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Cours : Polynômes en ECG1

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Résumé de cours et méthodes – Polynômes

Méthode 1 : Egalité de deux polynômes.

Deux polynômes $P$ et $Q$ sont égaux si, et seulement si, $\deg \left( P \right) = \deg \left( Q \right)$ et s’ils ont les mêmes coefficients.

Exemple : Montrer l’égalité suivante, dite égalité de Vandermonde :

$\text{Pour tout} \; n \in \mathbb N^*, \qquad\binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$

Indication : En partant de l’égalité $\left( 1 + X \right)^n \left( 1 + X \right)^n = \left( 1 + X \right)^{2n},$ on identifiera les coefficients de $X^n.$

Réponse :

$\bullet$ Développons $\left( 1 + X \right)^{2n}$ à l’aide de la formule du binôme de Newton : on a

$\left( 1 + X \right)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} X^k.$

Le coefficient de

$X^n$ est donc

$\binom{2n}{n}.$

$\bullet$ Simplifions $\left( 1 + X \right)^n \left( 1 + X \right)^n$ à l’aide du binôme de Newton : on a

$\left( 1 + X \right)^n \left( 1 + X \right)^n$ $= \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k \right) \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k \right).$

On rappelle que si $A = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $B= \displaystyle\sum_{l=0}^m b_l X_l,$ alors $A \times B = \displaystyle\sum_{i=0}^{n +m } c_i X^i$ avec $c_i = \displaystyle\sum_{p + q = i} a_p b_q.$ Le coefficient de $X^n$ est $\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n}{n - k} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$ (n’hésitez pas à développer le produit si vous ne voyez pas pourquoi !)

D’où :

$\binom{2n}{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2.$

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Méthode 2 : Sur l’ordre des racines d’un polynôme.

Nous rappelons que $a \in \mathbb {K}$ est racine d’ordre $k$ ( $k \ge 1$ ) de $P \in \mathbb{K} \left[ X \right]$

$\Leftrightarrow P \left( a \right) = \cdots = P^{\left( k - 1 \right)} \left( a \right) = 0$ et $P^{\left( k \right)} \left( a \right) \neq 0$

$\Leftrightarrow$ il existe un polynôme $Q \in \mathbb{K} \left[ X \right]$ tel que $P = \left( X - a \right)^k Q$ avec $Q \left( a \right) \neq 0.$

Conséquence : si $a \in \mathbb{K}, k \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{K} \left[ X \right],$ $\left( X - a \right)^k$ divise $P$ si, et seulement si, $a$ est racine d’ordre au moins $k$ de $P$ si, et seulement si,

$P \left( a \right) = P' \left( a \right) = \cdots = P^{\left( k - 1 \right)} \left( a \right) = 0.$

Exemple : Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a, b$ pour que $P_n=a X^{n+1}+ b X^n + 1$ soit divisible par $\left( X - 1 \right)^2.$

Réponse :

La condition : $P_n=a X^{n+1}+ b X^n + 1$ est divisible par $\left( X - 1 \right)^2$ signifie que $1$ est racine d’ordre au moins $2$ pour $P_n.$ Ainsi, cela est équivalent à : $P_n \left( 1 \right) = P_n' \left( 1 \right) = 0.$ Ces conditions donnent le système d’équations suivant :

$\begin{cases} a + b + 1 & = 0 \\ \left( n + 1 \right) a + n b & =0 \end{cases}.$

Cela donne

$a = n$ et

$b = - \left(n + 1 \right).$

Méthode 3 : Sur la division euclidienne.

La division euclidienne est une pratique fondamentale à maîtriser.

Nous rappelons aussi le résultat général : soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbb{K} \left[ X \right]$ avec $B \neq 0.$

Alors il existe deux polynômes de $\mathbb{K} \left[ X \right],$ disons $Q$ et $R,$ uniques tels que :

$A = B Q + R,$

avec

$\deg R < \deg B.$ L’unicité de

$Q$ et

$R$ est importante et est utile.

Exemple : Que vaut le reste $R$ de la division euclidienne de $X^4 + X^2 + X + 1$ par $X^3 + 1$ ?

(i) $R=0$

(ii) $R=X^3+1$

(iii) $R=X^2+1$

Réponse :

On remarque que $X^4 + X^2 + X + 1$ $= \left( X^3 + 1 \right) \times X + \left( X^2 + 1 \right),$ ainsi $Q=X$ et $R=X^2 + 1.$

Méthode 4 : Une méthode pratique pour déterminer le reste de la division euclidienne.

Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbb K \left[ X \right]$ avec $B \neq 0.$ On suppose que $B = \left( X - x_1 \right) \left( X - x_2 \right) \cdots \left( X - x_k \right)$ avec $x_1 ,\cdots , x_k$ des scalaires deux à deux distincts. On écrit alors $A= BQ + R$ avec $\deg R < \deg B,$ ainsi $R=a_{k - 1} X^{k - 1 }+ \cdots + a_0.$ Puis en évaluant en $x_i$ pour $i \in [\![ 1 , k ]\!],$ on a

$A \left( x_i \right) = B \left( x_i \right) Q \left( x_i \right) + R \left( x_i \right) = R \left( x_i \right).$

Cela donne un système de

$k$ équations à

$k$ inconnues

$a_{k-1}, \cdots , a_0.$

Exemple : Que vaut le reste $R$ de la division euclidienne de $X^5 + X^2 + 1$ par $X^2 - 1$ ?

(i) $R= X + 2$

(ii) $R= 2 X - 2$

(iii) $R= X - 2$

Réponse : Comme $\deg \left( X^2 - 1 \right) =2,$ le degré du reste est au plus $1,$ ainsi on pose $R= aX + b.$ Donc $X^5 + X^2 +1 = \left( X^2 - 1 \right) Q \left( X \right) + \left( a X + b \right).$ En évaluant cette relation en $-1$ et $1,$ on a le système suivant :

Méthode 5 : Factoriser un polynôme.

