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Cours : Variables aléatoires finies en ECG1

Résumé de cours Exercices Corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Variables aléatoires finies

Méthode 1 : Déterminer la loi d’une variable aléatoire finie.

Déterminer la loi d’une variable aléatoire finie $X$ , c’est :

$\bullet$ donner les valeurs prises par la variable aléatoire, c’est-à-dire déterminer $X \left( \Omega \right),$

$\bullet$ pour $x \in X \left( \Omega \right),$ calculer $\mathbb{P} \left( X = x \right).$

Pour démontrer qu’un énoncé détermine la loi d’une variable aléatoire $X,$ on vérifie que pour tout $x \in X \left( \Omega \right),$ $\mathbb{P} \left( X = x \right) \ge 0$ et que

$\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathbb{P} \left( X = x \right) = 1.$

Remarque : $\bullet$ Il est conseillé de vérifier que $\displaystyle\sum_{x \in X \left( \Omega \right)} \mathbb{P} \left( X = x \right) = 1.$

$\bullet$ On retiendra que $\left( \left( X = x \right) \right)_{x \in X \left( \Omega \right)}$ est un système complet d’événements.

Exemple : Soit $n \in \mathbb{N}^*.$ Une urne contient $2$ boules blanches et $n - 2$ boules rouges. On effectue des tirages sans remise de cette urne. On appelle $X$ le rang de sortie de la première boule blanche et $Y$ le nombre de boules rouges restant dans l’urne à ce moment.

1) Donner la loi de $X.$

2) Exprimer $Y$ en fonction de $X.$ En déduire la loi de $Y.$

Réponse : 1) On doit tirer au moins une boule pour avoir une boule blanche, ainsi $X$ prend des valeurs supérieures à $1.$ Et on doit tirer au plus $n- 1$ boules avant d’avoir la première boule blanche, cela correspond en particulier où l’on tire d’abord les $n - 2$ boules rouges puis une boule blanche. Ainsi $X \left( \Omega \right) \subset [\![ 1 , n - 1 ]\!].$ De plus chaque événement $\left( X= k \right)$ avec $k \in [\![ 1 , n - 1 ]\!]$ est bien un événement non vide, d’où $X \left( \Omega \right) = [\![ 1 , n - 1 ]\!].$

Calculons

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$ pour

$k \in [\![ 1 , n - 1 ]\!].$

On note

$R_i$ : « on tire une boule rouge au

$i$ -ième tirage » et

$B_i$ : « on tire une boule blanche au

$i$ -ième tirage », ainsi

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \mathbb{P} \left( R_1 \cap R_2 \cap \cdots \cap R_{k - 1} \cap B_k \right).$
La formule des probabilités composées, on a

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \mathbb{P} \left( R_1 \right) \mathbb{P}_{R_1} \left( R_2 \right) \mathbb{P}_{R_1 \cap R_2} \left( R_3 \right)$

$\cdots \mathbb{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{k - 2} } \left( R_{k - 1} \right) \mathbb{P}_{R_1 \cap$

$\cdots \cap R_{k - 1}} \left( B_k \right),$

avec

$\mathbb{P} \left( R_1 \right)$

$= \dfrac{n - 2}{n}, \mathbb{P}_{R_1} \left( R_2 \right)$

$= \dfrac{n - 3}{n - 1}$ et de manière générale

$\mathbb{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{i - 1} } \left( R_i \right)$

$= \dfrac{n - 2 - \left( i - 1 \right)}{n - \left( i - 1 \right)}$

$= \dfrac{ n - i - 1}{n - i + 1}$ (car on a tiré

$i - 1$ boules rouges) et

$\mathbb{P}_{R_1 \cap \cdots \cap R_{k - 1}} \left( B_k \right)$

$= \dfrac{2}{n - \left( k - 1 \right)}$

$= \dfrac{2}{n - k + 1}.$ Ainsi

$\mathbb{P} \left( X = k \right)$

$= \dfrac{n - 2}{n} \times \dfrac{n - 3}{n -1} \times \cdots \times \dfrac{n - k + 1}{n - k + 3}$

