Tout le programme de maths appliquées en ECG 2

Programme maths prepa ECG 2 : endomorphismes, variables à densité

Programme du prépa ECG

Programme d'ECG 2

L’épreuve de maths est la plus coefficientée en ECG (anciennement prépa ECE) aux concours avec l’épreuve d’ESH. Elle représente environ 25% des coefficients de la BCE en ECG. Par conséquent, cette matière ne doit pas être négligée pour qui souhaite intégrer les écoles au top du classement des écoles de commerce de France.

Le programme de maths s’étend sur les deux années de cours de prepa ECG. 4 thèmes sont abordés : algèbre linéaire, analyse, probabilités et les travaux pratiques avec Python.

Le programme en ECG 2 en maths s’inscrit dans la continuité du programme de maths d’ECG 1. Des nouvelles notions comme les endomorphismes et les variables à densité sont introduites et les notions du programme de maths d’ECG 1 sont approfondies.

Les horaires hebdomadaires de cours au programme d’ECG 2

Programme officiel de maths appliquées en prépa ECG 2

Enseignement de maths du 3ème et du 4ème semestre, complété par l’enseignement annuel d’informatique et d’algorithmique

23 chapitres affichés

Semestre	Domaine	Chapitre	Notions au programme
3ème sem.	Algèbre linéaire	Espaces vectoriels réels de dimension finie	Espace vectoriel sur R, familles libres et génératrices, bases, base canonique de Rⁿ, de M_n,p(R) et de R_n[x], sous-espace vectoriel, dimension, rang d’une famille de vecteurs.Partie traitée dans sa plus simple expression, sans démonstration. Les espaces vectoriels abstraits ne sont pas introduits, on reste en dimension finie.
3ème sem.	Algèbre linéaire	Endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie	Application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, composition, noyau et image, rang, théorème du rang et caractérisation des isomorphismes, matrice d’une application linéaire et d’un endomorphisme, changement de base et matrice de passage, matrices semblables.Le théorème du rang est admis.
3ème sem.	Algèbre linéaire	Réduction des matrices carrées	Spectre d’une matrice carrée, valeurs et vecteurs propres, polynôme annulateur, matrice diagonalisable, exemples de diagonalisation, calcul des puissances n-ièmes, application aux suites récurrentes linéaires, diagonalisabilité des matrices symétriques.Les méthodes trop calculatoires sont à éviter et la résolution de systèmes à paramètres est déconseillée. Aucune connaissance supplémentaire sur les polynômes annulateurs n’est exigible.
3ème sem.	Compléments d’analyse	Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants	Écriture X’ = AX, existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy, résolution lorsque A est diagonalisable de taille 2 ou 3, comportement asymptotique des trajectoires selon le signe des valeurs propres, stabilité et état d’équilibre, équivalence entre une équation scalaire d’ordre 2 et un système de deux équations d’ordre 1.L’exponentielle de matrice n’est pas au programme.
3ème sem.	Compléments d’analyse	Compléments sur les suites et les séries	Négligeabilité et équivalence de suites, réécriture des croissances comparées, suites récurrentes du type u_n+1 = f(u_n), point fixe, convergence des séries de Riemann, séries à termes positifs et règles de comparaison, exemples de séries à termes quelconques et sommes télescopiques.L’étude des séries ne sert que dans le cadre des variables aléatoires discrètes.
3ème sem.	Compléments d’analyse	Compléments sur les fonctions d’une variable réelle	Comparaison des fonctions au voisinage d’un point, négligeabilité et équivalence, compatibilité de l’équivalence avec le produit, le quotient et la composition par une puissance entière, développements limités, formule de Taylor-Young, allure locale du graphe.Développements limités à l’ordre 2 au plus, uniquement pour e^x, ln(1 + x) et (1 + x)^α au voisinage de 0. Aucune technique de calcul de DL n’est exigible.
3ème sem.	Compléments d’analyse	Intégration généralisée à un intervalle quelconque	Convergence sur un intervalle du type [a, +∞[, ]-∞, b] ou R, linéarité, positivité, relation de Chasles, intégrales de Riemann et intégrales exponentielles de référence, règles de comparaison des fonctions positives, convergence absolue.Outil introduit pour les variables aléatoires à densité. Les résultats peuvent être admis. Intégration par parties et changement de variable non affine restent réservés au segment.
3ème sem.	Probabilités et statistiques	Statistiques bivariées	Série statistique à deux variables quantitatives discrètes, nuage de points, point moyen, covariance empirique et formule de Koenig-Huygens, coefficient de corrélation linéaire empirique et son interprétation, ajustement par les moindres carrés, droites de régression.Travail attendu sur des données réelles issues de l’économie ou des sciences sociales, avec distinction entre variables explicatives et variables à expliquer.
3ème sem.	Probabilités et statistiques	Couples de variables aléatoires discrètes	Loi d’un couple, lois marginales et conditionnelles, loi de Z = g(X, Y), théorème de transfert, indépendance, espérance d’un produit de variables indépendantes, loi du minimum et du maximum, stabilité des lois binomiale et de Poisson, covariance et formule de Koenig-Huygens, coefficient de corrélation linéaire, variance d’une somme.Aucune difficulté n’est soulevée sur les séries indexées par des ensembles dénombrables, les manipulations sont admises licites.
3ème sem.	Probabilités et statistiques	Suites de variables aléatoires discrètes	Indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles discrètes, indépendance d’une suite infinie, lemme des coalitions, espérance de la somme de n variables, variance de la somme de n variables indépendantes.Le lemme des coalitions est admis.
