Chapitres Maths en ECG1

Cours : Variables aléatoires à densité en ECG 1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Ce résumé de cours et de méthodes proposé gratuitement vous fournit toutes les notions à maitriser et des exemples précis sur les variables aléatoires à densité en prépa ECG. Pour aller plus loin, n’hésitez pas à faire appel à un professeur particulier de maths à domicile ou en ligne pour attaquer la deuxième année de prépa ECG sereinement.

1. Généralités sur les variables aléatoires à densité en ECG

Dans ce paragraphe, $\left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)$ est un espace probabilisé.

\noindent Une application $X$ de $\Omega$ dans $\R$ est une variable aléatoire réelle lorsque pour tout $x \in \R,$ $\left( X \le x \right) \in \mathcal A.$

On suppose dans ce paragraphe que $X \left( \Omega \right)$ n’est ni fini, ni en bijection avec $\mathbb{N}.$

On définit la fonction de répartition $F_X$ par si $t \in \mathbb{R},$ $F_X \left( t \right)$ $= \mathrm{P} \left( X \le t \right).$

La fonction de répartition $F_X$ de $X$ vérifie les propriétés suivantes :

$\bullet$ $F_X$ est croissante sur $\mathbb{R},$

$\bullet$ $\lim_{x \to - \infty} F_X \left( x \right) = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} F_X \left( x \right) = 1,$

$\bullet$ $F_X$ est continue à droite en tout point $t$ et admet une limite à gauche en $t$ égale à $\mathrm{P} \left( X < t \right),$

$\bullet$ Si $a < b,$ $\mathrm{P} \left( a < X \le b \right)$ $= F_X \left( b \right) - F_X \left( a \right),$

$\bullet$ $F_X$ caractérise la loi, c’est-à-dire que deux variables aléatoires $X$ et $Y$ suivent la même loi si et seulement si $F_X = F_Y.$

$\bullet$ Lorsque $F_X$ est continue, pour tout $a \in \mathbb{R},$ $\mathrm{P} \left( X = a \right) = 0,$ donc si $a < b,$ $\mathrm{P} \left( a \le X \le b \right)$ $= F_X \left( b \right) - F_X \left( a \right)$ et $\mathrm{P} \left( X < a \right)$ $= F_X \left( a \right)$ et $\mathrm{P} \left( X \ge b \right)$ $= \mathrm{P} \left( X > b \right)$ $= 1 - F_X \left( b \right).$

$\bullet$ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $\left( \Omega, \mathcal A , \mathrm{P} \right)$ telles que ni $X \left( \Omega \right)$ ni $Y \left( \Omega \right)$ ne soit fini ou en bijection avec $\mathbb{N}.$ On dit que $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tout $t, t' \in \mathbb{R}$

$\mathrm{P} \left( X \le t \cap Y \le t' \right)$ $= \mathrm{P} \left( X \le t \right) \mathrm{P} \left( Y \le t ' \right).$
Cette définition se généralise à $n$ ( $n \in \mathbb{N},$ $n \ge 2$ ) variables aléatoires.

Méthode 1 : Montrer qu’une fonction est une densité.

$\bullet$ Pour montrer qu’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est une densité sur $\mathbb{R},$ il faut vérifier les deux hypothèses suivantes :

$\star$ $f$ est continue sur $\mathbb{R},$ sauf éventuellement en un nombre fini de points, et à valeurs positives,

$\star$ l’intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge et est égale à $1.$

$\bullet$ On se souviendra aussi que la densité caractérise la loi, c’est-à-dire que si deux variables aléatoires ayant respectivement $f_X$ et $f_Y$ pour densité, si $f_X$ et $f_Y$ sont égales sauf en un nombre fini de points, alors $X$ et $Y$ suivent une même loi.

Exemple : Montrer que les fonctions suivantes sont des densités :

1) $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f \left( x \right)$ $= \dfrac12 e^{- \left| x \right|},$

2) Soit $\lambda > 0,$ $g$ définie par $g \left( x \right) = \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} & \text{si} \; x \ge 0 \\ 0 & \text{si} \; x < 0 \end{cases}.$

Réponse :

1) Vérifions les deux conditions pour avoir une densité.

$\bullet$

$f$ est clairement continue sur

$\mathbb{R}$ et à valeurs positives.

