Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Spé

Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT

Cours sur la physique statistique en MP, MPI, PC, PSI et PT

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Résumé de cours Exercices et corrigés

En vue d’aborder la physique statique, ce cours gratuit de physique chimie spécialement conçu pour les étudiants en classes préparatoires, en maths sup se révélera extrêmement utile. Nous aborderons des notions de physique statistique en physique chimie tels la statique des fluides, facteur de Boltzmann, Physique statistique et les Capacités thermiques. Pour renforcer davantage votre niveau, nous vous recommandons vivement de considérer la possibilité de suivre nos cours en physique chimie.

Statique des fluides, facteur de Boltzmann en maths spé

Méthode 1. Établir la loi de la statique des fluides.

On considère une particule de fluide de volume élémentaire $d\tau=dx\cdot dy\cdot dz$ et de masse $dm=\mu d\tau$

* Elle subit les forces de contact qui se résument aux forces de pression normales aux parois (on est en statique des fluides, en mécanique des fluides, il faudrait ajouter les forces tangentielles de frottement, forces de viscosité) dont la résultante volumique est

$d\vec{f}_{P}=-\vec{\mathrm{grad}}P$

* Elle subit aussi les forces volumiques dont la principale est le poids

$\mu\vec{g}$

* Dans le cas des référentiels non galiléens, on doit ajouter la force d’inertie d’entraînement (la force de Coriolis est nulle car on est en statique des fuides)

$d\vec{f}_{ie}=-\mu\vec{A}$ en RNG en translation

$d\vec{f}_{ie}=\mu\Omega^2\vec{HM}$ en RNG en rotation

* Dans le cas de fluides chargés ou parcourus par des courants, en présence de champ électrique ou magnétique extérieur, il faut ajouter les forces de Lorentz

$\rho\vec{E}$

$\vec{j}\wedge\vec{B}$

Dans le cas fondamental du fluide dans le référentiel terrestre à proximité de la surface de la Terre, on a donc

$-\vec{\mathrm{grad}}P+\mu\vec{g}=\vec{0}$

(on rappelle que $\vec{g}$ contient à la fois le terme de gravitation et celui d’inertie d’entraînement dû à la rotation de la Terre).

Démonstration de cours.

Montrer que la résultante volumique des forces de pression sur une particule de fluide parallélépipédique vaut $-\vec{\mathrm{grad}}P$

Méthode 2. Résoudre l’équation de la statique des fluides.

1. On établit par des arguments de symétrie et d’invariance quelles composantes sont non nulles et de quelles variables elles dépendent.

2. On projette la relation dans le système de coordonnées proposées, en utilisant l’expression (fournie) du gradient.

3. On doit parfois combiner la relation avec d’autres relations, typiquement

3.a. l’équation d’état du fluide étudié (incompressibilité, loi des GP, loi de Laplace par exemple)

3.b. le théorème de Gauss gravitationnel ou sa forme locale pour déterminer $g$ .

On obtient ainsi un système de relations différentielles qu’on intègre entre un point que l’on connaît et un point qu’on étudie.

Exemple

Déterminer l’expression de $P(z)$ pour un liquide incompressible dans le champ de pesanteur uniforme, en prenant la pression égale à la pression atmosphérique à la surface en $z=0$

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Méthode 3. Mettre en évidence le facteur de Boltzmann

1. On considère l’air assimilé à un gaz parfait isotherme soumis au champ de pesanteur uniforme.

2. On combine la loi de la statique des fluides

$\displaystyle{\frac{dP}{dz}=-\mu(z)g}$

avec la loi des gaz parfaits

$P(z)M=\mu(z)RT$

3. On en déduit

$\displaystyle{P(z)=P_0\exp\left(-\frac{Mgz}{RT}\right)}$

soit, en notant $m=M/\mathcal{N}_A$ la masse d’une molécule

$\displaystyle{P(z)=P_0\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)}$

Le facteur de Boltzmann est l’exponentielle

$\displaystyle{\exp\left(-\frac{e_p}{e_t}\right)}$ avec

* $ep=mgz$ énergie potentielle de pesanteur d’une molécule

* $e_t=k_BT$ énergie thermique d’agitation.

Exemple

Mettre le facteur de Boltzmann sous la forme

$\displaystyle{\exp\left(-\frac{z}{\delta}\right)}$

et préciser l’ordre de grandeur et le sens physique de $\delta$

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Physique statistique en CPGE

Méthode 1. Exprimer les probabilités et les répartitions des particules selon les états d’énergie

Soient $N$ particules indépendantes, pouvant prendre des états ( $k$ ) non dégénérés en énergie ( $E_k$ ) (il y a bijection entre les états et les énergies, donc à chaque énergie donnée correspond un unique état), à l’équilibre thermique avec un thermostat à la température $T$ .

1. La probabilité est donnée par la statistique de Maxwell-Boltzmann

$\displaystyle{p_k=p(E=E_k)=A\exp\left(-\frac{E}{E_k}\right)}$

2. On trouve la constante $A$ en normalisant

$\displaystyle{\Sigma_{k}p_k=1}$

3. On en déduit l’effectif dans un état $k$ donné

$N_k=p_k\cdot N$

Exemple.

