Programme de maths approfondies en ECG 2
Tout sur le programme de maths approfondies en ECG 2
Les cours de maths sont les cours les plus importants en prépa ECG parcours maths approfondies. En effet l’épreuve de maths est la plus coefficientée en ECG. Elle représente environ 35% du total des coefficients. En deuxième année, le programme s’intensifie et le rythme s’accélère. Pour être sûr d’assimiler toutes les notions du programme avant les concours, l’élève d’ECG 2 qui se demande comment progresser en maths en prépa ECG doit être rigoureux et consacrer une part conséquente de son emploi du temps au travail des mathématiques.
Le programme d’ECG 2 en maths traite les quatre thèmes abordés en cours d’ECG 1 : l’algèbre, l’analyse, les probabilités et l’informatique avec le langage Python. Il va seulement plus loin que le programme de maths d’ECG 1 et aborde donc de nouvelles notions comme l’algèbre bilinéaire, la suite des chapitres sur les espaces vectoriels et applications linéaires sur la diagonalisation ou réduction des endomorphismes et les intégrales généralisées sur un intervalle quelconque.
Prenez des cours de maths à domicile pour renforcer vos connaissances du programme de maths en ECG 2. Ces cours vous aideront aussi à préparer l’épreuve de maths approfondies en ECG 2, en adoptant des méthodologies efficaces. Vous avez aussi les stages de préparation en prépa ECG qui se déroulent durant chaque vacances scolaires. Ces stages intensifs vous aideront à vous mettre dans les conditions réelles de l’examen pour assurer votre réussir au programme de maths en ECG 2.
Programme maths approfondies en ECG 2
Programme de maths approfondies en ECG 2
Chapitres du troisième et du quatrième semestre, avec les travaux pratiques Python
| Semestre | Bloc du programme | Chapitre | Notions clés |
|---|---|---|---|
| Semestre 3 | Algèbre linéaire et bilinéaire | Compléments d'algèbre linéaire | Somme directe de sous-espaces vectoriels, base adaptée et concaténation de bases, changement de base, matrice de passage, matrices semblables, trace d'une matrice carrée et son invariance par changement de base.La trace est introduite comme outil de recherche de valeurs propres, sans développement théorique. |
| Semestre 3 | Algèbre linéaire et bilinéaire | Éléments propres et réduction | Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, spectre, polynômes annulateurs, caractérisation des endomorphismes et des matrices diagonalisables, diagonalisation, calcul des puissances d'une matrice.Le polynôme caractéristique ne figure pas au programme, la recherche des valeurs propres passe par les polynômes annulateurs. |
| Semestre 3 | Algèbre linéaire et bilinéaire | Algèbre bilinéaire | Produit scalaire et norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, familles orthonormées, théorème de Pythagore, espaces euclidiens, bases orthonormées, expression matricielle du produit scalaire, supplémentaire orthogonal.Cadre euclidien uniquement. L'orthonormalisation de Schmidt n'est pas exigible. |
| Semestre 3 | Fonctions réelles définies sur Rⁿ | Introduction aux fonctions de n variables | Fonctions de n variables à valeurs réelles, équation du graphe, lignes de niveau pour deux variables, continuité sur Rⁿ, opérations sur les fonctions continues.Le domaine est Rⁿ tout entier, ce qui écarte toute question de topologie à ce stade. |
| Semestre 3 | Fonctions réelles définies sur Rⁿ | Calcul différentiel | Fonctions partielles, dérivées partielles d'ordre 1 et 2, gradient, fonctions de classe C1 et C2, développement limité d'ordre 1, interprétation géométrique du gradient. |
| Semestre 3 | Fonctions réelles définies sur Rⁿ | Recherche d'extremum, condition d'ordre 1 | Extremum local et extremum global, condition nécessaire du premier ordre, points critiques d'une fonction de classe C1. |
| Semestre 3 | Probabilités, couples et n-uplets | Compléments sur les variables aléatoires réelles | Définition d'une variable aléatoire, fonction de répartition, loi caractérisée par la fonction de répartition, espérance conditionnelle, formule de l'espérance totale. |
