Chapitres Maths en ECG1

Exercices : Fonctions réelles à variables réelles en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Exercices – Fonctions réelles à variables réelles

Exercice 1 :

Calculer les limites suivantes des fonctions suivantes, si elles existent, en les points indiqués :

1) $\dfrac{x + \dfrac{1}{x^2} - 2}{x - 1}$ en $1,$

2) $\dfrac{\sin \left( x \right)}{\sin \left( 3 x \right)}$ en $0,$

3) $\dfrac{x^2 + e^x}{x^2 + 1}$ en $-\infty,$

4) $\dfrac{e^x}{\sqrt{x}}$ en $+\infty,$

5) $e^{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} }$ en $+\infty,$

6) $\left( 1 + \sin \left( x \right) \right)^{1 / x}$ en $0,$

7) $\left( e^x - 1 \right) \ln \left( x \right)$ en $0.$

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Exercice 2 :

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f \left( x \right) = \begin{cases} x^2 \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) & \text{si} \; x \neq 0, \\ 0 & \text{si} \; x=0 \end{cases}.$

1) Montrer que $f$ est continue en $0.$

2) Montrer que $f$ est dérivable en $0.$

3) $f'$ est-elle continue en $0$ ?

Exercice 3 :

Soit $g : \left[ 0 , +\infty \right[ \to \left[ 0 , +\infty \right[$ continue telle que $\lim_{x \to + \infty} g \left( x \right) = 0.$ Montrer qu’il existe $x_0 \in \left[ 0 , +\infty \right[$ tel que $g \left( x_0 \right) = x_0.$

Exercice 4 :

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On dit que $f$ vérifie l’équation de Cauchy si pour tous réels $x,y,$ on a :

$f \left( x + y \right) = f \left( x \right) + f \left( y \right).$ $(1)$

1) Montrer que les fonctions de la forme $x \mapsto a x$ avec $a \in \mathbb{R}$ vérifient $(1)$ .

Dans toute la suite du problème, on suppose que $f$ vérifie $(1)$ .

On pose $a = f \left( 1 \right).$

2) Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \mathbb{N},$ on a $f \left( n \right) = an.$

3) En remarquant que $f$ est impaire, montrer que pour tout $n \in \mathbb{Z},$ on a $f \left( n \right) = an.$

4) Soit $r \in \mathbb{Q}.$ En écrivant $r = \dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ et en utilisant la question précédente, montrer que $f \left( r \right) = ar.$

5) a) Soit $x \in \mathbb{R}$ et soit la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \dfrac{ \lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}.$ Montrer que $u_n \in \mathbb{Q}$ et que $\lim_{n \to +\infty} u_n = x$ (on rappelle que $\lfloor x \rfloor$ est la partie entière de $x$ ).

5) b) En utilisant la question précédente et la continuité de $f,$ montrer que pour tout $x \in \mathbb{R},$ on a $f \left( x \right) =ax.$

6) Conclure.

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