Chapitres Maths en ECG1

Corrigés : Fonctions réelles à variables réelles en ECG1

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en ECG1

Corrigés – Fonctions réelles à variables réelles

Exercice 1 :

1) On a une forme indéterminée de la forme $"\dfrac{0}{0}"$ . La présence de $x - 1$ au dénominateur nous fait penser à un taux d’accroissement. Posons $f \left( x \right) = x + \dfrac1x,$ ainsi :

$\dfrac{x + \dfrac1x - 2}{x - 1} = \dfrac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}.$

Comme

$f$ est dérivable en

$1,$ on a

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x + \dfrac1x - 2}{x - 1} = f ' \left( 1 \right) = 0.$

2) Il est classique que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} = 1.$ De m\^eme $\lim_{x \to 0 } \dfrac{\sin \left( 3 x \right)}{3x} =1 .$ Comme

$\dfrac{\sin \left( x \right)}{\sin \left( 3 x \right)} = \dfrac13 \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} \times \dfrac{3x}{ \sin \left( 3 x \right)},$

on a

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{\sin \left( 3 x \right)} = \dfrac13.$

3) On a une forme indéterminée de la forme «

$\dfrac{\infty}{\infty}$ « . On factorise au numérateur par le terme le plus « grand », i.e.

$x^2.$ On fait de même au dénominateur, cela donne :

$\dfrac{x^2 + e^x}{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 \left( 1 + \dfrac{e^x}{x^2} \right)}{x^2 \left( 1 + \dfrac{1}{x^2} \right)} = \dfrac{ 1 + \dfrac{e^x}{x^2} }{1 + \dfrac{1}{x^2} }.$

$\lim_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to - \infty} 1 + \dfrac{1}{x^2} =1,$ d’où

$\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^2 + e^x}{x^2 + 1} = 1.$

4) C’est une forme indéterminée de la forme «

$\dfrac{\infty}{\infty}$ « . On reconnaît une croissance comparée de sorte que

$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{e^x}{\sqrt{x}} = + \infty.$

5) On s’intéresse d’abord à $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}.$ En utilisant l’expression conjuguée de $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$ qui est $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x},$ on a :

$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$

$= \dfrac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \right) \left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x} \right) }{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}.$
Comme

$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = 0,$ par continuité de la fonction

$\exp$ en

$0,$ on a

$\lim_{x \to + \infty} e^{ \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} } = 1,$

$\lim_{x \to + \infty} e^{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} = 1.$

6) Il y a une puissance, on commence par mettre l’expression sous forme exponentielle, pour $x \neq 0,$ on a :

$\left( 1 + \sin \left( x \right) \right)^{\dfrac1x} = e^{\dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{x}}$

$= e^{ \dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)} \times \dfrac{\sin \left( x \right)}{x} }.$

Remarquons que le logarithme est bien défini si

$x$ est « proche » de

$0.$

Nous avons déjà vu que

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \left( x \right)}{x } = 1$ (voir méthode 2 sur les limites).

Pour traiter

$\dfrac{ \ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)},$ on pose

$u = \sin \left( x \right).$ Remarquons que

$u \to 0$ lorsque

$x \to 0.$ Comme

$\lim_{u \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + u \right)}{u} = 1,$ c’est le taux d’accroissement de

$u \mapsto \ln \left( 1 + u \right)$ en

$0,$
ainsi

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)} = 1.$

Alors, par produit, $\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{\sin \left( x \right)} \times \dfrac{\sin \left( x \right)}{x } = 1.$

En utilisant la continuité de la fonction

$\exp$ en

$1,$ il vient que :

$\lim_{x \to 0} e^{\dfrac{\ln \left( 1 + \sin \left( x \right) \right)}{x}} = e.$

7) Pour $x > 0,$ on a

$\left( e^x - 1 \right) \ln \left( x \right) = \dfrac{e^x - 1}{x} x \ln \left( x \right).$

Or $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x } = 1,$ c’est le taux d’accroissement de la fonction $\exp$ en $0$ et $\lim_{x \to 0} x \ln \left( x \right) = 0$ grâce à une croissance comparée. D’où

$\lim_{x \to 0} \left( e^x - 1 \right) \ln \left( x \right) =0.$

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Exercice 2 :

1) Montrons que $\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = f \left( 0 \right) = 0.$

Pour voir cela, écrivons :

$\left | x^2 \sin \left( \dfrac1x \right) \right | \le x^2.$

Comme

$\lim_{x \to 0} x^2 = 0,$ on a bien

$\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = 0$ .

Ainsi

$f$ est continue en

$0$ .

