Chapitres Maths en ECG1

Cours en ligne Maths en ECG1

Chapitres Maths en ECG1

Cours : Probabilités sur un univers fini en ECG1

Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Résumé de cours et méthodes – Probabilités sur un univers fini

1. Dénombrement et combinatoire

Méthode 1 : Tirages successifs avec remise.

Si l’on tire $p$ boules successivement et avec remise dans une urne contenant $n$ boules, il y a $n^p$ tirages possibles. On peut facilement s’en convaincre en raisonnant de la manière suivante : il y a $n$ choix possibles pour la première boule, il y a $n$ choix pour la deuxième, etc.

Ces tirages s’appellent des $p$ -listes sans répétition des $n$ boules. Il est conseillé de prendre des cours de soutien de maths pour progresser sur les probabilités sur un univers fini en ECG1

Exemple : 1) Soient $E = [\![ 1 , p ]\!]$ et $F= [\![ 1 , n ]\!]$ avec $n , p \in \mathbb{N}^*$ . Dénombrer le nombre d’applications de $E$ vers $F.$

2) On lance trois fois de suite un dé.

a) Combien y a-t-il de lancers possibles ?

b) Combien y a-t-il de lancers où le premier dé donne un multiple de $3$ ?

c) Combien y a-t-il de lancers où l’on obtient les chiffres $2, 3$ et $5$ ?

Réponse :

1) Définir une application de $E$ vers $F,$ c’est associer à chaque élément de $E$ un unique élément de $F.$ Autrement dit, cela revient à choisir successivement et avec remise $p$ fois (car $\mathrm{card} \left( E \right) = p$ ) un élément de $F$ qui contient $n$ éléments. Ainsi, il y a $n^p$ choix possibles donc il y a $n^p$ applications de $E$ vers $F.$

2) a) Chaque lancer donne $6$ résultats possibles, comme les trois lancers sont successifs, on en a au final $6^3 = 216$ lancers possibles.

b) Il y a

$2$ résultats possibles (

$3$ ou

$6$ ) pour le premier lancer. Pour chacun des deux lancers suivants, il y a

$6$ possibilités par lancer. Les lancers étant successifs, il y a

$2 \times 6^2 = 72$ possibilités.

c) Les chiffres sont choisis, il nous reste à affecter tel chiffre à tel lancer. Cela revient à permuter les trois chiffres sur ces trois lancers : il y a

$3! = 6$ possibilités.

Méthode 2 : Tirages successifs sans remise.

Soient $n, p \in \mathbb{N}^*$ tels que $n \ge p.$ Si l’on tire $p$ boules de manière successive et sans remise dans une urne contenant $n$ boules, il y a $\frac{n!}{\left( n - p \right)!}$ tirages possibles. On appelle $p$ -listes sans répétition des $n$ boules tout résultat d’un tel tirage et on note $A_n^p$ le nombre de ces tirages.

On peut s’en convaincre en raisonnant de la façon suivante : il y a $n$ choix pour la première boule, $n - 1$ pour la deuxième, etc. Pour la $p$ -ième, il y a $n - \left( p - 1 \right)$ choix.

En particulier, il y a $n!$ façons de vider une urne contenant $n$ boules en tirant les boules l’une après l’autre.

On retiendra que l’ordre importe.

Exemple : Les deux questions sont indépendantes.

1) Soient $E = [\![ 1 , p ]\!]$ et $F= [\![ 1 , n ]\!]$ avec $n , p \in \mathbb{N}^*$ tels que $n \ge p.$ Dénombrer le nombre d’applications injectives de $E$ vers $F.$

2) Au départ d’une course de $100$ mètres, il y a $8$ coureurs. Combien y a-t-il de podiums possibles ? On suppose qu’il n’y aura pas d’ex-æquo.

Réponse : 1) Définir une application de $E$ vers $F$ injective, c’est prendre successivement et sans remise (pour bien définir une application injective) $p$ éléments de $F.$ Il y a donc $A_n^p$ applications injectives de $E$ vers $F$ .

2) Définir un podium, c’est donner un premier, un deuxième et un troisième. Autrement dit, c’est effectuer « trois tirages successifs et sans remise des $8$ coureurs au départ ». Il y a donc $A_8^3 = 336$ podiums possibles.