$\bullet$ On a l’intégrale de référence

$\int_0^{+ \infty} e^{-x} dx$

$= \lim_{y \to + \infty} \left[ - e^{-x} \right]_0^y = 1.$

On rappelle que si

$f$ est continue sur

$\mathbb{R},$ paire et si l’intégrale

$\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge, alors l’intégrale

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge et

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$

$= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt.$ On en déduit que l’intégrale

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge et que

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$

$= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt = 1.$

$f$ est une densité.

2) Vérifions les deux conditions pour avoir une densité.

$\bullet$

$f$ est clairement continue sur

$\mathbb{R}$ et à valeurs positives.

$\bullet$ On a l’intégrale de référence

$\int_0^{+ \infty} e^{-x} dx$

$= \lim_{y \to + \infty} \left[ - e^{-x} \right]_0^y = 1.$

On rappelle que si

$f$ est continue sur

$\mathbb{R},$ paire et si l’intégrale

$\int_0^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge, alors l’intégrale

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge et

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$

$= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt.$ On en déduit que l’intégrale

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$ converge et que

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f \left( t \right) dt$

$= 2 \int_{0}^{+ \infty} f \left( t \right) dt = 1.$

$f$ est une densité.

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Méthode 2 : Reconnaître une variable aléatoire à densité et en donner la loi.

Par définition, une variable à densité $X$ est une variable aléatoire telle qu’il existe une densité $f_X$ telle que pour tout $x \in \mathbb{R},$ $F_X \left( x \right)$ $= \int_{- \infty}^x f_X \left( t \right) dt.$

$\bullet$ Lorsque l’on connaît la fonction de répartition de la variable $X,$ pour montrer que $X$ admet une densité, on montre que $F_X$ est continue sur $\mathbb{R},$ de classe $C^1$ sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Si $F_X$ est de classe $C^1$ en $t \in \mathbb{R},$ $f_X \left( t \right)$ $= F_X ' \left( t \right).$

$\bullet$ Réciproquement si $X$ est une variable aléatoire à densité, sa fonction de répartition $F_X$ est définie par

$\text{pour tout } \; x \in \mathbb{R}, F_X \left( x \right)$ $= \int_{- \infty}^x f_X \left( t \right) dt.$
La fonction $F_X$ est continue sur $\mathbb{R},$ de classe $C$ en tout point où $f_X$ est continue, et en ces points $F_X ' = f_X.$

Pour donner la loi d’une variable aléatoire à densité, il suffit au choix de donner

$\qquad$ $\star$ la fonction de répartition de $X$

$\qquad$ $\star$ une densité $f_X$ de $X.$

Important : on retiendra que si $X$ est une variable aléatoire à densité, pour tout $x \in \mathbb{R},$ $\mathrm{P} \left( X = x \right) = 0.$

Piège : Si $f_X$ est une densité de $X,$ toute fonction à valeurs positives égale à $f_X$ sauf en un nombre fini de points est aussi une densité de $X.$ On ne parle pas de la densité mais d’une densité.

Si $F_X$ est de classe $C^1,$ on choisira $f_X = F_X',$ et on pourra commettre l’abus de langage de parler de la densité de $X$ en choisissant cette densité.

Méthode 3 : Calculer la fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ .

Il y a deux méthodes selon les données de l’énoncé :

$\bullet$ si l’on connaît une densité $f_X$ de $X,$ on calcule la fonction de répartition de $X$ en utilisant $F_X \left( x \right)$ $= \int_{- \infty}^x f_X \left( t \right) dt.$

Lorsque l’expression de $f$ est définie par raccord sur les intervalles d’extrémités $a_1 < a_2 < \cdots < a_p,$ on calcule $F_X \left( x \right)$ en étudiant les différents cas :

$x < a_1, x \in \left[ a_1 , a_2 \right[ , \cdots, x \in \left[ a_{p - 1} , a_p \right[ \; \text{et} \; x \ge a_p.$

$\bullet$ sinon, on revient à la définition : $F_X \left( x \right)$ $= \mathrm{P} \left( X \le x \right).$ Il est souvent possible de prouver alors que $X$ admet une densité. Ce sera la méthode à adopter lorsque l’on définira $Y = u \left( X \right),$ la fonction $u$ étant continue sur $X \left( \Omega \right).$ On déterminera la fonction de répartition de $Y$ en fonction de celle de $X,$ puis on cherchera à prouver que $Y$ admet une densité.