$\times \dfrac{n - k}{n - k + 2} \times \dfrac{2}{n - k + 1}$

$= \dfrac{2 \left( n - k \right)}{n \left( n - 1 \right)}.$

$Y$ est égal au nombre de boules rouges diminués du nombre

$X$ de boules tirées soit

$Y = n - 1 - Y.$ On a

$Y \left( \Omega \right) = [\![ 0 , n - 2 ]\!].$

Pour tout $j \in [\![ 0 , n - 2 ]\!],$ calculons $\mathbb{P} \left( Y = j \right).$ En utilisant l’expression de $Y$ à l’aide de $X,$ on a :

$\mathbb{P} \left( Y = j \right)$

$= \mathbb{P} \left( n - 1 - X = j \right)$

$= \mathbb{P} \left( X = n - 1 - j \right)$

$= \dfrac{2 \left( n - n + 1 + j \right)}{n \left( n - 1 \right)}$

$= \dfrac{2 \left( j + 1 \right)}{n \left( n - 1 \right)}$ .

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Méthode 2 : Savoir calculer l’espérance d’une variable aléatoire finie.

1) On rappelle qu’une variable aléatoire

$X$ prenant un nombre fini de valeurs admet une espérance donnée par :

$\mathbb{E} \left( X \right)$

$= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k \mathrm{P} \left( X = k \right).$

2) Nous rappelons aussi que l’espérance est linéaire ; c’est-à-dire que si

$X$ et

$Y$ sont des variables aléatoires finies et si

$\lambda, \mu \in \mathbb{R},$ alors la variable aléatoire

$\lambda X + \mu Y$ admet une espérance et

$\mathbb{E} \left( \lambda X + \mu Y \right)$

$= \lambda \mathbb{E} \left( X \right) + \mu \mathbb{E} \left( Y \right).$

En particulier si

$X$ est une variable aléatoire réelle finie et

$a,b$ deux réels, on a

$\mathbb{E} \left( a X + b \right) = a \mathbb{E} \left( X \right) + b.$

3) Si

$X$ et

$Y$ sont deux variables aléatoires finies indépendantes, alors

$XY$ est une variable aléatoire finie et

$\mathbb{E} \left( X Y \right) = \mathbb{E} \left( X \right) \times \mathbb{E} \left( Y \right).$

Exemple : Soit

$n \in \mathbb{N}^*.$ On jette

$n$ fois une pièce truquée dont la probabilité d’obtenir Pile est

$p \in \left] 0 , 1 \right[.$ Soit

$X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer qui donne Pile et qui vaut

$0$ si l’on obtient aucun Pile lors des

$n$ lancers.

1) Déterminer la loi de

$X$ et vérifier que

$\displaystyle\sum_{k=0}^n \mathrm{P} \left( X = k \right) = 1.$

2) Calculer

$\mathbb{E} \left( X \right).$

Réponse : 1) On a

$X \left( \Omega \right) = [\![ 0 , n ]\!].$ Pour

$k \in [\![ 1 , n ]\!],$ on note

$P_k$ (respectivement

$F_k$ ) l’événement : « on obtient Pile (respectivement Face) au

$k$ -ième lancer ».

On commence par traiter le cas où

$k=0.$

$\left( X = 0\right) = F_1 \cap F_2 \cap \cdots \cap F_n.$

La probabilité d’obtenir Face est de

$1-p$ et les lancers sont indépendants, on a

$\mathrm{P} \left( X = 0 \right) = \left( 1 - p \right)^n.$

Soit

$k \in [\![ 1 , n ]\!],$ on a

$\left( X = k \right) = F_1 \cap \cdots \cap F_{k - 1} \cap P_k$

et par indépendance des lancers

$\mathrm{P} \left( X = k \right) = \left( 1 - p \right)^{k - 1} p.$

De plus,

$\displaystyle\sum_{k=0}^n \mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= \mathrm{P} \left( X = 0 \right)$