COURS DE MATHS

Nous avons recruté pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths

S'EXERCER ET APPRENDRE

Avis Google France ★★★★★ 4,8 sur 5

Méthode 3 : Tirages simultanés.

Soient $n , p \in \mathbb{N}$ tels que $n \ge p.$ Le nombre de tirages simultanés de $p$ boules dans une urne contenant $n$ boules est égal à $\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p! \left( n - p \right)!}$ tirages.

On retiendra que l’ordre n’importe pas.

Exemple : a) De combien de façons peut-on donner une main de $8$ cartes d’un jeu de $32$ cartes ?

b) Combien de ces mains contiendront exactement un roi ?

c) Combien de ces mains contiendront exactement un roi et deux reines ?

Réponse :

a) Donner une main de $8$ cartes à un joueur, cela revient à choisir simultanément $8$ cartes dans le jeu de $32$ cartes : il y a $\displaystyle\binom{32}{8} = 10\; 518 \; 300$ mains possibles.

b) Se donner une main contenant exactement un roi, c’est choisir un roi parmi les $4$ rois puis choisir simultanément $7$ cartes parmi les $28$ cartes restantes. Il y a donc $\displaystyle\binom{4}{1} \displaystyle\binom{28}{7} = 4 \; 736\; 160.$

c) Choisir une main contenant exactement un roi et deux reines, c’est d’abord choisir un roi parmi les $4$ rois puis choisir deux reines parmi les $4$ et enfin choisir $5$ cartes parmi les $24$ cartes restantes (celles qui ne sont ni des rois ni des reines). Il y a donc $\displaystyle\binom{4}{1} \displaystyle\binom{4}{2} \displaystyle\binom{24}{5} = 48\; 576$ mains.

Méthode 4 : Introduire une bijection.

Il suffit de trouver une bijection entre $E,$ l’ensemble à dénombrer, et un autre ensemble dont on connaît le nombre d’éléments.

Exemple : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $p$ un entier tel que $1 \le p \le n.$ Déterminer le nombre de $p$ -listes strictement croissantes de $E = \left\{ 1 , \cdots , n \right\}.$

Réponse : On note $\mathcal S_{n ,p} = \left\{ \left( i_1 , \cdots , i_p \right) \in [\![ 1, n ]\!] , \; i_1 < \cdots < i_p \right\}$ et $\mathcal P_p \left( [\![ 1, n ]\!] \right)$ l’ensemble des parties de $[\![ 1, n ]\!]$ contenant $p$ éléments.

L’application $\begin{cases} \mathcal S_{n ,p} \to \mathcal P_p \left( [\![ 1, n ]\!] \right) \\ \left( i_1 , \cdots , i_p \right) \mapsto \left\{ i_1 , \cdots , i_p \right\} \end{cases}$ est une bijection (toute partie à $p$ éléments peut être rangée d’une unique façon en une suite strictement croissante), donc

$\mathrm{card} \left( \mathcal S_{n ,p} \right)= \mathrm{card} \left( \mathcal P_p \left( [\![ 1, n ]\!] \right) \right) = \binom{n}{p}.$

2. Probabilités sur un ensemble fini

Méthode 5 : Vérifier que l’on a défini une probabilité sur $\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)$ .

Soit $\Omega$ un ensemble non vide, on rappelle que $\mathcal P \left( \Omega \right)$ désigne l’ensemble des parties de $\Omega.$

Pour montrer qu’une application $\mathbb{P}$ définie sur $\mathcal P \left( \Omega \right)$ est une probabilité sur $\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)$ , il faut montrer qu’elle vérifie les deux points :

$\bullet$ $\mathbb{P} \left( \Omega \right)= 1,$

$\bullet$ si $A, B \subset \Omega$ et si $A \cap B = \emptyset,$ alors $\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right).$

On notera, lorsque $\Omega$ est fini que, $\mathbb{P}$ est entièrement définie sur les ensembles de la forme $\left\{ k \right\}$ avec $k \in \Omega.$

De plus, pour toute partie $B \subset \Omega,$ on a

$\mathbb{P} \left( B \right) = \displaystyle\sum_{k \in B} \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right).$