Exemple :

Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F_X$ définie par $F_X \left( x \right) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; x < 0 \\ \dfrac{2x}{\pi} & \text{si} \; 0 \le x < \dfrac{\pi}{2} \\ 1 & \text{si} \; x \ge \dfrac{\pi}{2} \end{cases}.$

On note $Y = \tan^2 \left( X \right).$

Trouver la fonction de répartition $G$ de $Y$ et montrer que $Y$ admet une densité que l’on exprimera.

Réponse : La fonction $F$ est continue sur $\mathbb{R}$ (on vérifie qu’elle est continue aux points de raccord $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ ),

$\text{donc pour tout} \; t \in \mathbb{R}, \; \mathrm{P} \left( X = t \right) = 0.$

On remarque que

$\mathrm{P} \left( 0 \le X < \dfrac{\pi}{2} \right)$

$= F_X \left( \dfrac{\pi}{2} \right) - F_X \left( 0 \right)$

$=1,$ on peut définir presque sûrement la variable

$Y.$

$Y$ est à valeurs positives, donc

$G \left( y \right) = 0$ si

$y < 0.$

$y \ge 0,$

$G \left( y \right)$

$= \mathrm{P} \left( Y \le y \right)$

$= \mathrm{P} \left( \tan^2 \left( X \right) \le y \right)$

$= \mathrm{P} \left( \tan \left( X \right) \le \sqrt{y} \right).$

$G \left( y \right)$

$= \mathrm{P} \left( X \le \mathrm{Arctan} \left( \sqrt{ y} \right) \right),$ si bien que

$G \left( y \right)$

$= \dfrac{2}{\pi} \mathrm{Arctan} \left( \sqrt{y} \right).$

La fonction

$G$ est continue sur

$\R$ (elle est continue au point de raccord

$0$ ), de classe

$C^1$ sur

$\mathbb{R}^*,$ donc

$Y$ admet une densité définie par

$g \left( y \right) = 0$ si

$y < 0$ et

$g \left( y \right)$

$= \dfrac{1}{\pi \sqrt{y} \left( 1 + y \right)}.$ On pose, par exemple,

$g \left( 0 \right) = 0.$

$Y$ admet une densité définie par

$g \left( y \right) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; y \le 0 \\ \dfrac{1}{\pi \sqrt{y} \left( 1 + y \right)} & \text{si} \; y > 0\end{cases}.$

Méthode 4 : Montrer qu’une variable aléatoire à densité admet une espérance.

1) Soit $X$ une variable admettant une densité $f_X$ . Pour montrer que $X$ admet une espérance, il faut montrer que l’intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_X \left( t \right) dt$ converge absolument.

Si c’est le cas, on pose $\mathbb{E} \left( X \right)$ $= \int_{- \infty}^{+ \infty} t f_X \left( t \right) dt.$

2) Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes et à densité ayant chacune une espérance, alors la variable aléatoire $X Y$ admet une espérance et

$\mathbb{E} \left( X Y \right)$ $= \mathbb{E} \left( X \right) \mathbb{E} \left( Y \right).$

Remarque : 1) Lorsque $X$ admet une densité $f_X$ continue sur $\left[ a , b \right]$ et nulle hors de $\left[ a , b \right],$ alors $X$ admet une espérance égale à $\int_a^b t f_X \left( t \right) dt,$ puisque les intégrales $\int_{- \infty}^a t f_X \left( t \right) dt$ et $\int_{b}^{+ \infty} t f_X \left( t \right) dt$ sont absolument convergentes et nulles.

2) Si $X$ est une variable à densité admettant une espérance et si $\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2,$ $a X + b$ admet une espérance et $\mathbb{E} \left( a X + b \right) = a \mathbb{E} \left( X \right) + b.$

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Méthode 5 : Montrer qu’une variable aléatoire à densité admet une variance.

Soit $X$ une variable aléatoire admettant une densité $f_X.$

Lorsque l’intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} t^2 f_X \left( t \right) dt$ converge (elle converge aussi absolument), alors $X$ admet une espérance et une variance.