$+ \displaystyle\sum_{k =1}^n \mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= \left( 1- p \right)^n + p \displaystyle\sum_{k =1}^n \left( 1- p \right)^{k - 1}$

$\underset{\text{on pose} \, i = k-1}{=} \left( 1 - p \right)^n + p \displaystyle\sum_{i=0}^{n - 1} \left( 1 - p \right)^i$

$= \left( 1- p \right)^n + p \dfrac{1 - \left( 1 - p \right)^n}{1 - \left( 1 - p \right) }$

$= 1$ .

$X$ étant une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs, elle admet une espérance donnée par

$\mathbb{E} \left( X \right) = \displaystyle\sum_{k = 0}^n k \mathrm{P} \left( X = k \right).$ On écrit donc :

$\mathbb{E} \left( X \right)$

$= \displaystyle\sum_{k = 0}^n k \mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= 0 \times \mathrm{P} \left( X = 0 \right)$

$+ p \displaystyle\sum_{k = 1}^n k \left( 1 - p \right)^{k - 1}$

$= p \displaystyle\sum_{k = 1}^n k \left( 1 - p \right)^{k - 1}$

$= p \, \dfrac{1 - \left( n + 1 \right) \left( 1 - p \right)^n \left( 1 - \left( 1 - p \right) \right)}{\left( 1 - \left( 1 - p \right) \right)^2}$

$+</div> <div>\dfrac{\left( 1 - p \right)^{n + 1} }{\left( 1 - \left( 1 - p \right) \right)^2}$

$= \dfrac{1 - \left( n + 1\right) p \left( 1- p \right)^n + \left( 1- p \right)^{n + 1}}{p}$ .

Méthode 3 : Savoir utiliser le théorème de transfert.

Soyons clair, vous utilisez souvent le théorème de transfert sans en avoir conscience, mais il est des cas où il est indispensable d’y recourir en pleine conscience !

Etant données une variable aléatoire finie

$X$ et

$f : X \left( \Omega \right) \to \mathbb{R}$ une fonction alors

$f \left( X \right)$ admet une espérance et

$\mathbb{E} \left( f \left( X \right) \right)$

$= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} f \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right).$

On en déduit en particulier que si

$\left( a , b \right) \in \mathbb{R}^2,$

$\mathbb{E}\left( a X + b \right)$

$= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} \left( a k + b \right) \mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= a \mathbb{E} \left( X \right) + b$

$\mathbb{E} \left( X^2 \right)$

$= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k^2 \mathrm{P} \left( X = k \right).$

Remarque : Il est donc inutile de connaître la loi de

$f \left( X \right)$ pour calculer son espérance.

Exemple : Soit

$X$ une variable aléatoire de loi

$\mathcal B \left( n , p \right)$ avec

$p \in \left] 0 , 1 \right[$ (voir ci-dessous pour la définition de cette loi). Calculer :

$\mathbb{E} \left( 2^X \right),$

$\mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X + 1} \right).$

Réponse :

1) Le théorème du transfert s’applique avec

$f \left( x \right) = 2^x.$ Ainsi

$= \displaystyle\sum_{k = 0}^n 2^k \binom{n}{k} p^k \left( 1- p \right)^{n - k}$

$= \displaystyle\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} \left( 2 p \right)^k \left( 1- p \right)^{n - k}$

$\underset{\text{formule du binome de Newton}}{=} \left( 2p + 1 - p \right)^n$

$= \left( p + 1 \right)^n$ .