4ème sem.	Fonctions de deux variables	Fonctions continues sur R²	Exemples de fonctions de deux variables, fonctions coordonnées, fonctions polynomiales, distance euclidienne, continuité en un point, opérations sur les fonctions continues, lignes de niveau.Tous les résultats sont admis et le domaine de définition est systématiquement R². Illustrations attendues sur des exemples de type Cobb-Douglas.
4ème sem.	Fonctions de deux variables	Calcul différentiel sur R²	Dérivées partielles d’ordre 1 et d’ordre 2, fonctions de classe C¹ et C², opérations, gradient, théorème de Schwarz, matrice hessienne et sa symétrie.La détermination de la classe d’une fonction en un point problématique est hors programme.
4ème sem.	Fonctions de deux variables	Extrema d’une fonction de deux variables	Extremum local et global, ensemble ouvert, fermé et borné, atteinte des bornes sur une partie fermée bornée, point critique et condition nécessaire d’ordre 1, condition suffisante par les valeurs propres de la hessienne, point col.La nature topologique d’un ensemble sera toujours indiquée, sa détermination n’est pas un objectif du programme.
4ème sem.	Probabilités	Graphes probabilistes et chaînes de Markov	Graphe probabiliste, matrice de transition, chaîne de Markov associée, états successifs, relation de récurrence matricielle V_n = V_n-1M, état stable et interprétation probabiliste, comportements possibles d’un graphe à deux états.Tous les résultats de cette section sont admis. L’étude des différents comportements d’un graphe à deux états est un savoir-faire non exigible.
4ème sem.	Probabilités	Variables aléatoires à densité	Définition par la fonction de répartition, densité, transformation affine, espérance et variance, théorème de transfert, variable centrée réduite, lois uniforme, exponentielle avec absence de mémoire, normale centrée réduite et normale, exemples simples de transferts.On se limite aux densités admettant des limites finies à gauche et à droite en tout point. Savoir représenter les densités normales et utiliser la fonction Φ.
4ème sem.	Probabilités	Compléments sur les variables aléatoires quelconques	Indépendance de deux variables aléatoires réelles quelconques et généralisation, lemme des coalitions, espérance d’une somme, croissance de l’espérance, espérance du produit de variables indépendantes, variance d’une somme de variables indépendantes.Tous les résultats sont admis. La définition de l’espérance d’une variable quelconque est hors d’atteinte dans ce cadre.
4ème sem.	Probabilités	Convergences et approximations	Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres, convergence en loi et caractérisation dans le cas entier, convergence de la loi binomiale B(n, λ/n) vers la loi de Poisson, théorème limite central, approximations des lois binomiale et de Poisson par la loi normale.L’inégalité de Markov n’est pas exigible en l’état. Toutes les indications justifiant l’usage d’une approximation sont fournies au candidat.
4ème sem.	Probabilités	Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance	n-échantillon, définition d’un estimateur et d’une estimation, moyenne empirique, principe de l’estimateur du maximum de vraisemblance appliqué aux lois de Bernoulli et de Poisson, intervalle de confiance obtenu par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, cas de la moyenne d’une loi normale d’écart type connu, variance empirique, intervalle de confiance asymptotique.Aucun développement théorique n’est attendu. L’intervalle de confiance asymptotique n’est pas exigible en l’état.
3ème sem.	Informatique et algorithmique	Bases de données et langage SQL	Modèle relationnel, relation, attribut, domaine, clé primaire, clé étrangère, schéma relationnel, vocabulaire des tables et des enregistrements, opérateurs arithmétiques, de comparaison et logiques. Commandes exigibles : SELECT, INSERT INTO, DELETE FROM, UPDATE, CREATE TABLE, INNER JOIN avec condition ON.Aucune autre notion de jointure. Non exigibles : UNION, INTERSECTION, EXCEPT, MIN, MAX, SUM, AVG, COUNT, DISTINCT, ORDER BY.
3ème sem.	Informatique et algorithmique	Équations et systèmes différentiels	Représentations graphiques de trajectoires, interprétation des paramètres, influence des conditions initiales, observation de la convergence vers un équilibre.Le solveur scipy.integrate.odeint peut être utilisé sans que sa maîtrise soit exigible. La discrétisation d’une équation différentielle n’est pas au programme.
3ème sem.	Informatique et algorithmique	Statistiques descriptives bivariées	Série statistique à deux variables, tracé du nuage de points, point moyen, covariance et coefficient de corrélation empiriques, tracé des droites de régression, pré-transformations pour se ramener au cas linéaire.Distinction attendue entre variables explicatives et variables à expliquer.
4ème sem.	Informatique et algorithmique	Chaînes de Markov en Python	Matrice de transition sur des exemples simples, état stable, comportement limite, simulation et mise en évidence des états stables, observation de la convergence en loi sur un graphe complet.Applications suggérées : indice de popularité d’une page web (PageRank), modélisation de la mobilité sociale, systèmes de bonus-malus en assurance.
4ème sem.	Informatique et algorithmique	Comparaison d’estimateurs et intervalles de confiance	Comparaison de plusieurs estimateurs ponctuels d’un paramètre, comparaison des lois d’estimateurs par histogrammes, intervalle de confiance asymptotique pour le paramètre d’une loi de Bernoulli, comparaison avec l’intervalle issu de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.Comparaison possible par les demi-largeurs moyennes des intervalles et leurs niveaux de confiance, en majorant p(1-p) par 1/4.