En conséquence du théorème de d’Alembert-Gauss, on rappelle qu’un polynôme se factorise dans $\mathbb{C}$ comme produit de polynômes de degré $1$ .

Dans $\mathbb C,$ pour factoriser un polynôme de degré $n,$ il faut chercher ses $n$ racines (éventuellement confondues).

Dans $\mathbb R,$ la situation est différente. On rappelle qu’un polynôme réel se factorise comme produit de polynômes de degré $1$ et de polynômes de degré $2$ ayant un discriminant strictement négatif. Ainsi, pour factoriser un polynôme dans $\mathbb R,$ on cherche ses racines réelles et complexes non réelles que l’on regroupe deux à deux.

Si $z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}$ est racine, alors $\overline{z}$ est aussi racine de $P$ et

$\left( X - z \right) \left( X - \overline{z} \right) = X^2 - 2 \Re \left( z \right) X + \left| z \right|^2$ divise $P$ .

Exemple : Factoriser dans $\mathbb{R}$ le polynôme $X^4 +1.$

Réponse :

Cherchons les racines de $X^4 + 1$ : il faut donc résoudre l’équation $z^4 = - 1 .$ On remarque que $z=e^{i \pi / 4}$ est solution particulière. Par la méthode 5 du chapitre Nombres Complexes, on récupère toutes les autres racines en multipliant $e^{i \pi / 4}$ par les racines $4$ -ièmes de l’unit\’e. Comme le coefficient dominant est $1,$ on peut écrire
$X^4 + 1$ $= \left( X - e^{i \pi / 4} \right) \left( X - e^{3 i \pi / 4} \right)$ $\times \left( X - e^{5 i \pi / 4} \right) \left( X - e^{7 i \pi / 4} \right).$
Pour factoriser ce polynôme dans $\mathbb R,$ il faut remarquer que $e^{7 i \pi / 4} = \overline{e^{i \pi / 4}}$ et $e^{5 i \pi / 4} = \overline{ e^{3 i \pi / 4} }.$ En écrivant
$X^4 + 1$ $= \left( X - e^{i \pi / 4} \right) \left( X - \overline{e^{i \pi / 4}} \right)$ $\times\left( X - e^{3 i \pi / 4} \right) \left( X - \overline{ e^{3 i \pi / 4} } \right)$
et en développant, on obtient

$X^4 + 1$ $= \left( X^2 - 2 \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) X + 1 \right)$ $\times \left( X^2 - 2 \cos \left( \dfrac{3 \pi}{4} \right) X + 1 \right)$
$= \left( X^2 - \sqrt{2} X + 1 \right) \left( X^2 + \sqrt{2} X + 1 \right)$ .

Méthode 6 : Calculer les racines carrées d’un nombre complexe en l’absence d’une forme exponentielle simple.

Pour factoriser un polynôme, on vient de voir qu’il faut trouver ses racines. Citons quelques approches (non exhaustives) pour démarrer !

$\bullet$ Pour un polynôme de degré au moins $3,$ il y a peut-être une racine « évidente » (par racine évidente, on entend $-2, -1 , 0,1$ ou $2$ ).

$\bullet$ Si l’on sait que $z \in \mathbb C$ est racine d’un polynôme reel, alors $\overline{z}$ est aussi racine (cette remarque n’a d’intérêt que si $z \notin \mathbb R$ ).

$\bullet$ Pour les polynômes du type $a X^{2m} + b X^m +c,$ en posant $Y=X^m,$ on se ramène \`a un polynôme de degré $2.$

$\bullet$ Il est toujours bon de se rappeler que le polynôme $X^n - 1$ a pour racines les racines $n$ -ièmes de l’unité.

Exemple : Quelles sont les racines du polynôme $X^3 +2X + 3$ ?

(i) $\left\{ \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2} , \dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

(ii) $\left\{ -1, \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2} , \dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

(iii)

$\left\{ -1, \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} , \dfrac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

Réponse :

On remarque que $- 1$ est racine évidente de $P.$ Ainsi $P$ se factorise par $X + 1$ de la façon suivante : $X^3 + 2X + 1= \left( X + 1 \right) \left( X^2 - X + 1 \right).$

Par un simple calcul, on obtient les racines de $X^2 - X + 1:$ $\dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1 - i \sqrt{3} }{2}.$

Les racines de $P$ sont : $-1, \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1 - i \sqrt{3}}{2}.$

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Méthode 7 : Montrer qu’un polynôme est nul.

Soit $P$ un polynôme de degré $d.$ On suppose que $P$ a au moins $d + 1$ racines distinctes, alors $P=0.$ En particulier, si $P$ a une infinité de racines, alors $P=0.$

Exemple :

Que dire des polynômes tels que

$P \left( X + 1 \right) = P \left( X \right)$ ?

Réponse : On pose $Q = P \left( X \right) - P \left( 0 \right) .$ On remarque que $Q \left( 1 \right) = 0.$

Il est facile de montrer, par récurrence que $Q \left( n \right) = 0$ pour tout entier naturel $n.$ Le polynôme $Q$ admet donc une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul, ce qui prouve que $P$ est donc constant.

Réciproquement, il est clair que les polynômes constants vérifient la relation

$P \left( X + 1 \right) = P \left( X \right).$

L’ensemble des polynômes vérifiant la relation

$P \left( X + 1 \right) = P \left( X \right)$ est l’ensemble des polynômes constants.

Si vous êtes parfaitement au point sur ce chapitre, prenez de l’avance sur le programme de Maths en ECG1 avec les chapitres de maths suivants :

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