2) Le théorème du transfert s’applique avec

$g \left( x \right) = \dfrac{1}{x + 1}.$ Ainsi

$\mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X + 1} \right)$

$= \displaystyle\sum_{k=0}^n g \left( k \right) \mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= \displaystyle\sum_{k = 0}^n \dfrac{1}{k + 1} \binom{n}{k} p^k \left( 1- p \right)^{n - k}$

$\underset{ \dfrac{1}{k + 1} \binom{n}{k} = \dfrac{1}{n + 1} \binom{n + 1}{k + 1} }{=} \displaystyle\sum_{k = 0}^n \dfrac{1}{n + 1} \binom{n + 1}{k+ 1} p^k \left( 1- p \right)^{n - k}$

$\underset{\text{on pose} \, i = k + 1}{=} \dfrac{1}{n + 1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n + 1} \binom{n + 1}{i } p^{i - 1} \left( 1 - p \right)^{n - i + 1}$

$= \dfrac{1}{ p \left( n + 1 \right)} \displaystyle\sum_{i=1}^{n + 1} \binom{n + 1}{i } p^{i} \left( 1 - p \right)^{n + 1 - i}$

$= \dfrac{1}{ p \left( n + 1 \right)} \left( \displaystyle\sum_{i=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{i } p^{i} \left( 1 - p \right)^{n + 1 - i} - \left( 1 - p \right)^{n + 1} \right)$

$= \dfrac{1}{ p \left( n + 1 \right)} \left( \left( p + 1 - p \right)^{n + 1} - \left( 1 - p \right)^{n + 1} \right)$

$= \dfrac{ 1 - \left( 1 - p \right)^{n + 1}}{ p \left( n + 1 \right)}$ .

Méthode 4 : Calculer la variance d’une variable aléatoire finie.

Une variable aléatoire finie admet une variance donnée par :

$V \left( X \right)$

$= \mathbb{E} \left( \left( X - \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2 \right).$

La formule de König-Huygens montre que

$V \left( X \right)$

$= \mathbb{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2.$ Ainsi, on a :

$V \left( X \right)$

$= \mathbb{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathbb{E} \left( X \right) \right)^2$

$= \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k^2 \mathrm{P} \left( X = k \right)$

$- \left( \displaystyle\sum_{k \in X \left( \Omega \right)} k \mathrm{P} \left( X = k \right) \right)^2$ .

A ce sujet, on rappelle une formule très utile : si

$X$ est une variable aléatoire finie (la formule est vraie tout le temps,

sous réserve d’existence de la variance) et si

$a, b \in \mathbb{R},$ alors

$a X + b$ admet une variance et :

$V \left( a X + b \right) = a^2 V \left( X \right).$

$X$ et

$Y$ sont deux variables finies aléatoires indépendantes, alors

$V \left( X + Y \right)$

$= V \left( X \right) + V \left( Y \right).$

$X$ est une variable aléatoire ayant une variance non nulle, alors on peut poser

$X^* = \dfrac{X - \mathbb{E} \left( X \right)}{\sqrt{V \left( X \right)}}.$ La variable aléatoire

$X^*$ est appelée variable aléatoire centrée réduite associée à

$X$ : son espérance vaut

$0$ et sa variance vaut

$1$ (faites les vérifications !).

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Méthode 5 : Savoir calculer et utiliser la fonction de répartition d’une variable aléatoire finie.

Disons le clairement, la fonction de répartition ne sert pas beaucoup pour les variables aléatoires discrètes mais plus pour les variables continues. Nous les introduisons néanmoins pour les manipuler. Si

$X$ est une variable aléatoire finie, on définit la fonction de répartition

$F_X$ sur

$\mathbb{R}$ par

$F_X \left( t \right) = \mathrm{P} \left( X \le t \right).$

Cette fonction a quelques propriétés qu’il est bon de connaître :

$\bullet$

$F_X$ est croissante sur

$\mathbb{R},$

$\bullet$

$\lim_{t \to +\infty} F_X \left( t \right) = 1$ et

$\lim_{t \to -\infty} F_X \left( t \right) = 0.$

$\bullet$

$F_X$ caractérise la loi, c’est-à-dire que deux variables aléatoires

$X$ et

$Y$ suivent la même loi \textbf{si et seulement si}

$F_X = F_Y.$

$\bullet$ Lorsque

$X \left( \Omega \right)$

$= \left\{ a_1 , a_2 , \cdots , a_n \right\}$ avec

$a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ on montre facilement que :

