Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours de maths sup : Premier principe de la thermodynamique

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Résumé de Cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Physique en Maths Sup

Vous pouvez le constater en consultant notre simulateur d’admissibilité pour les prépas scientifiques : le coefficient de la Physique est énorme. Impossible de tenir en Maths Sup sans un bon niveau dans cette matière. Le programme de Physique de PCSI étant très chargé, il faudra bien maîtriser vos cours pour réussir aux concours, dont ce cours sur le premier principe de la thermodynamique. Vous pouvez vous aider avec nos cours particuliers de physique chimie pour exceller sur ce chapitre.

A. Transferts énergétiques en Maths Sup

1. Transferts en Maths Sup

Un système thermodynamique est susceptible d’échanger de l’énergie sous deux formes :

$\bullet$ par déplacement macroscopique : le travail

$\bullet$ par interactions microscopiques : l’énergie (ou transfert) thermique (ou chaleur).

La particularité des transferts énergétiques est qu’ils ne peuvent être stockés tels quels :

$\bullet$ le travail est directement échangé entre deux systèmes, la force exercée par 1 sur 2 est opposée à celle par 2 sur 1 d’après la troisième loi de Newton et lorsque l’éventuelle paroi (on dit piston) séparant 1 et 2 se déplace, $W_{12}=-W_{21}$

$\bullet$ l’énergie thermique est directement cédée à travers la paroi symbolique qui sépare 1 et 2 et $Q_{12}=-Q_{21}$

Selon la convention du banquier, pour un système donné, $Q$ ou $W$ est positif lorsque le système reçoit de l’énergie thermique ou du travail, négatif s’il en cède.

2. Déplacement d’un piston coulissant dans un cylindre

En notant $P_{\mathrm{ext}}$ la pression s’exerçant de l’autre côté du piston qui bouge, et $V$ le volume du système enfermé dans le cylindre, le travail élémentaire reçu par le système lorsque son volume varie de $dV$ vaut

$\delta W=-P_{\mathrm{ext}}dV$

Attention ! Le piston n’étant pas nécessairement à l’équilibre lors du déplacement, on n’a pas nécessairement $P_{\mathrm{ext}}=P$ , pression au sein du système.

3. Énergie thermique en Maths Sup

L’évaluation de l’énergie thermique reçue par un système thermodynamique fait l’objet d’un chapitre au programme de Maths Spé, la thermique.

Au programme de Maths Sup, on rencontre principalement

$\bullet$ des transformations adiabatiques pour lesquelles

$Q=0$

$\bullet$ des transformations avec apport thermique par une résistance chauffante :
si on note $R$ la résistance et $i$ l’intensité qui la traverse, pendant la durée infinitésimale $dt$ , le système reçoit l’énergie thermique élémentaire dissipée par effet Joule

$\delta Q=Ri^2dt$

$\bullet$ des transformations avec réaction chimique exothermique :

si on note

$PC$ le pouvoir calorifique du combustible, exprimé en $\mathrm{J\cdot K^{-1}}$ , l’énergie thermique élémentaire produite par combustion d’une masse infinitésimale $dm$ de combustible vaut

$\delta Q=dm\cdot PC$ .

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C’est comprendre et réussir

B. Premier principe de la thermodynamique

1. $U$ est une fonction d’état

Ceci signifie que la variation de $U$ ne dépend pas du chemin suivi entre un état initial et un état final.

Cette propriété est très importante dans les exercices : de façon schématique, il y a les exercices de base de thermodynamique, où un système bien identifié, dans un état d’équilibre initial, évolue vers un nouvel état d’équilibre final, en subissant une transformation simple elle-aussi bien identifiée (échauffement, refroidissement, compression, détente, etc. / isochore, isobare, isotherme, adiabatique, etc.).

C’est la base de toute la thermodynamique.

Lorsque dans un exercice difficile, on rencontre une transformation complexe, on peut la \textbf{décomposer} en transformations simples.

2. $U$ est extensive

Ceci signifie que si on peut décomposer un système thermodynamique en deux sous-systèmes 1 et 2,

$\Delta U=\Delta U_1+\Delta U_2$

Comme au paragraphe 1, cette propriété est très importante dans les exercices de thermodynamiques.

Si un système est composites, en particulier lorsque le système dans l’état initial n’est pas homogène, donc s’il est hors d’équilibre, on peut le décomposer en 2 (ou plus) sous-systèmes individuellement homogènes, et appliquer le premier principe de la thermodynamique (voir paragraphe suivant) aux systèmes

$\{1\}$ , $\{2\}$ et $\{1,2\}$

3. Premier principe de thermodynamique en Maths Sup

L’énergie interne $U$ d’un système thermodynamique est une fonction d’état extensive, si on note $Ec_{\mathrm{macro}}$ l’énergie cinétique macroscopique du système, alors

$\Delta U+\Delta Ec_{\mathrm{macro}}=W+Q$

Dans le cas particulier d’un système macroscopiquement au repos :

$\Delta U+W+Q$

4. Expression de $dU$ pour un GP

$\bullet$ $U$ ne dépend que de la température $T$ (première loi de Joule)

$\bullet$ $dU=C_VdT$ sous forme infinitésimale

$C_V$ est la capacité thermique à volume constant, en $\mathrm{J\cdot K^{-1}}$

$\bullet$ Pour un système de $n$ moles :

$C_V=nC_{V,m}$

où $C_{V,m}$ est la capacité thermique molaire à volume constant, en $\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$

$\bullet$ Pour un GP monoatomique $C_{V,m}=\frac32R$

5. Expression de $dU$ pour un système incompressible et indilatable

C’est approximativement le cas des solides et des liquides

$\bullet$ $dU=CdT$ sous forme infinitésimale

$C$ est la capacité thermique, en $\mathrm{J\cdot K^{-1}}$

$\bullet$ Pour un corps pur de masse $m$ :

$C=mc$

où $c$ est la capacité thermique massique du corps en $\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}$

$\bullet$ Pour l’eau $c_{\mathrm{eau}}=4,18~\mathrm{kJ\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}$

C. Systèmes thermoélastiques et enthalpie en maths sup

1. Système « thermoélastique » en Maths Sup

Un système thermoélastique est susceptible d’échanger de l’énergie thermique par transfert et du travail par déplacement d’une paroi (piston).