On définit $\mathbb{E} \left( X^2 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t^2 f_X \left( t \right) dt$ et la variance de $X$ par :

$V \left( X \right)$ $= \mathbb{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2.$
On montre que $V \left( X \right) \ge 0$ et on appelle écart type de $X,$ $\sigma \left( X \right)$ $= \sqrt{V \left( X \right)}.$

Remarque : 1) Si $X$ admet une densité continue sur un segment $\left[ a , b \right]$ et nulle hors de $\left[ a , b \right],$ alors $X$ admet une variance car l’intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} t^2 f_X \left( t \right) dt$ est convergente, la fonction $t \mapsto t^2 f_X \left( t \right)$ étant nulle hors de $\left[ a , b \right]$ et dans ce cas $\mathbb{E} \left( X \right)$ $= \int_a^b t f_X \left( t \right) dt$ et $\mathbb{E} \left( X^2 \right)$ $= \int_a^b t^2 f_X \left( t \right) dt.$

2) Si $X$ est une variable à densité admettant une variance et si $\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2,$ $a X + b$ admet une variance et $V \left( a X + b \right)$ $= a^2 V \left( X \right).$

2. Lois de variables à densité usuelles en prepa ECG

Méthode 6 : Sur la loi normale.

La loi normale est une loi assez importante pour faire quelques rappels.

Soient $\mu$ un réel et $\sigma$ un réel strictement positif.

1) On dit qu’une variable à densité suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^2$ si elle admet une densité de la forme $\varphi \left( x \right)$ $= \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} } e^{- \left( \dfrac{x - \mu}{ \sqrt{2} \sigma} \right)^2}.$

Dans ce cas, on a $\mathbb{E} \left( X \right)$ $= \mu$ et $V \left( X \right)$ $= \sigma^2.$

2) Les calculs étant plus simples pour la loi normale centrée réduite (avec $\mu=0$ et $\sigma = 1$ ), il est bon de savoir que

$\bullet$ si $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^2,$ alors $Y = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée, réduite.

$\bullet$ si $U$ suit la loi normale centrée, réduite, et si $\left( a, b \right) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R},$ $X= a U + b$ suit une loi normale de paramètres $b$ et $a^2.$

3) Si $\phi$ est la fonction de répartition de $U$ de loi normale de paramètres $0$ et $1,$ $\phi \left( x \right)$ $= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x e^{- t^2 / 2} dt,$ la fonction $\phi$ ne s’exprime pas à l’aide des fonctions usuelles, mais on peut en calculer les valeurs approchées en utilisant des tables de loi normale ou Scilab et en utilisant les propriétés suivantes :

$\qquad$ $\star$ pour tout $x \in \left[ 0 , + \infty \right[,$ $\phi \left( - x \right)$ $= 1 - \phi \left( x \right),$

$\qquad$ $\star$ $\mathrm{P} \left( \left| U \right| \le x \right)$ $= 2 \phi \left( x \right) - 1,$ $\mathrm{P} \left( \left| U \right| \ge x \right)$ $= 2 \left( 1 - \phi \left( x \right) \right).$

Si vous hésitez, tracez le graphe de la densité $\varphi : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \dfrac{x^2}{2}}$ et interprétez les probabilités en termes d’aires de domaine compris entre le graphe de $\varphi$ et l’axe $x'Ox.$

Méthode 7 : Variable aléatoire et loi exponentielle.

La fonction de répartition, une densité de la loi exponentielle sont données par le tableau ci-dessus. Il en est de même de l’espérance et de la variance. Nous citons quelques propriétés qui sont importantes à retenir :

$\bullet$ Soit $X$ est une variable aléatoire admettant une densité. $X$ est une variable aléatoire sans mémoire c’est-à-dire vérifiant
$\forall s, t \ge 0, \; \mathrm{P}_{\left( X > t \right)} \left( X > s + t \right)$ $= \mathrm{P} \left( X > s \right)$ $= \mathrm{P}_{X > t} \left( X > s + t \right)$ $= \mathrm{P} \left( X > s \right)$
si et seulement si $X$ suit une loi exponentielle.

$\bullet$ Si $\lambda > 0,$ $\dfrac {1}{\lambda} X$ suit une loi exponentielle de paramètre $1$ si et seulement si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda.$

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