En particulier si $B = \Omega,$ on a

$1 = \mathbb{P} \left( \Omega \right) = \displaystyle\sum_{k \in \Omega} \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right).$

Lorsque $\mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right) = \mathbb{P} \left( \left\{ k' \right\} \right)$ pour tout $k, k' \in \Omega,$ on dit que l’on est sous l’hypothèse d’équiprobabilité. Dans ce cas, pour tout $B \subset \Omega,$ on a

$\mathbb{P} \left( B \right) = \dfrac{\mathrm{card} \left( B \right)}{\mathrm{card} \left( \Omega \right)}.$

Exemple : Soit $n \in \mathbb{N}^*.$ Soit $\Omega = [\![ 0 , 2n ]\!].$

1) Déterminer $a \in \mathbb{R}$ tel que l’application $\mathbb{P} : \mathcal P \left( \Omega \right) \to \left[ 0 , 1 \right]$ définie par : pour tout $k \in \Omega,$ $\mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right) = a 2^{k}$ définisse une probabilité sur $\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right).$

2) Calculer $\mathbb{P} \left( A \right)$ où $A$ est constitué des nombres pairs de $\Omega.$

Réponse :

1) $\mathbb{P}$ définit une probabilité si sur $\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)$ , et seulement si, $\mathbb{P}$ prend des valeurs positives et si

$\displaystyle\sum_{k \in \Omega} \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right)= 1.$

Autrement dit, on doit avoir

$a \ge 0$ et

$\displaystyle\sum_{k=0}^{2n} a 2^k = 1.$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{2n} a 2^k = a \left( 2^{2n + 1} - 1\right),$ ainsi

$\mathbb{P}$ est une probabilité sur

$\left( \Omega , \mathcal P \left( \Omega \right) \right)$ si, et seulement si,

$a = \dfrac{1}{2^{2n + 1} - 1}.$

$\mathbb{P}\left( A \right) = \displaystyle\sum_{k=0}^n \mathbb{P}\left( \left\{ 2k \right\} \right)= a \displaystyle\sum_{k=0}^n 4^k$

$= \dfrac{4^{n + 1} - 1}{3 \left( 2^{2n + 1} - 1 \right)}$

Méthode 6 : Savoir utiliser les relations fondamentales de probabilité.

Rappelons les relations qui servent tout le temps en probabilité, $\mathbb{P}$ étant une probabilité sur $\left( \Omega, \mathcal P \left( \Omega \right) \right),$ $A$ et $B$ étant deux événements :

$\bullet$ $\mathbb{P} \left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P} \left( A \right),$

$\bullet$ $\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P}\left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right),$

$\bullet$ la formule du crible pour $3$ événements $A, B$ et $C$ :

$\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right)$ $= \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) + \mathbb{P} \left( C \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)$ $- \mathbb{P} \left( A \cap C \right)$

$-\mathbb{P} \left( B \cap C \right) + \mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right)$ ,

$\bullet$ si $A_1, \cdots , A_m$ sont $m$ événements deux à deux incompatibles, alors

$\mathbb{P} \left( \displaystyle\bigcup_{k=1}^m A_k \right) = \displaystyle\sum_{k=1}^m \mathbb{P} \left( A_k \right).$

Exemple : Dans une urne, on place $3$ jetons de couleur rouge numérotés de $1$ à $3,$ $3$ jetons de couleur blanche numérotés de $1$ à $3$ et $3$ jetons de couleur noire numérotés de $1$ à $3.$ On tire simultanément $3$ jetons. On introduit les événements : $A$ « on a obtenu deux numéros $1$ « , $B$ « on a obtenu un seul numéro $3$ » et $C$ « on a obtenu deux numéros distincts ».