Aucun chapitre ne correspond à cette recherche.

Source : Ministère de l’enseignement supérieur, de la recherche et de l’innovation, 2021. Programme de maths appliquées et informatique de la classe d’ECG, deuxième année.

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Programme de maths en ECG 2 : l’algèbre linéaire

Le programme de maths de prepa ECG 2 accorde une part importante à l’algèbre linéaire. Les élèves vont découvrir la notion abstraite des espaces vectoriels, ainsi que la réduction des endomorphismes et la diagonalisation des matrices carrées. Cette partie contient de nombreuses applications, et se base en majorité sur le calcul vectoriel et matriciel.

Les applications linéaires et leurs généralités vues en cours de maths en ECG 1 sont approfondies, et désormais les élèves vont les étudier dans une dimension finie (au travers de matrice d’un endomorphisme et d’un isomorphisme). Les matrices de passage et les changements de base sont également au programme de maths de la prépa ECG.

Cours de maths en ECG 2 : l’analyse

Le programme de maths en ECG 2 est également dense en analyse. Les suites et les fonctions sont très largement abordées au travers des concepts de négligeabilité et d’équivalence. Ensuite vient l’étude des séries numériques et des intégrales généralisées qui permettront d’approfondir les compétences acquises sur les notions d’équivalence et de négligeabilité. De même, ces comparaisons permettent l’analyse des variables aléatoires à densité.

Une initiation aux problèmes d’optimisation et à l’étude des fonctions à deux variables est également abordée en analyse. En outre, le programme de maths en ECG 2 propose des compléments sur les suites et les séries : au travers des concepts de convergence des séries de Riemann par exemple. Les fonctions sont comparées, et on va chercher à démontrer la compatibilité de l’équivalence. Enfin, les fonctions numériques à deux variables sur l’ensemble des réels sont abordées au travers des calculs différentiels (des matrices) et des calculs d’extrema.

Questions fréquentes sur le programme de maths appliquées ECG 2

Quel est le programme de maths appliquées en ECG 2 ?