Un système possède deux états (fondamental $0$ et excité $e$ ) d’énergies respectives $0$ et $\varepsilon$

Donner l’expression de $p_0$

Méthode 2. Prise en compte de dégénérescences [complément de programme]

On note $g_k$ la dégénérescence associée à l’énergie $E_k$ , ce qui signifie qu’il existe $g_k$ états distincts de même énergie $E_k$ , on les note

$(k,1)$ , $(k,2)$ , …, $(k,g_k)$

La probabilité de l’énergie $E_k$ vaut alors

$\displaystyle{p_k=Ag_k\exp\left(-\frac{E_k}{E}\right)}$

Exemple.

Un système possède trois états (fondamental $0$ , fondamental $1$ et excité $e$ ) d’énergies respectives $0$ , de dégénérescence 2 et $\varepsilon$ de dégénérescence 1.

Donner l’expression de $p(E=0)$

Méthode 3. Calcul de l’énergie moyenne

1. On calcule les probabilités $p_k$ des états.

2. L’énergie moyenne est assimilée à l’espérance de l’énergie

$<E>=\Sigma_kp_kE_k$

Exemple.

Un système possède deux états (fondamental $0$ et excité $e$ ) d’énergies respectives $0$ et $\varepsilon$

Donner l’expression de $<E>$

Méthode 4. Cas du système à deux niveaux opposés $\pm\varepsilon$

C’est un cas d’école, on pose

$\displaystyle{x=\frac{\varepsilon}{k_BT}}$

On en déduit les probabilités

$\displaystyle{p^-=\frac{\exp x}{\exp x+\exp(-x)}}$

$\displaystyle{p^+=\frac{-\exp x}{\exp x+\exp(-x)}}$

Et l’énergie moyenne

$\displaystyle{<E>=-\varepsilon\mathrm{th}(x)}$

avec $\displaystyle{\mathrm{th}(x)=\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch(x)}}}$

Ou $\displaystyle{\mathrm{th}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$

Exemple.

Calculer l’énergie moyenne pour $T=2\varepsilon/k_B$ et interpréter le résultat.

Capacités thermiques

Méthode 1. Calculer une capacité thermique

1. À partie de la valeur moyenne de l’énergie d’un constituant unique, on multiplie par la constante d’Avogadro pour déterminer l’énergie interne massique

$U_m=\mathcal{N}_A\cdot <E>$

2. On identifie $dU_m=C_{V,m}dT$ et on en déduit la capacité thermique molaire à volume constant

$\displaystyle{C_m=\frac{\partial U_m}{\partial T}}$

Exemple.

Calculer la capacité thermique molaire d’un système de particules à deux niveaux d’énergie $\pm\varepsilon$

Méthode 2. Utiliser le théorème d’équipartition de l’énergie

1. On développe l’énergie totale de la particule en termes indépendants deux à deux.

2. On identifie les $p$ termes quadratiques, du type $\frac12\beta\cdot u^2$ .

3. Le théorème d’équipartition de l’énergie (TEE) énonce que la valeur moyenne de chaque terme quadratique vaut $\frac12k_BT$

On en déduit, si on peut assurer que les autres termes de l’énergie sont négligeables devant les termes quadratiques, ou si leur valeur moyenne est nulle

$<E>=p\cdot\frac12k_BT$

4. On en déduit que

$C_m=p\cdot\frac12R$

Exemple.

Calculer la capacité thermique d’un gaz parfait monoatomique.

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Méthode 3. Énoncer et prouver la loi de Dulong et Petit

1. On assimile chaque atome d’un cristal métallique à une bille de masse $m$ pouvant vibrer autour d’une position moyenne, choisie arbitrairement comme origine du repère, selon les trois axes $x$ , $y$ , et $z$ , et relié à sa position d’équilibre par un ressort de longueur à vide nulle et de constante de raideur $k$

2. On en déduit l’énergie de l’atome

$\displaystyle{E=Ec+Ep}$ avec

$\displaystyle{Ec=\frac12m\stackrel{\cdot}{x}^2+\frac12m\stackrel{\cdot}{y}^2+\frac12m\stackrel{\cdot}{z}^2}$

$\displaystyle{Ep=\frac12kx^2+\frac12ky^2+\frac12kz^2}$

3. On identifie $p=6$ termes quadratiques et on en déduit que

$\displaystyle{C_m=6\cdot\frac12R=3R}$

$\displaystyle{C_m=24,9~\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}}$

Exemple.

La capacité thermique massique de l’aluminium vaut $c=897~\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}$ et sa masse molaire $M=0,027~\mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$

Pour une préparation efficace aux concours de Maths Spé, il est important de revenir sur des chapitres abordés en tout début d’année, car des lacunes sur des chapitres de début d’année pourraient vous coûter des points. Reprenez et révisez par exemple, ces quelques chapitres :

Cours sur la physique statistique en MP, MPI, PC, PSI et PT

Statique des fluides, facteur de Boltzmann en maths spé

Méthode 1. Établir la loi de la statique des fluides.

Méthode 2. Résoudre l’équation de la statique des fluides.

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Méthode 3. Mettre en évidence le facteur de Boltzmann

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Méthode 4. Cas du système à deux niveaux opposés $\pm\varepsilon$

Capacités thermiques

Méthode 1. Calculer une capacité thermique

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