C’est le cas des fluides en général, sièges d’aucune transformation chimique.

Ils sont parfaitement déterminés par les variables d’état pression $P$ , volume $V$ et température $T$ .

Ces grandeurs sont en général reliées par une équation d’état dont l’archétype est la loi des gaz parfaits.

2. Enthalpie d’un système thermoélastique

Par définition, l’enthalpie est une grandeur énergétique qui vaut

$H=U+PV$

Comme $U$ , $P$ et $V$ sont des fonctions et variables d’état, $H$ est une fonction d’état, elle est extensive.

3. Expression de $dH$ pour un GP

$\bullet$ $H$ ne dépend que de la température $T$ (deuxième loi de Joule)

$\bullet$ $dH=C_PdT$ sous forme infinitésimale

$C_P$ est la capacité thermique à volume constant, en $\mathrm{J\cdot K^{-1}}$

$\bullet$ Pour un système de $n$ moles :

$C_P=nC_{P,m}$

où $C_{P,m}$ est la capacité thermique molaire à volume constant, en $\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$

$\bullet$ La relation de Mayer s’écrit

$C_P=C_V+nR$ ou $C_{P,m}=C_{V,m}+R$

$\bullet$ Pour un GP monoatomique

$C_{P,m}=\frac32R+R=\frac52R$

$\bullet$ Plus généralement, pour un type de GP donné, on définit le rapport des capacités thermiques

$\displaystyle{\gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{C_{P,m}}{C_{V,m}}}$

Si $\gamma$ est indépendant de $T$ , alors

$\displaystyle{dU=\frac{nR}{\gamma-1}dT}$

$\displaystyle{dH=\frac{\gamma nR}{\gamma-1}dT}$

4. Expression de $dH$ pour un système incompressible indilatable

$dH=dU=CdT$

et pour un corps pur

$C=mc$

5. Expression de $dH$ pour un changement d’état

Un corps pur de masse $m$ est à la température $T$ et à la pression $P_{12}(T)$ d’équilibre entre l’état 1 et l’état 2.

On définit $\Delta_{12}h(T)$ , enthalpie massique de changement d’état $1\rightarrow 2$ à la température $T$

Elle est exprimée en $\mathrm{J\cdot kg^{-1}}$

Lorsqu’une masse $m$ du corps passe de façon isotherme et isobare de l’état 1 à l’état 2, alors la variation d’enthalpie de ce corps vaut

$\Delta H=m\Delta_{12}h$

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D. Écritures particulières du premier principe

1. Système incompressible et indilatable

Si le système est indéformable et ne reçoit aucun autre travail,

$\Delta U=0+Q$

soit, si $C$ est indépendant de $T$

$C\Delta T=Q$

2. Système thermoélastique en transformation adiabatique monobare

Une évolution est monobare si le système est au contact, par l’intermédiaire d’un piston, d’un pressostat de pression $P_{\mathrm{ext}}$ constante.

Si le système est en transformation monobare et adiabatique, et qu’il ne reçoit aucun autre travail, alors

$\Delta U=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)$

3. Gaz parfait en transformation adiabatique réversible

Une transformation adiabatique est réversible si le système évolue selon une succession d’états d’équilibre (voir chapitre deuxième principe de la thermodynamique).

Si un gaz parfait est dans un cylindre, ceci nécessite que le piston soit en quasi équilibre (on parle de transformation quasi statique), donc que la pression dans le gaz soit égale à la pression extérieure.

Si le rapport des capacités thermiques $\gamma$ est indépendant de $T$ , alors la loi de Laplace est vérifiée :

$PV^{\gamma}=\mathrm{cste}$

ou, entre l’état initial et l’état final

$P_iV_i^{\gamma}=P_fV_f^{\gamma}$

Au delà des cours enseignés par les professeurs en prépa, vous pouvez vous aider d’autres supports pour réviser vos cours et vous préparer à vos examens, notamment avec les cours en ligne, dont en voici quelques exemples :

Cours de maths sup : Premier principe de la thermodynamique

A. Transferts énergétiques en Maths Sup

1. Transferts en Maths Sup

2. Déplacement d’un piston coulissant dans un cylindre

3. Énergie thermique en Maths Sup

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B. Premier principe de la thermodynamique

1. $U$ est une fonction d’état

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4. Expression de $dU$ pour un GP

5. Expression de $dU$ pour un système incompressible et indilatable

C. Systèmes thermoélastiques et enthalpie en maths sup

1. Système « thermoélastique » en Maths Sup

2. Enthalpie d’un système thermoélastique

3. Expression de $dH$ pour un GP

4. Expression de $dH$ pour un système incompressible indilatable

5. Expression de $dH$ pour un changement d’état

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3. Premier principe de thermodynamique en Maths Sup

C. Systèmes thermoélastiques et enthalpie en maths sup

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