Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Cours : Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Résumé de cours et méthodes – Raisonnement et vocabulaire ensembliste
1. Quantificateurs, ensemble, logique et raisonnement
Méthode 1 : Utilisation des quantificateurs:
Il y a deux quantificateurs principaux : qui signifie « pour tout » et qui signifie « il existe ». A première vue, cela paraît simple mais il est indispensable de bien les maîtriser ! Compléter votre maîtrise avec des cours particuliers de maths en ligne pour les ECG1.
Il faut faire attention à l’ordre des quantificateurs et toujours les placer avant la proposition à laquelle ils se rapportent.
Exemple : Dire si la phrase mathématique suivante est vraie ou fausse et justifier :
Réponse :
Cette phrase est fausse ! L’ordre des quantificateurs est très important. Il faut reformuler la question de la manière suivante : « peut-on trouver , tel que tout pour , on ait ? ».
Un tel ne peut pas être trouvé ! En effet, si un tel existait, il suffirait de prendre pour avoir
Méthode 2 : Donner la négation d’une assertion :
Le point de base est de connaître la négation des quantificateurs.
On rappelle que la négation d’un « il existe » est « quel que soit » et que la négation d’un « quel que soit » est « il existe ».
Exemple : Soit l’assertion suivante :
Quelle est sa négation ?
Réponse : On applique les règles énoncées ci-dessus. On a :
Méthode 3 : Implication, condition nécessaire, condition suffisante, CNS :
Soient et deux assertions.
On appelle l’implication l’assertion Le seul cas où l’implication est fausse est le cas où est vraie et est fausse.
Dans le cas où est vraie, on dit que est une condition suffisante à ou bien que est une condition nécessaire à
On notera que la négation de est l’assertion
On dit que l’assertion est vraie lorsque et le sont, c’est-à-dire lorsque et sont vraies (respectivement fausses) simultanément.
En pratique :
Pour montrer on montre que si est vraie, alors est vraie aussi.
Pour montrer il est équivalent de montrer que (raisonnement par contraposée).
Pour montrer on montre et On fera bien attention à bien séparer les deux étapes.
Pour montrer l’équivalence entre assertions et il suffit de montrer que et
Pour faire un raisonnement par l’absurde pour démontrer que l’assertion est vraie, on suppose l’assertion vraie et en poursuivant le raisonnement, on arrive à est fausse. On dit que l’on a obtenu une contradiction, donc on conclut que est vraie.
Voici une liste (non exhaustive) où l’on pourra faire des raisonnements par équivalence :
lorsque l’on résout une équation ou un système d’équations,
lorsque l’on cherche l’ensemble de définition d’une fonction.
Exemple : Dire si l’assertion suivante est vraie ou fausse. Donner sa négation.
Réponse :
Cette assertion est fausse. En effet, si l’on prend on a L’ordre des quantificateurs est important : ici est placé avant … La négation de cette assertion est :
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2. Applications
Méthode 4 : Ne pas se tromper lorsque l’on compose deux applications :
La composition est une nouvelle opération sur les applications. Soient trois ensembles non vides et et soient deux applications et On définit l’application par :
Exemple : Soient définie par et définie par
Déterminer l’ensemble de définition de et la calculer si cela est possible.
Réponse :
et pour tout
Méthode 5 : Bijectivité :
Pour montrer qu’une application est bijective, on montre qu’elle est injective et surjective. Les méthodes ci-dessus s’appliquent donc.
Pour démontrer que est une bijection de sur on peut aussi démontrer que, pour tout il existe un unique tel que
Dans le cas d’une fonction définie sur un intervalle de il suffit d’appliquer le théorème de la bijection : on prouve que est strictement monotone, continue sur l’intervalle Alors est une bijection de sur
A ce titre, rappelons que :
si et si est croissante sur et si est décroissante sur
Exemple : Soit définie par
est-elle bijective ?
Réponse :
On montre que est injective puis surjective.
Injectivité:
On se donne deux couples de réels et tels que On montre que et
Comme on récupère le système d’équations suivant :
La somme de ces deux lignes donne puis Ensuite, on déduit est bien injective.
Surjectivité:
On se donne on cherche tel que On a donc le système suivant :
La vérification est facile, est bien surjective.
3. Récurrence
Méthode 6 : Récurrence simple :
Une récurrence s’articule autour de quatre étapes principales :
On énonce proprement la proposition que l’on veut montrer.
On initialise en montrant que est vraie, en général on montre que la proposition est vraie lorsque est égal à ou
En supposant la propriété vraie au rang il faut montrer que la propriété est vraie au rang C’est l’hérédité.
La conclusion.
Exemple : Montrer que pour tout on a
Réponse : On présente la récurrence comme suit :
On introduit la proposition pour
est manifestement vraie, car
On suppose que est vraie pour un certain entier fix\’e. Montrons que est vraie, c’est-à-dire, montrons que
On a donc
Par le principe de raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel
Méthode 7 : Récurrence forte :
La récurrence forte sert lorsque l’on a besoin de pour montrer
On énonce la proposition que l’on veut montrer.
On initialise en montrant que est vraie. En général, on montre que est vraie.
En supposant vraies, on montre que est vraie.
La conclusion.
Exemple :
Soit la suite définie par et pour tout
Montrer que pour tout
Réponse : On procède par récurrence forte.
Pour tout on pose : « « .
donc est vraie.
On suppose vraies et montrons que est vraie. On a
Par le principe de raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel
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4. Calcul de sommes et produits
Méthode 8 : Les sommes classiques :
Nous les rappelons ci-dessous (les lettres et désignent des réels et ) :
1) c’est la formule du binôme de Newton,
2)
3) ,
4) formule de la somme des termes d’une suite géométrique. Cette formule est encore valable pour
5) , formule obtenue en dérivant celle de la somme des termes d’une suite géométrique (à ne pas retenir par coeur !) Cette formule est encore valable pour
Soit
Que vaut ?
Réponse :
Cela ressemble à un binôme de Newton ! La présence du dans le coefficient binomial nous invite à faire le changement d’indice Ainsi
Pour appliquer la formule du binôme, il faut que la somme se termine à et que le soit seulement à la puissance d’où en faisant ces petits changements :
=
=
Cette méthode permet de simplifier facilement les sommes qui peuvent se mettre sous la forme En effet, on a
Exemple : Soit
Que vaut ?
Réponse :
Méthode 10 : Les sommes doubles :
Pour calculer des sommes doubles l’idée est de calculer en fixant la quantité puis de sommer les résultats ainsi obtenus.
Exemple :
Soit
Que vaut ?
Réponse :
Pour garder un bon niveau de mathématiques en ECG1, il est essentiel d’effectuer des révisions régulières, aidez-vous alors des cours en ligne suivants :