Le programme se répartit sur deux semestres de mathématiques et un enseignement annuel d’informatique. Le troisième semestre couvre l’algèbre linéaire (espaces vectoriels de dimension finie, endomorphismes, réduction des matrices carrées), des compléments d’analyse (systèmes différentiels linéaires, négligeabilité et équivalents, développements limités, intégration généralisée) puis les statistiques bivariées et les couples et suites de variables aléatoires discrètes. Le quatrième semestre traite les fonctions de deux variables réelles et la recherche d’extrema, les chaînes de Markov, les variables aléatoires à densité, les convergences et l’estimation. L’informatique porte sur les bases de données en SQL, les systèmes différentiels, les statistiques bivariées, les chaînes de Markov et l’estimation.

Quelle différence entre le programme de maths appliquées et celui de maths approfondies en ECG 2 ?

Les deux options partagent la même architecture mais pas le même niveau d’abstraction. Les maths approfondies pèsent 9 heures par semaine et poussent l’algèbre linéaire, l’analyse et les probabilités vers un formalisme plus exigeant. Les maths appliquées pèsent 8 heures et privilégient les outils utiles en économie et en sciences sociales : régression linéaire, chaînes de Markov, optimisation à deux variables, statistique inférentielle et bases de données. Aux concours, plusieurs écoles rééquilibrent leurs coefficients en faveur de l’HGG ou de l’ESH pour les candidats en maths appliquées, ce qui change la stratégie de préparation.

Combien d'heures de maths par semaine au programme ECG 2 ?

Le volume officiel en maths appliquées est de 6 heures de cours et 2 heures de travaux dirigés par semaine, soit 8 heures, auxquelles s’ajoutent 10 minutes de colle de maths et 5 minutes d’interrogation orale d’informatique. En maths approfondies, le volume monte à 7 heures de cours et 2 heures de travaux dirigés. Ces horaires sont fixés par l’arrêté du 5 janvier 2021 et sont identiques en première et en deuxième année.

Quel langage de programmation au programme de maths appliquées ECG 2 ?

Python. C’est le langage de référence retenu par le programme officiel depuis la réforme de 2021, avec numpy, matplotlib et pandas. Scilab appartenait aux anciens programmes ECE et ECS et n’est plus utilisé. Les créneaux dédiés à l’informatique servent aussi à manipuler SQL pour la partie bases de données du troisième semestre.

Le SQL est-il au programme d'ECG 2 ?

Oui. Les bases de données relationnelles font partie de l’enseignement d’informatique du troisième semestre, avec le modèle relationnel, la clé primaire, la clé étrangère et les commandes exigibles SELECT, INSERT INTO, DELETE FROM, UPDATE, CREATE TABLE ainsi que la jointure INNER JOIN. Aucune autre forme de jointure n’est exigible. C’est une spécificité de l’option maths appliquées qui surprend souvent les élèves en début de deuxième année.

Comment travailler le programme de maths d'ECG 2 ?

Les chapitres les plus structurants pour les écrits sont la réduction des matrices, l’intégration généralisée, les variables aléatoires à densité et l’estimation, parce qu’ils servent de support à la plupart des problèmes de concours. Une progression efficace alterne fiches de méthode, exercices d’application directe et annales complètes en conditions réelles, avec une vigilance particulière sur la rédaction des démonstrations. Les vacances de la Toussaint et de février restent les deux moments où l’on peut encore reprendre des bases fragiles de première année sans décrocher du programme de deuxième année.

Programme de maths en ECG 2 : les probabilités

Le programme de maths en ECG 2 se complexifie en probabilité. Les variables aléatoires discrètes, étudiées dans le programme de terminale, sont approfondies avec notamment l’étude des couples de variables aléatoires discrètes et des suites de variables aléatoires discrètes.

Le programme de maths en ECG 2 ème année est construit afin de développer une compréhension plus rigoureuse des estimations et des intervalles de confiance. En prolongement du programme d’ECG 1 sont enseignés l’inégalité de Markov et la convergence en loi.

Le programme de maths en prepa ECG 2 accorde aussi une place aux travaux pratiques. Le but est de développer l’autonomie des élèves sur Python découvert en cours de première année. Plus précisément, ils étudient des problèmes et tentent de les résoudre par eux-mêmes grâce au logiciel.

Pour progresser en maths en prépa ECG les élèves doivent entretenir une véritable rigueur. Étant l’une des matières les plus valorisées au concours, ils doivent s’exercer sans cesse sur des annales de maths de la BCE en ECG.

Enfin il est souvent bénéfique d’avoir recours à un stage en prépa ECG car il débloque ou approfondit les notions abordées au cours de l’année. Il agit comme un déclic pour nombre d’élèves. Certains élèves en difficulté en maths ou souhaitant viser les meilleures écoles prennent des cours particuliers et stages intensifs de prépa ECG afin de progresser au contact d’un professeur expérimenté qui a réussi l’agrégation de maths.

