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Cours : Nombres complexes en ECG1

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Résumé de cours et méthodes – sommes trigonométriques, linéarisation

Méthode 1 : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement.

Pour passer de la forme algébrique $a + i b$ (supposé non nul avec $a, b \in \mathbb R$ ) à la forme exponentielle ( $\rho e^{i \theta}$ ), il faut commencer par factoriser par le module du nombre complexe et essayer de reconnaître un argument. On commencera donc par calculer $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$ et on trouvera un réel $\theta$ tel que :

$\cos \left( \theta \right) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \; \text{et} \; \sin \left( \theta \right) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$

Le passage de la forme exponentielle à la forme algébrique est plus simple, il suffit de calculer l’exponentielle.

Exemple : Soit $\theta \in \left] 0 , \pi \right[.$

Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $1 + e^{i \theta}$ .

Réponse :

En factorisant par $e^{i \theta / 2},$ on a

$1 + e^{i \theta} = e^{i \theta / 2} \left(e^{ - i \theta / 2} + e^{i \theta / 2} \right)= 2 \cos \left( \dfrac{\theta}{2} \right) e^{i \theta / 2}.$

Ici, on pourrait penser que l’on a fini, il faut quand même vérifier que

$2 \cos \left( \dfrac{\theta}{2} \right)$ est bien le module de

$1 + e^{i \theta},$ c’est-à-dire il faut vérifier que ce nombre est strictement positif.

Comme $\theta \in \left] 0 , \pi \right[,$ on a bien $\cos \left( \dfrac{\theta}{2} \right) > 0.$

Méthode 2 : Utiliser l’écriture exponentielle d’un nombre complexe.

On utilisera cette méthode pour calculer les puissances d’un nombre complexe.

Exemple : Calculer $\left( 1 + i \right)^{2017}.$

Réponse : On pourrait utiliser la formule du binôme de Newton mais après on serait bloqué…

On écrit $1 + i$ sous forme exponentielle, ainsi $1 + i= \sqrt{2} e^{i \pi / 4},$ puis $\left( 1 + i \right)^{2017}= \sqrt{2}^{2017} e^{ 2017i \pi / 4}$ . Comme $2017 = 4 \times 504 + 1,$ on a

$\left( 1 + i \right)^{2017} = \sqrt{2}^{2017} e^{i \pi / 4}.$

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Méthode 3 : Calculer des sommes trigonométriques.

Si l’on doit calculer des sommes faisant apparaître des $\sin$ et/ou des $\cos,$ il faut penser à utiliser les formules d’Euler :
$\cos \left( x \right) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ et $\sin \left( x \right) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.$
Ou bien de manière équivalente, on a :

$\cos \left( x \right) = \Re \left( e^{ix} \right) \text{et} \sin \left( x \right) = \Im \left( e^{ix} \right).$

Exemple : Soient $x \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ ,

Réponse :

Pour cela, écrivons
$S_n \left( x \right)$

= $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos \left( k x \right)$

= $\displaystyle\sum_{k=0}^n \Re \left( e^{i k x} \right)$

= $\Re \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n e^{ikx} \right).$

Cette dernière somme est la somme des termes d’une suite géométrique de raison $e^{ix} \neq 1$ , ainsi
$S_n \left( x \right)$

= $\Re \left( \dfrac{ 1- e^{i \left( n + 1 \right) x} }{1 - e^{ix} } \right)$

= $\Re \left( e^{i n x / 2} \dfrac{e^{- i \left( n +1 \right) x / 2} - e^{i \left( n + 1 \right) x / 2} }{e^{- i x /2} - e^{i x /2}} \right).$

En appliquant les formules d’Euler, on a finalement :

$S_n \left( x \right)$

= $\dfrac{\sin \left( \dfrac{n + 1}{2} x \right) }{\sin \left( \dfrac{x}{2} \right) } \Re \left( e^{i n x / 2} \right)$

= $\cos \left( \dfrac{n}{2} x \right) \dfrac{\sin \left( \dfrac{n + 1}{2} x \right) }{\sin \left( \dfrac{x}{2} \right) }.$

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Méthode 4 : Linéariser des $\cos$ et $\sin$ .

