Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours de Physique : Méthodes Energétiques en Maths Sup

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en Maths Sup

Les cours en ligne peuvent fortement aider à réussir en prépa. Voici donc un cours complet de maths sup sur les méthodes énergétiques. N’hésitez pas à vous aider de nos autres cours et nos profs particuliers de physique chimie mis à disposition afin d’être parfaitement au point sur le programme de physique en PCSI.

A. Théorème de l’énergie cinétique

1. Travail d’une force sur un déplacement en Maths Sup

Le travail élémentaire d’une force $\vec{f}$ sur un déplacement élémentaire $d\vec{OM}$ est

$\delta W=\vec{f}\cdot d\vec{OM}$

Sur un déplacement de A à B selon le trajet (rectiligne ou curviligne) $\stackrel{\frown}{AB}$ le travail vaut

$W=\int_{\stackrel{\frown}{AB}}\vec{f}\cdot d\vec{OM}$

Il est exprimé en joules.

2. Travail du poids en Maths Sup

On note $h$ la différence d’altitude entre A et B

* Si A est plus haut que B, le travail du poids est moteur et

$W_{AB}(\vec{P})=mgh$

* Si A est plus bas que B, le travail du poids est résistant et

$W_{AB}(\vec{P})=-mgh$

3. Puissance d’une force en Maths Sup

La puissance de la force $\vec{f}$ appliquée à un point matériel M vaut

$\mathcal{P}(\vec{f})=\vec{f}\cdot\vec{v}$

Elle est exprimée en watts.

On établit que $\displaystyle{\mathcal{P}(\vec{f})=\frac{\delta W}{dt}}$

4. Théorème de la puissance cinétique (TPC) en Maths Sup

Soit M un point matériel soumis à un ensemble de forces $\vec{f}_i$

Son énergie cinétique vaut $\frac12mv^2$

$\displaystyle{\frac{dEc}{dt}=\sum_i\mathcal{P}(\vec{f}_i)}$

Ce théorème, d’utilisation plus facile que celui qui suit (celui de l’énergie cinétique), donne efficacement une équation différentielle du mouvement dans le cas de mouvements rectilignes.

5. Théorème de l’énergie cinétique (TEC) en Maths Sup

Soit M un point matériel soumis à un ensemble de forces $\vec{f}_i$ , se déplaçant de A à B.

$\displaystyle{Ec_B-Ec_A=\sum_i W_{AB}(\vec{f})}$

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B. Forces conservatives en maths sup

1. Force conservative : définition

Une force est conservative si son travail entre deux points quelconques ne dépend pas du chemin suivi.

2. Energie potentielle en Maths Sup

Si une force $\vec{f}$ est conservative, pour un déplacement élémentaire $d\vec{OM}$ , on peut écrire :

$\delta W=-dEp$ où $Ep$ est une fonction scalaire qui ne dépend que de la position de M, exprimée en joules.

Il est possible d’établir l’expression de l’énergie potentielle d’une force conservative, mais c’est assez délicat au niveau de la première année. La définition plus opérationnelle de l’énergie potentielle est en fait donnée en deuxième année : $\vec{f}=-\vec{\mathrm{grad}}Ep$ où $\vec{\mathrm{grad}}$ est l’opérateur gradient.

C’est pourquoi on préconise d’apprendre par cœur les expressions des principales énergies potentielles. Toutes les expressions suivantes sont définies à une constante près, Ep étant nulle en un point de référence.

* pesanteur :

$Ep_p=+mgz$ si $z$ vertical vers le haut

$Ep_p=-mgz$ si $z$ vertical vers le bas

* élastique :

$Ep_{\ell}=\frac12k(\ell-\ell_0)^2$

* gravitationnelle d’un système de deux astres sphériques

$\displaystyle{Ep_g=-\frac{\mathcal{G}m_1m_2}{r}}$

* électrostatique de Coulomb entre deux charges ponctuelles

$\displaystyle{Ep_{el}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}}$

3. Problèmes conservatifs à un degré de liberté

Le problème est à un degré de liberté si la position de M est représentée par une unique variable $X$ .

On suppose que M est soumis à un ensemble de forces conservatives dont la somme des énergies potentielles est notée $Ep(X)$

* $X_0$ est une position d’équilibre de M si $\displaystyle{\frac{dEp}{dX}(X_0)=0}$

* Cette position est stable si $\displaystyle{\frac{d^2Ep}{dX^2}(X_0)>0}$

On interprète graphiquement ces propriétés en traçant le profil de $Ep(X)$

Les positions d’équilibre stables sont les cuvettes de potentiel, les positions instables sont les sommets, ce qui est assez intuitif.

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C. Théorème de l’énergie mécanique en maths sup

1. Énergie mécanique en Maths Sup

Soit M un point matériel soumis à un ensemble de forces conservatives $\vec{f}_i$ et éventuellement à d’autres forces non conservatives $\vec{f}_{nc,j}$

L’énergie mécanique est $Em=Ec+Ep$ où $Ep$ est la somme des énergies potentielles des forces conservatives.

2. Théorème de l’énergie mécanique (TEM), forme instantanée

$\displaystyle{\frac{dEm}{dt}=\sum_j\mathcal{P}(\vec{f}_{nc,j})}$

Dans le cas des problèmes à un degré de liberté, on obtient ainsi une équation différentielle.

3. Théorème de l’énergie mécanique (TEM), forme intégrale

Lorsque M va de A à B

$Em_B-Em_A=\sum_j W_{AB}(\vec{f}_{nc,j}$

En l’absence de forces non conservatives, l’énergie mécanique est constante. C’est une loi bien adaptée aux bilans, en particulier lorsque la question posée ne fait pas référence au temps.

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