| Semestre 3 | Probabilités, couples et n-uplets | Variables aléatoires à densité | Densité de probabilité, fonction de répartition, transformation affine d'une variable à densité, espérance, existence par domination, théorème de transfert. |
| Semestre 3 | Probabilités, couples et n-uplets | Lois à densité usuelles | Loi uniforme sur un intervalle, loi exponentielle et absence de mémoire, loi normale et loi normale centrée réduite, transformées affines, lois gamma.Les lois gamma sont propres aux maths approfondies, elles ne figurent pas en maths appliquées. |
| Semestre 3 | Probabilités, couples et n-uplets | Variance des variables à densité | Variance et écart-type, variables centrées et centrées réduites, variance des lois uniforme, exponentielle et normale, exemple de variable sans variance. |
| Semestre 3 | Probabilités, couples et n-uplets | n-uplets de variables aléatoires réelles | Généralisation des propriétés de l'espérance et de la variance, indépendance mutuelle, cas particulier du couple, sommes de variables aléatoires indépendantes.L'étude des n-uplets à composantes non indépendantes n'est pas un objectif du programme. |
| Semestre 4 | Compléments d'algèbre bilinéaire | Endomorphismes symétriques et matrices symétriques | Définition d'un endomorphisme symétrique, caractérisation par la matrice en base orthonormée, stabilité du supplémentaire orthogonal, orthogonalité des sous-espaces propres. |
| Semestre 4 | Compléments d'algèbre bilinéaire | Projection orthogonale | Projection orthogonale sur un sous-espace, expression en base orthonormée, caractérisation par minimisation de la norme, application aux moindres carrés et à la droite de régression.Les résultats sur les moindres carrés ne sont pas exigibles. |
| Semestre 4 | Compléments d'algèbre bilinéaire | Réduction des matrices symétriques | Diagonalisation de tout endomorphisme symétrique, base orthonormée de vecteurs propres, diagonalisation d'une matrice symétrique réelle avec une matrice de passage orthogonale.Résultat directement réutilisé dans le chapitre de recherche d'extrema. |
| Semestre 4 | Fonctions de n variables et extrema | Fonctions définies sur une partie de Rⁿ | Extension de la continuité et des classes C1 et C2 aux fonctions définies sur un sous-ensemble de Rⁿ, sensibilisation aux ouverts, aux fermés et aux ensembles bornés.La nature topologique d'un ensemble sera toujours précisée dans les énoncés. |
| Semestre 4 | Fonctions de n variables et extrema | Compléments sur les fonctions de classe C2 | Matrice hessienne, théorème de Schwarz, fonction quadratique associée à une matrice symétrique, développement limité d'ordre 2 sur un ouvert. |
| Semestre 4 | Fonctions de n variables et extrema | Recherche d'extrema | Extrema sur un ensemble fermé borné, condition d'ordre 1 et points critiques, condition d'ordre 2 lue sur le signe des valeurs propres de la hessienne, point selle, condition suffisante d'extremum global sur un ouvert convexe. |
| Semestre 4 | Fonctions de n variables et extrema | Extrema sous contrainte d'égalités linéaires | Condition nécessaire du premier ordre sous contrainte, gradient appartenant à l'espace engendré par les gradients des contraintes, coefficients multiplicateurs, point critique de l'optimisation sous contrainte. |
| Semestre 4 | Probabilités, convergences et estimation | Convergences et approximations | Convergence en probabilité, loi faible des grands nombres, convergence en loi, théorème limite central, approximations de la loi binomiale et de la loi de Poisson par la loi normale. |
| Semestre 4 | Probabilités, convergences et estimation | Estimation ponctuelle | n-échantillon de variables indépendantes de même loi, définition d'un estimateur et d'une estimation, exemple de la moyenne empirique. |
| Semestre 4 | Probabilités, convergences et estimation | Intervalle de confiance | Niveau de confiance, intervalle obtenu par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, intervalle de confiance asymptotique appuyé sur le théorème limite central, estimation du paramètre d'une loi de Bernoulli et de l'espérance d'une loi normale. |