Calculer $\mathbb{P}\left( A \right), \mathbb{P} \left( B \right), \mathbb{P} \left( C \right), \mathbb{P}\left( A \cup B \right)$ et $\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right).$

Réponse :

On se place dans le cadre de l’équiprobabilité. $\Omega$ est l’ensemble des tirages simultanés de $3$ jetons parmi les $9$ jetons donc $\mathrm{card} \left( \Omega \right) = \displaystyle\binom{9}{3} = 12 \times 7.$

$\bullet$ Pour déterminer

$\mathrm{card} \left( A \right)$ : on choisit deux

$1$ parmi

$3$ (

$\displaystyle\binom{3}{2} = 3$ façons), puis un jeton parmi les

$6$ ne portant pas le numéro

$1$ (

$6$ façons), soit

$\mathrm{card} \left( A \right) = 3 \times 6$ et

$\mathbb{P} \left( A \right) =\dfrac{3 \times 6}{12 \times 7} = \dfrac{3}{14}.$

$\bullet$ Pour déterminer

$\mathrm{card} \left( B \right)$ : on choisit le jeton portant le numéro

$3$ (

$3$ façons), puis

$2$ jetons parmi les

$6$ jetons ne portant pas le numéro

$3$ (

$\displaystyle\binom{6}{2} = 3 \times 5$ façons). Donc

$\mathbb{P} \left( B \right) = \dfrac{3 \times 15}{12 \times 7} = \dfrac{15}{28}.$

$\bullet$ Pour déterminer

$\mathrm{card} \left( C \right)$ : on choisit la valeur du numéro doublé (

$3$ façons) et deux jetons portant ce numéro (

$\displaystyle\binom{3}{2} = 3$ façons), puis un jeton parmi les

$6$ jetons ne portant pas le numéro doublé (

$6$ façons). Ainsi

$\mathrm{card} \left( C \right) = 3 \times 3 \times 6$ et

$\mathbb{P} \left( C \right) = \dfrac{3 \times 3 \times 6}{12 \times 7} = \dfrac{9}{14}.$

$\bullet$ On utilise la relation

$\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right).$

$A \cap B$ est l’événement « on a obtenu deux

$1$ et un

$3$ » : pour déterminer

$\mathrm{card} \left( A \cap B \right),$ on choisit les jetons de numéro

$1$ (

$\displaystyle\binom{3}{2} = 3$ façons) et le jeton de numéro

$3$ (

$3$ façons), d’où

$\mathrm{card} \left( A \cap B \right) = 3 \times 3$ et

$\mathbb{P} \left( A \cap B \right) = \dfrac{3 \times 3}{12 \times 7} = \dfrac{3}{28}.$ On en déduit

$\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)$

$= \dfrac{3}{14} + \dfrac{15}{28} - \dfrac{3}{28} = \dfrac{9}{14}.$

$\bullet$ On termine par la formule du crible :

$\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right)$

$= \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) + \mathbb{P} \left( C \right)$

$- \mathbb{P} \left( A \cap B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap C \right) - \mathbb{P} \left( B \cap C \right)$

$+ \mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right).$
L’événement

$A \cap C$ est « on a obtenu deux

$1$ et un numéro différent de

$1$ » : pour déterminer

$\mathrm{card} \left( A \cap C \right),$ on choisit les

$2$ jetons

$1$ parmi

$3$ (

$3$ façons) et le numéro différent de

$1$ (

$6$ façons) donc

$\mathrm{card} \left( A \cap C \right) = 3 \times 6$ et

$\mathbb{P} \left( A \cap C \right) = \dfrac{3 \times 6}{12 \times 7} = \dfrac{3}{14}.$

L’événement

$B \cap C$ est l’événement « on a obtenu un numéro

$3$ et deux jetons portant le même numéro différent de

$3$ » : pour déterminer

$\mathrm{card} \left( B \cap C \right),$ on choisit un jeton

$3$ parmi

$3$ de

$3$ façons possibles et le même numéro différent de

$3$ de

$2$ façons et deux jetons parmi les

$3$ jetons portant ce numéro de

$3$ façons possibles, donc

$\mathrm{card} \left( B \cap C \right) = 3 \times 2 \times 3$ et

$\mathbb{P} \left( A \cap C \right) = \dfrac{3 \times 2 \times 3}{12 \times 7} = \dfrac{3}{14}.$