On utilise les formules d’Euler rappelées ci-dessus pour pouvoir obtenir une expression linéarisée (c’est-à-dire qu’il n’y a plus de puissances mais seulement des termes de la forme $\cos \left( k x \right)$ et/ou $\sin \left( kx \right)$ ) de $\cos^n \left( x \right)$ et/ou $\sin^n \left( x \right)$ .

Il faudra se souvenir de cette méthode, notamment pour le calcul de primitives d’expressions polynomiales en $\sin \left( x \right)$ et/ou $\cos \left( x \right).$

Exemple : Que vaut $\cos^3 \left( x \right)$ après linéarisation ?

Réponse : On utilise la formule d’Euler puis le binôme de Newton et on écrit

$\cos^3 \left( x \right)$

= $\left( \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)^3$
= $\dfrac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix} }{8}$
= $\dfrac14 \cos \left( 3x \right) + \dfrac34 \cos \left( 2 x \right).$

Méthode 5 : Utiliser les racines $n$ -ièmes de l’unité.

Dans $\mathbb{C},$ l’équation $z^n = 1$ admet exactement $n$ solutions : les racines $n$ -ièmes de l’unité

$\left\{ e^{2 i k \pi / n} , k \in [\![ 0 , n- 1 ]\!] \right\} = \left\{ e^{2 i k \pi / n} , k \in [\![ 1 , n ]\!] \right\}.$

Intéressons-nous à la résolution dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^n = a$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ et $a \in \mathbb{C}^*.$
Si l’on écrit $a = r e^{i \theta}$ (forme exponentielle), alors il suffit de trouver une solution particulière de l’équation $z^n = a.$ Par exemple, $z_0 = r^{\frac1n} e^{i \frac{\theta}{n}}$ convient.

Exemple : Quel est l’ensemble des solutions de l’équation :

$z^7 = 1 + i \sqrt{3}.$

Réponse :

$\left\{^{1 / 7} e^{i \dfrac{\pi}{2 21}} \times e^{2i k \pi / 7 }, \, k \in [\![ 0 , 6 ]\!] \right\}$

Méthode 6 : Calculer les racines carrées d’un nombre complexe en l’absence d’une forme exponentielle simple.

Rappelons que la notation $\sqrt{z}$ n’a pas de sens ! D’ailleurs, un nombre complexe non nul admet deux racines carrées (c’est-à-dire qu’il existe deux nombres $z_1 \neq z_2$ tels que $z_1^2 = z_2^2 =z$ ).

On résout l’équation

$\left( a +i b \right)^2 = x + i y$ en égalant les parties réelles et imaginaires et en écrivant l’égalité des modules:

$\left| \left( a + i b \right) \right|^2 = \left| x + i y \right|$ soit

$a^2 + b^2 = \sqrt{x^2 + y^2}.$

Exemple :

Quelles sont les racines carrées de $3 + 2i$ ?

(i) $\{ \sqrt{\frac{3 + \sqrt{13} }{2}} - i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}$ $, - \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}} \}$

(ii) $\{\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}$ $, - \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} - i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}} \}$

(iii) $\{\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}$ $, - \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}} \}$

Réponse :

Soit $z=a + ib$ tel que $z^2$ = $\left( a + ib \right)^2$ = $3 + 2$

Cela nous donne $a^2 - b^2 + 2abi$ = $3 + 2i.$

En calculant le module, on obtient $\left| z \right|^2 = \left| 3 + 2 i \right|$ soit $a^2 + b^2 = \sqrt{13}.$ Nous avons ainsi les relations suivantes :

$\begin{cases} a^2 - b^2 & = 3 \\ a^2 + b^2 & =\sqrt{13} \\ 2ab & = 2 \\ \end{cases}.$

En sommant les deux premières lignes, on a $a^2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}.$

$\bullet$ Si $a= \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}},$ alors la troisième équation donne $b=\sqrt{\dfrac{2}{ 3 + \sqrt{13}}}.$

$\bullet$ Si $a=- \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}},$ alors la troisième équation donne $b=- \sqrt{\dfrac{2}{ 3 + \sqrt{13}}}.$

Les deux racines carrées de $3 + 2i$ sont, après avoir utilisé l’expression conjuguée, $z_1 = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} + i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}$ et $-\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{13} }{2}} - i \sqrt{\dfrac{- 3 + \sqrt{13} }{2}}.$

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