Chapitres Maths en ECG1

Corrigés : Nombres complexes en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Nombres complexes

Exercice 1 :

$\bullet$ Il est facile de voir que $- \dfrac12 + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{2i \pi / 3}.$

$\bullet$ On a $\sqrt{3} + 3 i = 2 \sqrt{3} e^{i \pi / 3}$ et $1 - i =\sqrt{2} e^{- i \pi / 4},$ d’où $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{3}i}{1 - i} = \sqrt{6} e^{7 i \pi / 12}.$

$\bullet$ On a $\sqrt{2} + i \sqrt{2} = 2 e^{i \pi / 4}$ et $\sqrt{3} + 3 i= 2 \sqrt{3} e^{i \pi / 3},$ d’où $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i }{\sqrt{3} + 3 i} = \dfrac{\sqrt{3} }{3} e^{ -i \pi / 12 }.$

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Exercice 2 : Produit scalaire

1) Mettons $4\sqrt{2} \left( 1 - i \right)$ sous forme exponentielle.

On a $4 \sqrt{2} \left( 1 - i \right) = 8 e^{- i \pi / 4}.$ Ainsi, si l’on pose $z=re^{i \theta}$ avec $r> 0$ de sorte que $z^3 = r^3 e^{3 i \theta}.$ On résout

$r^3 e^{3 i \theta} = 8 e^{- i \pi / 4}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} r^3 =8 \\ \exists k \in \Z, \; 3 \theta = - \dfrac{\pi}{4} + 2 k \pi \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} r = 2 \\ \exists k \in \Z, \; \theta = - \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k \pi}{3} \end{cases} .$
On obtient trois valeurs pour $\theta$ dans un intervalle de longueur $2 \pi$ : $- \dfrac{\pi}{12}, - \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2 \pi}{3} = \dfrac{7 \pi}{12}$ et $- \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{4 \pi}{3} = \dfrac{15 \pi}{12}$ et on obtient trois solutions :

$2 e^{-i \dfrac{\pi}{12}}, 2 e^{\dfrac{7 i \pi}{12}} \; \text{et} \; 2 e^{\dfrac{15 i \pi}{12}}.$

2) $4 e^{2 i \dfrac{\pi}{3}} = \left( 2 e^{i \dfrac{\pi}{3}} \right)^2,$ une racine évidente est $2e^{i \dfrac{\pi}{3}},$ donc les deux solutions sont $2 e^{i \dfrac{\pi}{3}}$ et $- 2 e^{i \dfrac{\pi}{3}}.$

3) On pose $Z=z^2.$ On a donc la nouvelle équation : $Z^2 + Z + 1 = 0.$ Cette équation est facile à résoudre et donne deux solutions : $Z_1 = e^{2 i \pi / 3}$ et $Z_2 = e^{4 i \pi / 3}.$

L’équation $z^2 = Z_1 = e^{2 i \pi / 3}$ admet $2$ solutions : $e^{i \pi / 3}$ et $- e^{ i \pi / 3}.$ De la même fa\c{c}on, l’équation $z^2 = Z_2$ donne deux solutions : $e^{2 i \pi / 3}$ et $- e^{2 i \pi / 3}.$

Finalement, l’équation admet $4$ solutions : $e^{i \pi / 3}, - e^{ i \pi / 3}, e^{4 i \pi / 3}$ et $- e^{ i \pi / 3}.$

4) On calcule

$\Delta = \left( 4 + 2i \right)^2 - 4 \times 1 \times \left( 2 + 4 i \right)$ $= \left( 16 + 16 i - 4 \right) - \left( 8 + 16 i \right) = 4.$ Ainsi, il y a deux racines $z_1 = \dfrac{\left( 4 + 2i \right) + 2}{2} = 3 + i$ et $z_2 = \dfrac{\left( 4 + 2i \right) - 2}{2} = 1 + i.$

5) On a $\Delta = ( 2 i )^2 - 8 + 16 i = - 12 + 16 i$ $= 4 ( - 3 + 4 i )$ .

Calculons maintenant les racines carrées de $\Delta$ méthode 6. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $\left( a + ib \right)^2 = \Delta = - 12 + 16 i.$

En développant, on a $\left( a + i b \right)^2 = a^2 - b^2 + 2 ab i,$ soit en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires :

$\begin{cases} a^2 - b^2 & = - 12 \\ ab & = 8 \end{cases}.$

En utilisant le module dans l’égalité $\left( a + ib \right)^2 = \Delta = - 12 + 16 i,$ on récupère $a^2 + b^2 = \sqrt{\left( - 12 \right)^2 + 16^2} = 20.$ On a finalement les relations suivantes :

$\begin{cases} a^2 - b^2 & = - 12 \\ ab & = 8 \\ a^2 + b^2 & = 20 \end{cases}.$

En sommant la première et la troisième ligne, on a $2a^2 = 8$ soit $a = 2$ ou $a= - 2.$ En utilisant la relation $ab = 8,$ on a $b = 4$ (si $a=2$ ) ou $b= - 4$ (si $a = -2$ ).

Finalement les deux racines carrées de $\Delta$ sont $2 + 4i= 2 \left( 1 + 2 i \right)$ et $- 2 - 4 i = 2 \left( - 1 - 2 i \right).$

Les racines de l’équation sont donc :

$z_1 = \dfrac{2i - 2 \left( 1 + 2i \right)}{2} = - 1 -i$ et $z_2 = \dfrac{2i - 2 \left( - 1 - 2i \right)}{2} = 1 + 3i.$

Exercice 3 :

On rappelle que les racines $n$ -ièmes de l’unité sont de la forme : $e^{2 i k \pi / n}$ avec $k \in [\![ 0 , n - 1 ]\!].$

Somme :

On calcule $\displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} e^{2i k \pi / n}:$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} e^{2i k \pi / n}$ $= \displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} \left( e^{2 i \pi / n} \right)^k$

$= \dfrac{1 - \left( e^{2 i \pi / n} \right)^n}{1 - e^{2 i \pi / n}}$

$= \dfrac{1 - 1}{1 - e^{2i \pi / n}}$

$= 0$ .Produit :

On calcule $\displaystyle\prod_{k= 0}^{n - 1} e^{2 i k \pi / n}.$

$\displaystyle\prod_{k= 0}^{n - 1} e^{2 i k \pi / n}$

$=\displaystyle e^{\sum_{k=0}^{n - 1} \left( 2 i k \pi / n \right)}$

$= \displaystyle e^{\dfrac{2i \pi }{n} \sum_{k=0}^{n - 1} k }$

$= e^{\dfrac{2 i \pi}{n} \dfrac{n \left( n - 1 \right)}{2} }$

$= e^{i \pi \left( n - 1 \right)}$

$= \left( e^{i \pi} \right)^{n - 1}$

$= \left( - 1 \right)^{n - 1}$ .

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Exercice 4 :

L’inégalité à prouver est équivalente à :

Pour s’en convaincre, il suffit de remplacer $z_2$ par $- z_2.$ Pour prouver cette dernière inégalité, on introduit $M_1$ le point d’affixe $z_1$ , $M_2$ le point d’affixe $z_2$ et $O$ le point d’affixe $0.$

$\bullet$ Si $z_1 = 0$ ou $z_2 = 0,$ l’inégalité est claire (il y a même égalité).

$\bullet$ On suppose donc $z_1 \neq 0$ et $z_2 \neq 0.$ Ainsi, l’inégalité à prouver est :

$M_1 M_2 \le O M_1 + O M_2.$

Or dans un triangle, la longueur d’un des côtés est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, cela prouve l’inégalité précédente et termine l’exercice.

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