| Semestre 4 | Probabilités, convergences et estimation | Comparaison des estimateurs | Estimateur sans biais, suite d'estimateurs, estimateur convergent, comparaison de plusieurs estimateurs d'un même paramètre.La notion de risque quadratique n'est pas au programme. |
| TP Python | Travaux pratiques avec Python | Statistiques descriptives bivariées | Série statistique à deux variables, nuage de points, point moyen, covariance et coefficient de corrélation empiriques, droites de régression, distinction entre variable explicative et variable à expliquer.Durée indicative de 3 heures. |
| TP Python | Travaux pratiques avec Python | Fonctions de plusieurs variables | Graphe d'une fonction de deux variables, lignes de niveau, plan affine tangent, dérivées partielles et directionnelles, représentation du gradient, points selles, extrema avec ou sans contrainte linéaire.Durée indicative de 3 heures. |
| TP Python | Travaux pratiques avec Python | Simulation de lois | Méthode d'inversion, simulation des lois usuelles, comparaison des échantillons obtenus avec les distributions théoriques à l'aide de diagrammes en bâtons, d'histogrammes et de la fonction de répartition empirique.Durée indicative de 6 heures. |
| TP Python | Travaux pratiques avec Python | Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance | Méthode de Monte-Carlo et garanties d'approximation, comparaison d'estimateurs ponctuels, comparaison d'intervalles de confiance obtenus par différentes méthodes.Durée indicative de 6 heures. |
Source : Ministère de l'enseignement supérieur, de la recherche et de l'innovation, 2021
COURS DE MATHS
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Programme maths approfondies ECG 2 : l’algèbre linéaire et bilinéaire
Le troisième semestre commence par des compléments d’algèbre linéaire, somme directe de sous-espaces vectoriels, changement de base, matrice de passage et trace, avant d’attaquer le chapitre central de l’année : la réduction. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, diagonalisation puis calcul des puissances d’une matrice. Le programme d’ECG passe par les polynômes annulateurs et non par le polynôme caractéristique, qui n’y figure pas.
L’algèbre bilinéaire suit, dans le cadre euclidien seulement : produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormées, théorème de Pythagore. Le quatrième semestre la prolonge avec les endomorphismes symétriques, la projection orthogonale et la réduction des matrices symétriques, ce dernier résultat servant directement au chapitre d’optimisation.
Programme de maths en prepa ECG 2 : l’analyse
Les intégrales généralisées ne forment pas un chapitre à part en ECG 2, elles ont été vues en première année et reviennent comme outil dans l’étude des variables à densité. L’analyse porte donc sur les fonctions de plusieurs variables. Au troisième semestre les fonctions sont définies sur Rn tout entier, ce qui écarte la topologie : graphe, lignes de niveau, continuité, dérivées partielles, classes C1 et C2, gradient, puis condition nécessaire du premier ordre et points critiques.
Le quatrième semestre travaille sur un ouvert de Rn et introduit la matrice hessienne avec le théorème de Schwarz. La condition d’ordre 2 se lit sur le signe des valeurs propres de la hessienne, d’où l’utilité de la réduction vue juste avant. Le programme se termine par les extrema sur un fermé borné, le point selle et la recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires, l’optimisation qui sert ensuite en microéconomie et en finance.
Programme de maths approfondies ECG 2 : les probabilités
C’est le bloc le plus volumineux de l’année. Le troisième semestre complète l’étude des variables discrètes, espérance et conditionnement, puis introduit les variables aléatoires à densité : densité, fonction de répartition, espérance, variance, théorème de transfert. Quatre lois usuelles au programme, uniforme, exponentielle, normale et loi gamma, cette dernière étant propre aux maths approfondies. Le semestre se termine par les n-uplets de variables aléatoires réelles, l’indépendance mutuelle et les sommes de variables indépendantes.