L’événement

$A \cap B \cap C$ est l’événement « on a obtenu un jeton

$3$ et deux jetons portant le numéro

$1$ » : pour déterminer

$\mathrm{card} \left( A \cap B \cap C \right),$ on choisit le jeton

$3$ parmi

$3$ de

$3$ façons possibles et les deux jetons

$1$ parmi

$3$ de

$3$ façons possibles, donc

$\mathrm{card} \left( A \cap B \cap C \right) = 3 \times 3$ et

$\mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right) = \dfrac{3 \times 3}{12 \times 7} = \dfrac{3}{28}.$

Grâce à la formule du crible, on a

$\mathbb{P} \left( A \cup B \cup C \right)$

$=\mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right) + \mathbb{P} \left( C \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)$

$- \mathbb{P}\left( A \cap C \right) - \mathbb{P} \left( B \cap C \right)$

$+ \mathbb{P} \left( A \cap B \cap C \right)$

$= \dfrac{3}{14} + \dfrac{15}{28} + \dfrac{9}{14} - \dfrac{3}{28 } - \dfrac{3}{14} - \dfrac{3}{14} + \dfrac{3}{28}$

$= \dfrac{27}{28}$ .

PROF DE MATHS PARTICULIER

Des cours de qualité et enseignants aguerris

Préparer des concours ou s'exercer

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Méthode 7 : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles et la formule des probabilités composées.

1) Par définition, si $B$ n’est pas un événement impossible (i.e. $\mathbb{P} \left( B \right) \neq 0$ ) $\mathbb{P}_A \left( B \right) = \mathbb{P}{ \mathbb{P} \left( A \cap B \right) }{\mathbb{P} \left( B \right)}.$ Cette formule sert aussi sous la forme :

$\mathbb{P} \left( A \cap B \right) = \mathbb{P}_A \left( B \right) \times \mathbb{P} \left( B \right).$

On retiendra que l’application

$\begin{cases} \mathcal P \left( \Omega \right) \to \left[ 0 , 1 \right] \\ B \mapsto \mathbb{P}_A \left( B \right) \end{cases}$ définit une probabilité sur

$\left( \Omega, \mathcal P \left( \Omega \right) \right).$

2) Formule des probabilités composées.

Soient $A_1, \cdots , A_m$ des événements tels que $\mathbb{P} \left( A_1 \cap \cdots \cap A_m \right) \neq 0.$ Alors,

$\mathbb{P} \left( A_1 \cap \cdots \cap A_m \right) =$

$\mathbb{P} \left( A_1 \right) \times \mathbb{P}_{A_1} \left( A_2 \right) \times \mathbb{P}_{A_1 \cap A_2} \left( A_3 \right)$

$\times \cdots \times \mathbb{P}_{A_1 \cap \cdots \cap A_{m - 1}} \left( A_m \right).$
Il faut penser à utiliser cette formule en particulier dans les cas suivants :

$\bullet$ dans les situations où il y a des urnes dont la composition change à chaque tour,

$\bullet$ de manière générale, dans toutes les situations où ce qui se passe à l’instant $n$ dépend de ce qui se passe aux instants $0, 1 , \cdots, n-1.$ 1) Par définition, si $B$ n’est pas un événement impossible (i.e. $\mathbb{P} \left( B \right) \neq 0$ ) $\mathbb{P}_A \left( B \right) = \dfrac{ \mathbb{P} \left( A \cap B \right) }{\mathbb{P} \left( B \right)}.$ Cette formule sert aussi sous la forme :

$\mathbb{P} \left( A \cap B \right) = \mathbb{P}_A \left( B \right) \times\mathbb{P} \left( B \right).$

On retiendra que l’application

$\begin{cases} \mathcal P \left( \Omega \right) \to \left[ 0 , 1 \right] \\ B \mapsto \mathbb{P}_A \left( B \right) \end{cases}$ définit une probabilité sur

$\left( \Omega, \mathcal P \left( \Omega \right) \right).$

Exemple :

Une urne contient initialement

$7$ boules noires et

$3$ boules blanches. On tire successivement

$3$ boules : si l’on tire une boule noire, on l’enlève ; si l’on tire une boule blanche, on la retire et on ajoute une boule noire à la place.

Quelle est la probabilité de tirer $3$ boules blanches ?

Réponse :

On note $B_i$ l’événement « la $i$ -ème boule tirée est blanche ».