2) On forme le taux d’accroissement $\dfrac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right) }{x - 0} = x \sin \left( \dfrac1x \right).$ En procédant de la même façon que ci-dessus, on montre $\lim_{x \to 0} x \sin \left( \dfrac1x \right) = 0.$

Ainsi,

$f$ est dérivable en

$0$ et

$f ' \left( 0 \right) = 0.$

3) Un simple calcul donne, pour $x \neq 0,$ $f ' \left( x \right) = 2x \sin \left( \dfrac1x \right) - \cos \left( \dfrac1x \right).$ On a, comme avant, $\lim_{x \to 0} 2x \sin \left( \dfrac1x \right) = 0,$ il suffit donc montrer que $\cos \left( \dfrac1x \right)$ n’admet pas de limite en $0.$

Pour le justifier, trouvons deux suites

$\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ et

$\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ qui convergent vers

$0$ telles que

$\lim_{n \to +\infty} \cos \left( \dfrac{1}{u_n} \right) \neq \lim_{n \to +\infty} \cos \left( \dfrac{1}{v_n } \right).$

On prend

$u_n = \dfrac{1}{2n \pi}$ et

$v_n = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2} + 2n \pi}$ de sorte que

$\cos \left( \dfrac{1}{u_n} \right) = 1$ et

$\cos \left( \dfrac{1}{v_n} \right) = 0.$

$f'$ n’est pas continue en

$0.$

Exercice 3 :

Posons $f \left( x \right) = g \left( x \right) - x.$ On a $f \left( 0 \right) \ge 0$ et $\lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = - \infty.$ Comme $f$ est continue sur $\left[ 0 , + \infty \right[$ comme différence de deux fonctions continues sur $\left[ 0 , + \infty \right[$ , le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’il existe $x_0 \ge 0$ tel que $f \left( x_0 \right) = 0$ soit $g \left( x_0 \right) = x_0.$

Exercice 4 :

1) Il est clair que $x \mapsto a x$ est continue sur $\mathbb{R}$ et

$\text{pour tout} \; \in \mathbb{R}, f \left( x + y \right)$

$= a \left( x + y \right)$

$= a x + a y = f \left( x \right) + f \left( y \right).$

2) Pour $n \in \mathbb{N},$ on pose $\mathcal P_n$ : « $f \left( n \right) = a n$ « . $\bullet$ Si l’on prend $x = y = 0,$ on a $f \left( 0 \right) = f \left( 0 \right) + f \left( 0 \right)$ soit $f \left( 0 \right) = 0 = 0 \times a.$ Ainsi $\mathcal P_0$ est vraie.

$\bullet$ Supposons $\mathcal P_n$ vraie, montrons que $\mathcal P_{n + 1}$ vraie. Pour cela, écrivons

$f \left( n + 1 \right)$ $= f \left( n \right) + f \left( 1 \right)$

$\underset{\text{HR}}{=}$ $an + a$

$= a \left( n + 1 \right)$ .

Ainsi $\mathcal P_n$ est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}.$

3) Pour $x \in \mathbb{R},$ $f \left( x + \left( - x \right) \right) = f \left( 0 \right) = 0$ soit $f \left( x \right) + f \left( - x \right) = 0$ et $f \left( - x \right) = - f \left( x \right).$

On a prouvé que

$f$ est impaire.

Soit

$n \in \mathbb{Z}.$ Si

$n \ge 0,$ d’après la question précédente, on a

$f \left( n \right) = an .$

On suppose

$n \le 0$ de sorte que

$- n \ge 0.$ Ainsi, par la question précédente,

$f \left( - n \right) = a \left( - n \right).$

Grâce à l’imparité de

$f$ , on a

$f \left( - n \right) = - f \left( n \right)$ soit

$- f \left( n \right) = - a n$ et

$f \left( n \right) = an.$

4) Il est facile de montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $x_1 , \cdots , x_n,$ on a $f \left( x_1 + \cdots + x_n \right) = f \left( x_1 \right) + \cdots + f \left( x_n \right).$ Ainsi, si $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*,$ on a

$f \left( p \right) = f \left( q \times \dfrac{p}{q} \right)$

$= \underbrace{f \left( \dfrac{p}{q} \right) + \cdots + f \left( \dfrac{p}{q} \right)}_{q \; \text{fois}} = q f \left( \dfrac{p}{q} \right).$
Or,

$f \left( p \right) = a p,$ d’où

$f \left( \dfrac{p}{q} \right) = a \dfrac{p}{q}.$

5) a) Par définition de la partie entière, on a :

$10^n x - 1 \le \lfloor 10^n x \rfloor \le 10^n x.$ Puis

$x - \dfrac{1}{10^n} \le u_n \le x.$ Par le théorème d’encadrement, on a

$\lim_{n \to +\infty} u_n =x.$

5) b) Soit

$x \in \mathbb{R}.$ Par la question préceédente, il existe une suite de rationnels

$\left( r_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que

$\lim_{n \to +\infty} r_n = x.$

Par la question 4, on a $f \left( r_n \right) = a r_n.$ Or $\lim_{n \to +\infty} a r_n = ax.$ De plus, $\lim_{n \to +\infty} f \left( r_n \right) = f \left( x \right)$ car la fonction $f$ est continue en $x.$

Il s’ensuit que

$f \left( x \right) = a x .$

6) On vient de montrer que pour tout $x \in \mathbb{R},$ on a $f \left( x \right) = ax.$ Ainsi, les seules fonctions solutions sont les fonctions linéaires.

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