Comment réussir en maths appliquées en ECG 2 ?

La deuxième année laisse peu de marge, les écrits arrivent en avril et les deux semestres se répondent. La méthode compte donc autant que le volume de travail.

Hiérarchiser les chapitres selon leur rendement aux écrits

Tous les chapitres ne se valent pas au concours. La réduction des matrices, l’intégration généralisée, les variables aléatoires à densité et l’estimation reviennent le plus souvent, parce qu’ils servent de support aux problèmes en plusieurs parties que les concepteurs affectionnent. Un sujet démarre volontiers sur une diagonalisation, enchaîne sur une chaîne de Markov puis termine sur un intervalle de confiance.

À l’inverse, les statistiques bivariées et les systèmes différentiels sont plus courts et plus rentables à sécuriser rapidement. Ils reviennent souvent en début de sujet ou en question de cours, et un élève qui les maîtrise gagne des points faciles pendant que d’autres les laissent de côté. Reprendre ces deux chapitres avant les vacances de la Toussaint est un bon investissement.

Connaître les limites du programme pour ne pas travailler dans le vide

Le texte officiel borne explicitement ce qui est exigible, et beaucoup d’élèves perdent du temps sur des notions hors programme trouvées dans des manuels ou des annales anciennes. Les développements limités s’arrêtent à l’ordre 2 et ne portent que sur trois fonctions de référence. L’exponentielle de matrice n’est pas au programme. L’espace vectoriel comme objet abstrait ne l’est pas non plus. La recherche d’éléments propres sur des systèmes à paramètres est même déconseillée par le programme.

Une partie des résultats est admise, notamment tout le chapitre sur les chaînes de Markov et l’ensemble des propriétés des fonctions de deux variables. Cela change la façon de réviser. L’attendu porte sur l’usage du résultat dans un raisonnement propre, pas sur sa démonstration. Autant investir ce temps dans la rédaction, qui reste le premier poste de points perdus aux écrits.

Ne pas négliger l’informatique et le SQL

C’est l’angle mort le plus fréquent en maths appliquées. Les bases de données relationnelles font partie du programme du troisième semestre, avec le modèle relationnel, la clé primaire, la clé étrangère et les commandes exigibles SELECT, INSERT INTO, DELETE FROM, UPDATE, CREATE TABLE et la jointure INNER JOIN. Aucune autre forme de jointure n’est demandée, ce qui rend le chapitre très circonscrit et donc rentable.

Le reste de l’informatique se fait en Python, autour des statistiques bivariées, des systèmes différentiels, des chaînes de Markov et de la comparaison d’estimateurs. Deux heures par mois suffisent à tenir ce bloc à niveau, à condition de ne pas repousser jusqu’au printemps. Les 5 minutes d’interrogation orale hebdomadaire servent justement de garde-fou, autant s’en servir comme rythme de révision.

Installer un rythme d’annales avant janvier

Plusieurs sujets de maths appliquées circulent à la BCE selon les écoles, auxquels s’ajoute l’épreuve Ecricome. Chaque concepteur a son style, sa longueur et sa façon de doser les questions discriminantes. Travailler en annales sert autant à calibrer sa gestion du temps qu’à réviser le cours.

Un point de stratégie mérite d’être vérifié tôt : plusieurs écoles du top rééquilibrent leurs coefficients en faveur de l’HGG ou de l’ESH pour les candidats en maths appliquées. Consulter la grille de coefficients des écoles visées avant de répartir son temps de travail évite de sur-investir les maths au détriment de la matière qui pèse le plus lourd dans son propre projet.

Certains élèves ont besoin d’un appui extérieur pour tenir ce rythme, soit parce que les bases de première année sont fragiles, soit parce qu’ils visent le haut du classement. Travailler avec un professeur particulier de maths en ECG 2 permet de cibler précisément les chapitres qui bloquent, de faire corriger sa rédaction ligne à ligne puis de gagner du temps sur l’organisation du travail. Un stage intensif en prépa ECG 2 pendant les vacances joue un rôle différent et complémentaire, il sert à reprendre un bloc entier au calme, réduction des matrices ou variables à densité par exemple, et à enchaîner les exercices types avec un professeur de CPGE.

STAGE INTENSIF EN ECG 2

Profite de tes vacances pour gagner des points aux concours.

96% de réussite aux concours
74% dans le TOP 5
99% de recommandation à leurs amis