$\qquad$

$\star$ si

$t < a_1,$ alors

$F_X \left( t \right)= 0,$

$\qquad$

$\star$ si

$1 \le k < n$ et

$t \in \left[ a_k , a_{k + 1} \right[,$ alors

$F_X \left( t \right)$

$= a_1 + \cdots + a_k,$

$\qquad$

$\star$ si

$t \ge a_n,$ alors

$F_X \left( t \right) = 1.$

Méthode 6 : Reconnaître une loi de Bernoulli.

Une variable aléatoire de Bernoulli ne prend que deux valeurs

$0$ ou

$1.$ On les rencontre dans les situations où il

n’y a que deux issues possibles : succès (noté

$1$ ) et échec (noté

$0$ ).

Exemple : 1) Soit

$X$ une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre

$p.$

Donner la loi des variables aléatoires :

$1 - X, X^2$ et

$\max \left\{ X , \dfrac{X}{1 + X} \right\}.$

2) Soient

$X$ et

$Y$ deux variables aléatoires de Bernoulli, indépendantes, de paramètre

$p$ et

$q$ respectivement.

Déterminer la loi de

$Z= \max \left\{ X , Y \right\}.$

Réponse :

$\bullet$

$\left( 1 - X \right) \left( \Omega \right)$

$= \left\{ 0 , 1 \right\}$ et

$\mathrm{P} \left( 1 - X = 1 \right)$

$=</div> <div>\mathrm{P} \left( X = 0 \right)$

$= 1- p,$

$\mathrm{P} \left( 1- X = 0 \right)$

$= \mathrm{P} \left( X = 1 \right)$

$=p.$

Ainsi

$1 - X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre

$1- p.$

$\bullet$

$X^2 \left( \Omega \right)$

$= \left\{ 0 , 1 \right\}$ et

$\mathrm{P} \left( X^2 = 1 \right)$

$= \mathrm{P} \left( X = 1</div> <div>\right)$

$= p,$

$\mathrm{P} \left( X^2 = 0 \right)$

$= \mathrm{P} \left( X = 0 \right)$

$= 1 - p.$

Ainsi

$X^2$ suit une loi de Bernoulli de paramètre

$p.$

$\bullet$ Soit

$Y = \max \left\{ X , \dfrac{X}{1 + X} \right\}.$ Si

$X \left( \omega \right) = 0,$

$Y \left( \omega \right)$

$=</div> <div>\max \left\{ 0 , 0 \right\} = 0$ et si

$X \left( \omega \right)= 1,$

$Y \left( \omega \right)$

$= \max \left\{ 1, \dfrac12 \right\}$

$=</div> <div>1.$

Donc

$Y= X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre

$p.$

2) Comme

$X$ et

$Y$ sont des variables de Bernoulli, elles ne prennent que deux valeurs :

$0$ ou

$1.$ Ainsi

$Z = \max \left\{ X , Y \right\}$ ne prend que les valeurs

$0$ ou

$1$ et

$Z \left( \Omega \right) = \left\{ 0 , 1 \right\}.$ Calculons

$\mathrm{P} \left( Z = 0 \right).$ Pour cela, on écrit :

$\mathrm{P} \left( Z = 0 \right)= \mathrm{P} \left( \max \left\{ X , Y \right\} = 0 \right)$

$= \mathrm{P} \left( \left( X = 0 \right) \cap \left( Y = 0 \right) \right)$

$\underset{\text{par independance de $X$ et $Y$}}{=} \mathrm{P} \left( X = 0 \right) \times \mathrm{P} \left( Y = 0 \right)$

$= \left( 1 - p \right) \left( 1 - q \right)$

On a donc

$\mathrm{P} \left( Z = 1 \right)$

$= 1 - \mathrm{P} \left( Z =0 \right)$

$= p + q -pq$ et

$Z$ suit une loi de Bernoulli de paramètre

$p + q -pq.$

Remarque : Une variable aléatoire de Bernoulli prend pour valeurs

$0$ ou

$1$ . Mais lorsque qu’une variable aléatoire prend deux valeurs, on peut l’exprimer à l’aide d’une variable aléatoire de Bernoulli.

