Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Particules Chargées : cours de physique en maths sup

Réussir ses concours après une prépa maths sup nécessite un travail régulier et assidu tout au long de l’année. Et c’est particulièrement vrai pour la Physique, qu’il faut absolument réussir tant son coefficient pour les prépas Scientifiques est élevé. Cela nécessite donc un travail conséquent sur l’intégralité du programme de maths sup, dont les particules chargées. Vous pouvez réviser et progresser en physique chimie à l’aide de cours de physique chimie.

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C’est comprendre et réussir

A. Force de Coulomb en maths sup

1. Force de Coulomb en Maths Sup

Deux particules ponctuelles A ( $q_A$ ) et B ( $q_B$ ) chargées sont en interaction électrostatique.

La force de Coulomb s’écrit, en notant

$\vec{AB}=r\vec{u}_r$

$\displaystyle{\vec{f}_{A\rightarrow B}=\frac{q_Aq_B}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r}$

$\varepsilon_0=8,854\cdot 10^{-12}~\mathrm{F\cdot m^{-1}}$ est la permittivité électrique du vide.

2. Champ électrique créé par une charge ponctuelle en Maths Sup

La force subie par une particule d’épreuve de charge $q$ située en $M$ à la distance $r$ d’une charge ponctuelle $Q$ située en $O$ s’écrit

$\vec{f}=q\vec{E}(M)$

avec $\displaystyle{\vec{E}(M)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{u}_r}$

$\vec{E}(M)$ est le champ électrique en $M$ créé par $Q$ en $O$ .

Il est indépendant de la particule $q$ placée en $M$

Il est exprimé en $\mathrm{N\cdot C^{-1}}$ ou plus couramment en $\mathrm{V\cdot m^{-1}}$

3. Energie potentielle associée en Maths Sup

La force de Coulomb subie par une particule d’épreuve de la part d’une charge $Q$ fixe en $O$ est conservative. Elle dérive de l’énergie potentielle

$\displaystyle{Ep=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r}}$

On peut écrire

$Ep=qV(M)$

avec $\displaystyle{V(M)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}}$

$V(M)$ est le potentiel électrique créé par $Q$ au point $M$

Il est exprimé en volts.

4. Superposition en Maths Sup

Le champ électrique et le potentiel créés par un ensemble de charges ponctuelles immobiles est la somme des champs électriques et potentiels créés par chacune des charges.

B. Force de Lorentz en maths sup

1. Charge, courant, champ électrique, champ magnétique

Une distribution de charges et de courants, supposés permanents (indépendants du temps) crée en tout point $M$ un champ électromagnétique, superposition

$\bullet$ d’un champ électrique $\vec{E}(M)$ dont la norme est exprimée en $\mathrm{V\cdot m^{-1}}$

$\bullet$ et d’un champ magnétique $\vec{B}(M)$ dont la norme est exprimée en teslas (T).

2. La force de Lorentz en prépa Maths Sup

Une particule de charge $q$ et de vitesse $\vec{v}$ placée dans un champ électromagnétique permanent subit une force de Lorentz

$\vec{f}=q\vec{E}+q\vec{v}\wedge\vec{B}$

On remarque que la composante magnétique de cette force a une puissance nulle car elle est orthogonale au vecteur vitesse.

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C. Particule dans Champ E et/ou B en maths sup

1. Particule dans $\vec{E}$ uniforme

Soit une particule de masse $m$ et de charge $q$ injectée avec une vitesse initiale $v_0\vec{u}_x+v_1\vec{u}_y$ dans un champ électrique uniforme $\vec{E}=E\vec{u}_y$

En supposant les autres forces négligeables, c’est un mouvement à force constante, la trajectoire est donc une branche de parabole.

Le PFD donne

$\stackrel{\cdot\cdot}{x}=0$

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{y}=\frac{qE}{m}}$

qui s’intègre deux fois sans difficulté.

2. Particule dans $\vec{B}$ uniforme en maths sup

a. Cas d’une vitesse d’injection orthogonale à $\vec{B}$

Soit une particule de masse $m$ et de charge $q$ injectée avec une vitesse initiale $v_0\vec{u}_x$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}=B\vec{u}_z$

On suppose les autres forces que celle de Lorentz magnétique négligeables.

Conformément au programme, on admet que c’est un mouvement circulaire de centre $O$ et de rayon $R$

$\bullet$ Il est uniforme car la puissance de la force est nulle, donc $Ec$ est constante et la norme de la vitesse est donc constante, égale à sa valeur initiale $v=v_0$

$\bullet$ Dans la base cylindrique, le PFD donne

$\displaystyle{m\frac{v_0^2}{R}=qv_0B}$

donc $\displaystyle{R=\frac{mv_0}{|q|B}}$

b. Cas d’une vitesse d’injection non orthogonale à $\vec{B}$

La vitesse initiale vaut $\vec{v}=v_0\vec{u}_x+v_1\vec{u}_z$

Le mouvement est la superposition d’un mouvement circulaire uniforme dans un plan $(x,y)$ et d’un mouvement rectiligne uniforme selon $z$ à la vitesse $v_1$

Le mouvement est donc hélicoïdal.

Pour travailler au mieux les Particules Chargées en Maths Sup, ainsi que l’ensemble des autres chapitres de Physique, il est nécessaire de se tester également sur des exercices afin d’identifier rapidement ses difficultés comme ses points forts. Voici des propositions de cours en ligne à consulter :