Chapitres Maths en ECG1
Chapitres Maths en ECG1
Cours : Séries numériques en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Résumé de cours et méthodes – Séries numériques
Méthode 1 : Plan d’étude des séries à termes positifs.
Soit une suite positive et on s’intéresse à la nature de la série On peut essayer de suivre dans l’ordre les idées suivantes :
Un cas simple mais rarement utilisable si ne converge pas vers alors la série diverge grossièrement.
Si nécessaire, on détermine un équivalent simple de disons On sait que converge si, et seulement si, converge.
est-elle proportionnelle à une série de Riemann ? On rappelle que la série converge si, et seulement si,
est-elle proportionnelle à une série géométrique ? On rappelle que converge si, et seulement si,
On peut aussi essayer de raisonner par inégalité en déterminant telle que pour assez grand, Si converge, alors converge.
Si l’on trouve tel que pour assez grand et diverge, alors diverge.
Si l’on trouve tel que alors converge.
En particulier si contient une exponentielle, on peut chercher si
Si l’on trouve tel que alors diverge.
Piège : On le dit une fois pour toutes, montrer que ne prouve rien sur la nature de la série . Cela dit juste que la série ne diverge pas grossièrement mais il y a encore du travail pour montrer la convergence ou la divergence.
Attention à ne pas écrire sans avoir montré la convergence de la série. Cela n’aurait pas de sens !
Exemple : Etudier la nature des séries dont les termes généraux sont donnés ci-dessous :
1)
2)
Réponse : 1) On a Or la série converge car c’est une série de Riemann. Comme et sont de même signe, on en déduit que la série converge.
2) On remarque que donc Comme en posant on a Donc
.
Comme converge (Riemann) et que et sont de même signe, on en déduit que la série converge.
Les notions liés aux séries numérique peuvent sembler complexes pour certains étudiants en ECG1, mais l’accompagnement en cours de maths à domicile peut s’avérer bénéfique.
Méthode 2 : Plan d’étude des séries à signe quelconque.
Mauvaise nouvelle pour vous, il n’y a pas beaucoup de résultat en ce sens dans votre programme… Le seul résultat est le suivant :
Si la série est absolument convergente (c’est-à-dire que la série converge), alors la série converge.
Piège : Si et sont deux suites telles que et si la série converge, alors la série ne converge pas, à priori. Ce résultat est vrai si l’on suppose les suites de signe constant.
Attention à ne pas l’utiliser lorsque les deux suites ne sont pas de signe constant.
Méthode 3 : Calculer la somme d’une série.
Il est indispensable de parfaitement connaître la somme des séries usuelles. Les voici :
valable pour tout complexe tel que
valable pour tout réel
valable pour tout réel
valable pour tout réel
Le principe est assez simple, il faut jongler avec ces différentes formules. Citons cependant, en vrac, d’autres méthodes pouvant servir :
faire apparaître une somme télescopique,
utiliser un changement d’indice ou se ramener aux séries précédentes.
Exemple : Calculer les sommes suivantes (après avoir montré la convergence de la série) :
1)
2)
Réponse :
1) Si l’on remarque que : alors
Comme les séries et convergent (c’est du cours !), converge. De plus, il est facile de calculer sa somme :
où dans la deuxième ligne, on a supprimé les termes nuls pour se ramener à des sommes connues.
2) Grâce aux croissances comparées, on peut voir que car donc converge.
Pour le calcul de la somme, on peut voir que cela permet d’écrire (on vérifie à chaque introduction de somme de série, que l’on manipule une série convergente) :
Méthode 4 : Faire une comparaison série-intégrale.
Cette méthode est très utile lorsque l’on demande donner un équivalent d’une somme (par exemple, donner un équivalent de quand tend vers ). Pour cela, on procède comme suit :
On s’assure que la fonction est décroissante sur (à minima, on s’assure qu’elle est décroissante sur avec ),
Si on écrit ( étant décroissante) que :
On intègre la relation précédente entre et pour obtenir :
soit :
En remplaçant par on récupère :
Puis en regroupant les deux inégalités :
Puis en sommant entre et il vient que :
Puis en utilisant la relation de Chasles :
Le calcul des intégrales de gauche et de droite fournira souvent un équivalent de quand tend vers .
Remarque : Ce résultat n’est pas à apprendre par cœur mais à savoir retrouver rapidement. De plus, il faut savoir l’adapter en problème (il faut peut-être sommer de à par exemple).
Exemple :
Donner un équivalent de quand tend vers
Réponse :
Soit définie par Il est clair que est décroissante sur On applique la relation de la méthode précédente en se limitant à une somme pour entre et (si l’on ne s’en souvient pas, pas de panique, on la retrouve !) pour avoir :
Comme se primitive en on a
Pour faire apparaître il faut ajouter à chaque membre de l’inégalité :
Il semble que soit un bon candidat pour l’équivalent. Divisons par :
Comme on a bien le résultat souhaité :
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