Cours en ligne Physique en Maths Sup

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Cours de Physique Maths Sup : La mécanique du point

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique Maths Sup

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A. Cinématique du point en maths sup

1. Cinématique dans un repère cartésien

$(O,\vec{u}_x,\vec{u}_y,\vec{u}_z)$ forme un repère cartésien si $O$ et les trois vecteurs normaux et orthogonaux deux-à-deux sont fixes dans le référentiel d’étude.

SI on repère un point matériel $M$ par ses coordonnées

$\displaystyle{\vec{OM}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)}$

alors les vecteurs vitesse et accélération s’écrivent

$\displaystyle{\vec{v}=\frac{d\vec{OM}}{dt}=\left(\begin{array}{l} \stackrel{\cdot}{x} \\ \stackrel{\cdot}{y} \\ \stackrel{\cdot}{z} \end{array}\right)}$

$\displaystyle{\vec{a}=\frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\left(\begin{array}{l} \stackrel{\cdot\cdot}{x} \\ \stackrel{\cdot\cdot}{y} \\ \stackrel{\cdot\cdot}{z} \end{array}\right)}$

2. Cinématique en repère cylindrique

$\displaystyle{(O,\vec{u}_r,\vec{u}_{\theta},\vec{u}_z)}$

est un repère cylindrique suiveur, il évolue pour suivre le point M défini par

$\displaystyle{\vec{OM}=r\vec{u}_r+z\vec{u}_z}$

Il n’est pas nécessaire d’apprendre par coeur les composantes du vecteur vitesse et du vecteur accélération, il vaut mieux les réétablir à chaque fois.

Pour ceci, il suffit de savoir que

$\displaystyle{\frac{d\vec{u}_r}{dt}=\stackrel{\cdot}{\theta}\vec{u}_{\theta}}$

et $\displaystyle{\frac{d\vec{u}_{\theta}}{dt}=-\stackrel{\cdot}{\theta}\vec{u}_r}$

et $\vec{u}_z$ étant constant, sa dérivée est égale au vecteur nul.

B. Loi de la quantité de mouvement en maths sup

1. Loi de la quantité de mouvement sur la mécanique du point en Maths Sup

Egalement appelée Deuxième loi de Newton, ou Principe fondamental de la dynamique.

Dans un référentiel galiléen, un point matériel M de masse $m$ soumis à un ensemble de forces vérifie la loi

$\displaystyle{\Sigma\vec{f}=m\vec{a}}$

On appelle indifféremment cette loi par l’une des trois expressions. Nous dirons PFD dans la suite.

2. Loi de la quantité de mouvement pour un système

Quand un système est formé de plusieurs points matériels (c’est typiquement le cas pour un système en deux morceaux), alors la quantité de mouvement est la somme de celles de chaque point et on écrit la loi de la quantité de mouvement sous la forme

$\displaystyle{\Sigma\vec{f}_{\mathrm{ext}}=\frac{d\vec{p}}{dt}}$

où $\vec{f}_{\mathrm{ext}}$ désignent les forces extérieures, les forces intérieures au système s’éliminant deux à deux par principe d’action-réaction (troisième loi de Newton).

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C. Résolution, portrait de phase en maths sup

1. Résolution d’un problème de mécanique du point matériel.

C’est une affaire de mathématiques. Il faut évidemment bien maîtriser le cours sur les équations différentielles.

* Après écriture du PFD, on obtient u système d’équations différentielles en $x$ , $y$ , $z$ (cartésien) ou $r$ , $\theta$ , $z$ (cylindrique).

* On résout les équations différentielles, parfois en utilisant des inconnues auxiliaires, ou l’aide de l’énoncé. On doit avoir deux constantes d’intégration par inconnue.

* On détermine les constantes d’intégration en utilisant les conditions initiales.

2. Portrait de phase en Mats Sup

Soit un problème à 1 degré de liberté, c’est-à-dire que le mouvement est parfaitement déterminé par une grandeur unique $X$ pouvant s’identifier à $x$ , $y$ , $z$ , $r$ , $\theta$ .

Le portrait de phase est une construction graphique complémentaire des graphes donnant $X$ en fonction de $t$ .

On trace l’ensemble des points qui décrivent le mouvement dans le système d’axes $(X,\stackrel{\cdot}{X})$

* Le point de départ s’identifie aux conditions initiales $(X(0)=X_0, \stackrel{\cdot}{X}=V_0)$

* Si le portrait de phase est fermé sur lui-même, le mouvement est périodique.

* Dans la partie supérieure, $\stackrel{\cdot}{X}>0$ donc on ne peut se déplacer que vers la droite (dans le sens des $X$ croissants)

* Dans la partie inférieure, $\stackrel{\cdot}{X}<0$ donc on ne peut se déplacer que vers la gauche (dans le sens des $X$ décroissants).

En cas de lacunes persistantes, vous avez toujours la possibilité de recourir à des cours particuliers de Physique, qui vous feront rapidement progresser. Vous pouvez également compléter cet accompagnement personnel avec des révisions sur les cours en ligne de physique en Maths Sup, par exemple avec les chapitres :