Le quatrième semestre traite les convergences, en probabilité puis en loi, avec le théorème limite central, avant l’estimation : estimateur sans biais, estimateur convergent, intervalle de confiance et intervalle de confiance asymptotique. La notion de risque quadratique est explicitement écartée du programme, contrairement à ce que suggèrent d’anciens sujets d’ECS.
Ce chapitre arrive en février ou mars, quand le temps manque, et reste le moins bien maîtrisé alors qu’il tombe souvent. Travailler les annales des concours BCE et Ecricome dès que le cours est posé change la donne, surtout sur la rédaction que les rapports de jury pointent chaque année. Un stage de prepa ECG 2 permet de reprendre les chapitres restés flous, la réduction et les variables à densité en tête, quand des cours particuliers en prepa ECG 2 conviennent mieux à un travail ciblé sur les blocages. Ces cours particuliers en maths aident souvent l’élève à mieux appréhender les notions, à mieux s’organiser grâce au temps gagné et à faire beaucoup d’annales BCE.
Questions fréquentes sur le programme maths approfondies ECG 2
Les deux parcours partagent la même logique mais pas le même niveau d’abstraction. Les maths approfondies représentent 9 heures par semaine contre 8 en maths appliquées et exigent beaucoup plus de démonstrations. Certains chapitres n’existent que d’un côté : la loi gamma et l’algèbre bilinéaire poussée relèvent des maths approfondies, tandis que les chaînes de Markov et les graphes probabilistes appartiennent aux maths appliquées. Le poids des maths aux concours est aussi plus élevé en approfondies, ce qui explique que la plupart des élèves visant le haut du classement s’y engagent.
Le parcours maths approfondies compte 7 heures de cours et 2 heures de travaux dirigés, soit 9 heures hebdomadaires, un volume identique en première et en deuxième année. S’y ajoutent 10 minutes d’interrogation orale par semaine en maths et 5 minutes en informatique, plus les devoirs surveillés et les concours blancs propres à chaque établissement. Sur les 27 heures de cours d’un emploi du temps type, les mathématiques constituent donc le bloc le plus lourd.
Le troisième semestre introduit la réduction des endomorphismes et des matrices carrées, le produit scalaire et les espaces euclidiens, les fonctions réelles définies sur Rn avec le gradient, puis les variables aléatoires à densité et les n-uplets. Le quatrième semestre poursuit avec les endomorphismes symétriques, la projection orthogonale, la recherche d’extrema à l’aide de la matrice hessienne, y compris sous contrainte d’égalités linéaires, et enfin les convergences, le théorème limite central et l’estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance.
Python, et uniquement Python. Le programme prévoit quatre thèmes de travaux pratiques traités sur les créneaux dédiés à l’informatique : statistiques descriptives bivariées, fonctions de plusieurs variables, simulation de lois et estimation. Les élèves doivent maîtriser un jeu de commandes exigibles, notamment la librairie numpy pour le calcul et la simulation aléatoire ainsi que l’affichage graphique. Scilab a disparu des programmes économiques et commerciaux avec la réforme de 2021.
Oui, intégralement. Les épreuves écrites portent sur les deux années, ce qui rend toute lacune de première année pénalisante. Le programme de deuxième année est d’ailleurs construit en prolongement direct du premier : les intégrales généralisées vues en ECG 1 servent de socle aux variables aléatoires à densité, les séries reviennent dans l’étude des variables discrètes et l’algèbre linéaire de sup conditionne la réduction des matrices. Reprendre les chapitres fragiles de première année dès septembre est donc un investissement rentable. Quelle différence entre maths approfondies et maths appliquées en ECG 2 ?
Combien d'heures de maths par semaine en ECG 2 ?
Quels sont les nouveaux chapitres du programme de maths approfondies en ECG 2 ?
Quel langage de programmation est utilisé en maths approfondies en ECG 2 ?
Le programme d'ECG 1 est-il réutilisé aux concours de fin d'ECG 2 ?
STAGE VACANCES PRÉPA ECG
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