Cours en ligne Physique en Maths Sup

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Cours de maths sup : deuxième principe de la thermodynamique

Réviser des résumés de cours de physique de Maths Sup est essentiel pour appréhender au mieux les concours. En effet, chez les prépas scientifiques, le coefficient de la Physique est très fort. D’où la nécessité de bien travailler sur cette matière. Nos résumés de cours, nos exercices et nos profs de physique chimie complètent bien les annales de physique des concours d’écoles d’ingénieurs, pour s’entraîner en conditions réelles.

A. Deuxième principe de la thermodynamique en maths sup

1. Evolution spontanée du deuxième principe de la thermodynamique

L’évolution spontanée d’un système se fait d’un état d’hétérogénéité vers un état d’homogénéité.

$\bullet$ Si le système étudié est homogène, au contact d’un système extérieur, il tend à s’homogénéiser avec lui.

$\bullet$ Ainsi, un piston trouvera une position d’équilibre mécanique quand la pression du système sera égal à la pression extérieure : il y a homogénéisation des pressions.

Le système échange alors du travail dont l’expression infinitésimale est

$\delta W=-P_{\mathrm{ext}}dV$

$\bullet$ De même si une paroi perméable aux transferts thermiques sépare un système d’un système extérieur, il trouvera un équilibre thermique avec l’extérieur quand sa température sera égale à celle du système extérieur : il y a homogénéisation des températures. Le système échange une énergie thermique $\delta Q$ au contact du système extérieur de température $T_{\mathrm{ext}}$

$\bullet$ Si au sein du système, on a hétérogénéité de pression, de température, de composition chimique, le système évolue vers une situation homogène par échanges internes de travail et/ou d’énergie thermique.

2. Deuxième principe de la thermodynamique

Un système thermodynamique est caractérisé par son entropie $S$ , fonction d’état extensive qui est exprimée en $\mathrm{J\cdot K^{-1}}$
Il échange de l’énergie thermique au niveau de parois perméables aux transferts thermiques, au contact de thermostats aux températures $T_i$ , $i\in\{1,\ldots,n\}$

La variation d’entropie est la somme des entropies créée et échangées

$\Delta S=S_{\mathrm{cr}}+S_{\mathrm{ech}}$ avec

$\bullet$ $S_{\mathrm{cr}}\geq 0$ , nulle si la transformation est réversible, strictement positive si elle est irréversible

$\bullet$ $\displaystyle{S_{\mathrm{cr}}=\sum_i\frac{Q_i}{T_i}}$ où $Q_i$ est l’énergie thermique échangée avec le thermostat $i$

3. Structure d’un exercice de thermodynamique utilisant le deuxième principe

On peut retenir que le deuxième principe de thermodynamique ne permet pas de déterminer l’état final d’une transformation.

Dans la structure classique d’un exercice :

$\bullet$ On définit un système dans un état initial.

$\bullet$ On décrit une transformation subie par ce système en donnant un ou des indices décrivant l’état final.

$\bullet$ On détermine l’état final grâce au premier principe de la thermodynamique.

$\bullet$ Ensuite, on calcule la variation d’entropie, l’entropie créée et l’entropie échangée.

$\bullet$ L’analyse de l’entropie créée permet de déterminer : si la transformation est réversible ( $S_{\mathrm{cr}}=0$ ) ou si elle est irréversible ( $S_{\mathrm{cr}}>0$ )

$\bullet$ On interprète l’irréversibilité éventuelle en justifiant l’existence d’une hétérogénéité interne au système.

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B. Calculs de variation d’entropie en Maths Sup

1. Entropie d’un gaz parfait en Maths Sup

Soit un système formé de $n$ moles de GP de rapport de capacités thermiques $\gamma$

On peut démontrer et on admet l’expression

$\displaystyle{S_{GP}=S(P_0,V_0)+nR\ln\frac{PV^{\gamma}}{P_0V_0^{\gamma}}}$

où $(P_0,V_0)$ est un état de référence.

Il existe deux formes alternatives, avec $P$ et $T$ ou avec $T$ et $V$ . Les expressions sont toujours données dans l’énoncé.

2. Entropie d’un système en phase condensée

Un système est formé d’une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique $C$

On peut démontrer et on admet l’expression

$\displaystyle{S_{cd}=S(T_0)+C\ln\frac{T_1}{T_0}}$

3. Changement d’état du corps pur

Une masse $m$ de corps pur passe de façon isobare de l’état 1 à l’état 2.

La température est nécessairement constante pendant cette transformation, égale à la température d’équilibre $T_{12}$ à la pression $P$ .

La variation d’entropie vaut

$\displaystyle{\Delta S=\frac{m\Delta_{12}h}{T_{12}}}$

C. Systèmes thermoélastiques et enthalpie en maths sup

1. Système « thermoélastique » en Maths Sup

Un système thermoélastique est susceptible d’échanger de l’énergie thermique par transfert et du travail par déplacement d’une paroi (piston).

C’est le cas des fluides en général, sièges d’aucune transformation chimique.
Ils sont parfaitement déterminés par les variables d’état pression $P$ , volume $V$ et température $T$ .

Ces grandeurs sont en général reliées par une équation d’état dont l’archétype est la loi des gaz parfaits.

2. Enthalpie d’un système thermoélastique

Par définition, l’enthalpie est une grandeur énergétique qui vaut

$H=U+PV$

Comme $U$ , $P$ et $V$ sont des fonctions et variables d’état, $H$ est une fonction d’état, elle est extensive.

3. Expression de $dH$ pour un GP

$\bullet$ $H$ ne dépend que de la température $T$ (deuxième loi de Joule)

$\bullet$ $dH=C_PdT$ sous forme infinitésimale

$C_P$ est la capacité thermique à volume constant, en $\mathrm{J\cdot K^{-1}}$

$\bullet$ Pour un système de $n$ moles :

$C_P=nC_{P,m}$

où $C_{P,m}$ est la capacité thermique molaire à volume constant, en $\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$

$\bullet$ La relation de Mayer s’écrit

$C_P=C_V+nR$ ou $C_{P,m}=C_{V,m}+R$

$\bullet$ Pour un GP monoatomique

$C_{P,m}=\frac32R+R=\frac52R$

$\bulle

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