Méthode 7 : Reconnaître une loi binomiale.

On obtient une variable aléatoire

$X$ de loi binomiale de paramètres

$n$ et

$p$ lorsque l’on compte le nombre de « succès » en répétant

$n$ épreuves de Bernoulli identiques (donnant chacune un succès de probabilité

$p$ et un échec avec une probabilité

$1- p$ ) et indépendantes.

Au programme de deuxième année, on peut aussi dire que

$X$ suit une loi binomiale de paramètres

$n$ et

$p$ lorsque l’on peut écrire

$X = X_1 + \cdots + X_n$ où les variables

$X_1 , \cdots, X_n$ sont indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre

$p.$

Exemple : Ecrire la matrice de passage de

$\mathcal{B}$ à

$\mathcal{B'}$ quand

$\mathcal{B}=(e_{1},e_{2})$ et

$\mathcal{B}'=(2e_{1}+3e_{2}, -e_{1}+e_{2})$ . La matrice de passage est ?

Réponse :

$P_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}=\begin{pmatrix} 2& -1\\3& 1\end{pmatrix}$

Méthode 8 : Reconnaître une loi uniforme.

Le tableau ci-dessus caractérise la loi uniforme sur

$[\![ 1 , n ]\!].$

Soient

$a \le b$ deux entiers relatifs, on dit que la variable aléatoire

$X$ suit la loi uniforme sur

$[\![ a, b ]\!]$ lorsque

$X</div> <div>\left( \Omega \right) = [\![ a, b ]\!]$ et pour tout

$k \in [\![ a, b ]\!],$

$\mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= \dfrac{1}{ b - a + 1}.$

Exemple : Soit

$a, b \in \mathbb{Z}$ tels que

$a < b.$ On considère une variable aléatoire

$X$ suivant la loi uniforme sur

$[\![ a, b ]\!]$ c’est-à-dire

$X \left( \Omega \right) = [\![ a, b ]\!]$ et pour tout

$k \in [\![ a, b ]\!],$ on a

$\mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= \dfrac{1}{b - a}.$ En s’aidant du tableau, donner l’espérance et la variance de

$X.$

Réponse : Si l’on pose

$n = b - a + 1$ (nombre d’éléments de

$[\![ a, b ]\!]$ ) et si

$Y$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur

$[\![ 1 ,n ]\!],$ alors remarquons que

$X = Y + \left( a - 1 \right).$ En effet, le support de la variable aléatoire

$Y + \left( a - 1 \right)$ est bien

$[\![ a, b ]\!]$ et si

$k \in [\![ a, b ]\!]$ alors

$\mathrm{P} \left( X = k \right)$

$= \mathrm{P} \left( Y = k - a + 1 \right)$

$= \dfrac1n.$ à partir de là, il est aisé de calculer l’espérance et la variance de

$X.$

On a

$E \left( X \right)$

$= \E \left( Y + a - 1 \right)$

$= \E \left( Y \right) + \left( a - 1 \right)$

$= \dfrac{n + 1}{2} + \left( a - 1 \right)$

$= \dfrac{b - a + 2}{2} + \left( a - 1 \right)$

$= \dfrac{a + b}{2}$ .

Et pour la variance :

$V \left( X \right)$

$= V \left( Y + \left( a - 1 \right) \right)$

$= V \left( Y \right)$

$= \dfrac{n^2 - 1}{12}$

$= \dfrac{\left( b - a + 1 \right)^2 - 1}{12}$

$= \dfrac{\left( b - a \right) \left( b - a + 2 \right)}{12}$ .

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