \left] 0 , 1 \right],$ on pose

$G \left( x \right) = \int_x^1 - \ln \left( t \right) d t.$ On fait une intégration par parties en posant

$u \left( t \right)$

$= \ln \left( t \right)$ et

$v \left( t \right) = t.$

$u, v$ sont

$C^1$ sur

$\left[ x , 1 \right],$ et pour tout

$t \in \left[ x , 1 \right],$

$u' \left( t \right) = \dfrac1t$ et

$v ' \left( t \right) = 1.$ On a

$G \left( x \right)$

$= \left[ -t \ln t \right]_x^1 + \int_x^1 \dfrac{t}{t} dt$

$= \left[ - t \ln t + t \right]_x^1$

$= 1 + x \ln \left( x \right) -x.$

$G$ admet

$1$ pour limite en

$0$ donc l’intégrale

$\int_0^1 - \ln \left( t \right) dt$ converge (et est égale à

$1$ ).

Par comparaison par équivalence, l’intégrale

$\int_0^1 \dfrac{\ln \left( t \right)}{t - 1} dt$ converge.

2) Posons

$f \left( t \right) = \dfrac{1}{\sqrt{t}} - \dfrac{1}{\sqrt{t + 1}},$

$f$ est continue sur

$\left] 0 , + \infty \right[$ à valeurs positives.

On est dans le cadre d’un intervalle ouvert, on choisit un élément de

$\left] 0 , + \infty \right[$ (voir \textbf{méthode 10.9}), le choix le plus simple étant

$1,$ et on doit donc étudier la convergence des deux intégrales

$\int_0^1 f \left( t \right) dt$ et

$\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt.$

a) Convergence de l’intégrale

$\int_0^1 f \left( t \right) dt.$

On cherche un équivalent de

$f \left( t \right)$ lorsque

$t$ tend vers

$0,$

$f$ est la différence d’une fonction qui tend vers

$+ \infty$ et d’une fonction qui tend vers

$1,$ on factorise par la fonction qui admet

$+ \infty$ pour limite :

$f \left( t \right) = \dfrac{1}{\sqrt{t}} \left( 1 - \sqrt{\dfrac{t}{t + 1}} \right) \underset{t \to 0}{\sim} \dfrac{1}{\sqrt{t}},$ comme l’intégrale de Riemann

$\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{t}} dt$ converge car

$\dfrac12 < 1$ par comparaison par équivalence entre fonctions positives, l’intégrale

$\int_0^1 f \left( t \right) dt$ converge.

b) Convergence de l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt.$

On cherche un équivalent de

$f$ lorsque

$t$ tend vers

$+ \infty.$

$f \left( t \right)$

$= \dfrac{1}{\sqrt{t}} - \dfrac{1}{\sqrt{t + 1}}$

$= \dfrac{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t}}$ en multipliant par l’expression conjuguée, on a

$f \left( t \right)$

$= \dfrac{1}{\left( \sqrt{t} + \sqrt{t + 1} \right) \sqrt{t + 1} \sqrt{t}}$ puis

$\sqrt{t \left( t + 1 \right)} \underset{t \to + \infty}{\sim} \sqrt{t^2} \underset{t \to + \infty}{\sim} t$ et

$\sqrt{ t + 1} + \sqrt{t} \underset{t \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{t},$

car

$\dfrac{\sqrt{ t + 1} + \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$

$= \dfrac12 \left( \sqrt{1 + \dfrac 1t} + 1 \right)$ et

$\lim_{t \to + \infty} \dfrac12 \left( \sqrt{1 + \dfrac 1t} + 1 \right) = 1.$

On a montré que

$f \left( t \right) \underset{t \to + \infty}{\sim} \dfrac{1}{2 t^{3 / 2}}.$ Comme l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{2 t^{3 / 2}} dt$ converge, par comparaison par équivalence, l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge.

On a donc établi que l’intégrale

$\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge.

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Méthode 8 : Calculer une intégrale impropre ou généralisée.

Pour calculer des intégrales impropres, il faut se placer sur un segment : c’est à dire calculer l’intégrale

$\bullet$ sur

$\left[ a , x \right]$ dans le cas de l’intervalle

$\left[ a , b \right[,$

$\bullet$ sur

$\left[ x , b \right]$ dans le cas de l’intervalle

$\left] a , b \right],$

$\bullet$ sur

$\left[ x , y \right]$ dans le cas de l’intervalle

$\left] a , b \right[,$

et passer à la limite à l’issue des calculs.

On rappelle que pour calculer une intégrale sur un segment, vous disposez des outils suivants

$\qquad$

$\star$ on trouve directement une primitive (on renvoie au tableau de primitives),

$\qquad$

$\star$ on fait une intégration par parties,

$\qquad$

$\star$ on fait un changement de variable.

C’est le moment d’aller revoir le début du chapitre.

Exemple : Montrer que les intégrales suivantes convergent et calculer leurs valeurs.

$\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x \left( x + 1 \right)} dx,$

$\int_1^{+ \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx.$

Réponse : 1) On pose

$f \left( x \right) = \dfrac{1}{x \left( x + 1 \right)}.$

$f$ est continue sur

$\left[ 1 , + \infty \right[$ à valeurs positives.

On a

$f \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{\sim} \dfrac{1}{x^2},$ comme l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{x^2} dx$ converge, par comparaison par équivalence, l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{x \left( x + 1\right)} dx$ converge.

Calcul de l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t \left( t + 1 \right)} dt.$

En utilisant

$1 = \left( t + 1 \right) - t,$ on écrit

$\dfrac{1}{t \left( t + 1 \right) } = \dfrac1t - \dfrac{1}{t + 1}$ donc si

$x \ge 1,$

$\int_1^x \dfrac{1}{t \left( t + 1 \right)} dt$

$= \int_1^x \left( \dfrac1t - \dfrac{1}{t + 1} \right) dt$

$= \left[ \ln \left( \dfrac{t}{t + 1} \right) \right]_1^x$

$= \ln \left( \dfrac{x}{x + 1} \right) + \ln \left( 2 \right)$

puis si

$x$ tend vers

$+ \infty,$

$\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t \left( t + 1 \right)} dt$

$= \ln \left( 2 \right).$

2) On pose

$f \left( x \right) = \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3}.$

$f$ est continue sur

$\left[ 1 , + \infty \right[.$

Comme

$\lim_{x \to + \infty} x^2 \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} = 0,$ il s’ensuit que

$f \left( x \right) \underset{x \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{x^2} \right).$ Comme l’intégrale

$\int_{1}^{+ \infty} \dfrac{1}{x^2} dx$ converge, par comparaison par domination, l’intégrale

$\int_{1}^{+ \infty} f \left( x \right) dx$ converge.

Calcul de l’intégrale

$\int_{1}^{+ \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx.$

Soit

$A \ge 1.$ On fait une intégration par parties dans

$\int_1^A \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx .$ On pose

$u \left( x \right) = \ln \left( x \right)$ et

$v \left( x \right) = - \dfrac{1}{2 x^2}$ de sorte que

$v ' \left( x \right) = \dfrac{1}{x^3}.$ On a donc

$\int_1^A \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx$

$= \left[ - \dfrac{\ln \left( x \right)}{2 x^2} \right ]_{1}^A + \int_1^A \dfrac{1}{2 x^3} dx$

$= - \dfrac{\ln \left( A \right)}{2 A^2} + \left[ - \dfrac{1}{4 x^2} \right]_1^A$

$= - \dfrac{\ln \left( A \right)}{2 A^2} - \dfrac{1}{4 A^2} + \dfrac14$ .

Comme

$\lim_{A \to + \infty } \left( - \dfrac{\ln \left( A \right)}{2 A^2} - \dfrac{1}{4 A^2} \right) = 0,$ on a :

$\lim_{A \to + \infty} \int_{1}^{A} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx$

$= \dfrac14,$

soit

$\int_{1}^{+ \infty} \dfrac{\ln \left( x \right)}{x^3} dx$

$= \dfrac14.$

Méthode 9 : Obtenir une relation de récurrence.

Si l’énoncé définit une suite

$\left( I_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ par une intégrale et que l’on vous demande d’établir une relation de récurrence, dans

$95 \%$ des cas, il faut faire une intégration par parties.

Exemple : On définit, lorsque c’est possible,

$\Gamma \left( x \right) = \int_{0}^{+ \infty} e^{-t} t^{x - 1} dt.$

1) Donner l’ensemble de définition de

$\Gamma.$

2) En déduire que pour tout

$n \in \mathbb{N},$

$\Gamma \left( n + 1 \right) = n!.$

Réponse :

1) La fonction

$f : t \mapsto e^{-t} t^{x - 1}$ est continue sur

$\left] 0 , + \infty \right[$ (attention, il faut bien exclure

$0$ : si

$x < 1$ alors

$x - 1 <0$ et donc

$\lim_{t \to 0 } e^{-t} t^{x - 1} = + \infty$ ). On est dans le cas d’un intervalle ouvert, on choisit un élément de

$\left] 0 , + \infty \right[,$ le choix le plus simple étant

$1.$

a) Convergence de l’intégrale

$\int_0^1 e^{-t} t^{x - 1} dt.$

On a

$f \left( t \right) \underset{t \to 0}{\sim} t^{x - 1} = \dfrac{1}{t^{1 - x}}.$ Comme

$1 - x < 1$ car

$x > 0,$ l’intégrale de Riemann

$\int_0^1 \dfrac{1}{t^{1 - x}} dt$ est convergente. Par comparaison par équivalence, l’intégrale

$\int_0^1 f \left( t \right) dt$ converge.

b) Convergence de l’intégrale

$\int_1^{+ \infty}e^{-t} t^{x - 1} dt.$

Comme

$\lim_{t \to + \infty} t^2 e^{-t} t^{x - 1} = 0,$ on a

$f \left( t \right) \underset{t \to + \infty}{=} o \left( \dfrac{1}{t^2} \right).$ Comme l’intégrale de Riemann

$\int_1^{+ \infty} \dfrac{1}{t^2} dt$ converge, par domination, l’intégrale

$\int_1^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge.

On a prouvé que l’intégrale

$\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge.

2) Il est facile de montrer par récurrence que

$\text{pour tout} \; n \ge 0, \Gamma \left( n + 1 \right) = n! \Gamma \left( 1 \right).$

Il nous reste à calculer

$\Gamma \left( 1 \right).$

Pour

$A \ge 0$ , on a

$\int_0^A e^{-t} dt = \left[ - e^{-t} \right]_0^A = 1 - e^{-A}.$

Comme

$\lim_{A \to + \infty} \left( 1 -e^{- A} \right) = 1,$ il s’ensuit que

$\Gamma \left( 1 \right)= \int_0^{+ \infty} e^{-t} dt = 1 .$

Si bien que, pour tout

$n \ge 0,$

$\Gamma \left( n + 1 \right) = n!.$

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