Cours en ligne Physique en Maths Sup

Chapitres Physique en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Moment Cinétique : cours de physique en maths sup

Pour réussir vos concours, les cours en ligne et les cours à domicile en physique chimie peuvent vous servir à vérifier et consolider vos connaissances de maths sup. Vous pourrez ensuite les mettre en application sur des exercices concrets. Tous ces exercices sont au cœur du programme de physique de PCSI en maths sup, programme, qui plus est, très chargé.

A. Loi du moment cinétique en mécanique du point

1. Moment cinétique en maths sup

Soit $O$ un point fixe du référentiel de travail et $M$ un point de masse $m$ , de vecteur vitesse $\vec{v}$

Le moment cinétique en $O$ de $M$ est

$\vec{L}_O=\vec{OM}\wedge m\vec{v}$

Il est exprimé en $\mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}$

2. Moment d’une force en maths sup

Soit $O$ un point fixe dans le référentiel d’étude, $M$ un point matériel et $\vec{f}$ une force qui s’exerce sur $M$

Le moment de cette force en $O$ est

$\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{f})=\vec{OM}\wedge\vec{f}$

3. Loi du moment cinétique (TMC) en maths sup

Soit $O$ un point fixe dans le référentiel d’étude, $M$ un point matériel de masse $m$ soumis à un ensemble de forces $\vec{f}_i$

$\displaystyle{\sum_i \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{f}_i)=\frac{d\vec{L}_O}{dt}}$

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B. Loi du moment cinétique en mécanique du solide en maths sup

1. Moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe

Un solide $S$ est en rotation autour d’un axe $\Delta$

La position du solide est repérée par l’angle $\theta$ dont il a tourné par rapport à une position de référence.

Le moment cinétique scalaire du solide autour de cet axe est

$\displaystyle{L_{\Delta}=J_{\Delta}\frac{d\theta}{dt}}$

où $J_{\Delta}$ est le moment d’inertie exprimé en $\mathrm{kg\cdot m^2}$

L’expression du moment d’inertie est toujours donnée par l’énoncé.

2. Moment d’une force sur un solide en rotation autour d’un axe

Un solide est en rotation autour d’un axe $\Delta=(O,\vec{u}_{\Delta})$

Une force $\vec{f}$ s’applique en un point $M$ du solide.

* On peut toujours calculer le moment scalaire par la formule suivante

$\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{f})=\left[\vec{OM}\wedge\vec{f}\right]\cdot\vec{u}_{\Delta}$

* Mais il est plus commode et rapide d’utiliser le bras de levier.

En $M$ , la force $\vec{f}$ se décompose en une force parallèle à $\vec{u}_{\Delta}$ dont le moment est nul, et d’une force orthogonale $\vec{f}_{\bot}$

On trace la droite d’action de cette composante orthogonale en prolongeant la force.

Le bras de levier $d$ est la distance de $\Delta$ à cette force, on l’obtient en projetant le point $O$ par lequel passe $\Delta$ dans le plan sur la droite d’action.

On définit enfin un sens positif de rotation, le sens trigonométrique en général, quand on a le vecteur $\vec{u}_{\Delta}$ qui pointe vers notre œil.

Le moment vaut alors

$\mathcal{M}_{\Delta}=\pm \|\vec{f}_{\bot}\| d$

3. Loi du moment cinétique scalaire sur un solide en rotation (TMC)

Un solide en rotation autour d’un axe fixe dans le référentiel d’étude est soumis à un ensemble de forces $\vec{f}_i$

$\displaystyle{\sum_i\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{f}_i)=\frac{dL_{\Delta}}{dt}}$

On obtient ainsi une équation différentielle en $\theta$ , avec une analogie marquée avec celles obtenues dans les problèmes à un degré de liberté en mécanique du point.

4. Aspect énergétique en Maths Sup

On multiplie le TMC par la vitesse angulaire $\omega=\frac{d\theta}{dt}$

*À gauche :

$\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}\cdot J\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac12J\omega\frac{d\omega}{dt}}$

On reconnaît la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique

$Ec=\frac12J\omega^2$

* À droite :

la puissance associé à un moment vaut

$\mathcal{P}=\mathcal{M}\cdot\omega$

* On peut donc écrire la loi de la puissance cinétique

$\displaystyle{\frac{dEc}{dt}=\sum_i\mathcal{P}(\mathcal{M}_i)}$

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5. Cas de référence : le pendule pesant

Un solide est en rotation autour d’un axe $\Delta$ horizontal ne passant pas par le centre d’inertie $G$ du solide.

On note $m$ la masse du solide, $J$ son moment d’inertie par rapport à $\Delta$ et $a$ la distance entre $G$ et l’axe $\Delta$

L’action de l’axe sur le solide est du type liaison pivot : la somme des forces n’est pas nulle mais la somme des moments est nulle.

La loi du moment cinétique s’écrit

$\displaystyle{J\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}=-mgd=-mga\sin\theta}$

* Dans l’hypothèse des petits angles, on obtient une équation d’oscillateur harmonique

$\displaystyle{\stackrel{\cdot\cdot}{\theta}+\frac{mga}{J}\theta=0}$

* Dans le cas général, la loi de la puissance cinétique s’écrit

$\displaystyle{\frac{dEc}{dt}=-mga\sin\theta\stackrel{\cdot}{\theta}}$

$\displaystyle{\frac{dEc}{dt}=\frac{d}{dt}\left(mga\cos\theta\right)}$

donc $\displaystyle{Em=Ec+Ep=\mathrm{cste}}$

avec $\displaystyle{Ep=-mga\cos\theta}$ énergie potentielle de pesanteur.

En traçant sur un même graphe $Ep(\theta)$ et l’énergie mécanique $Em$ constante, on peut, selon les cas, identifier un mouvement oscillatoire presque harmonique, un mouvement oscillatoire non harmonique ou un mouvement révolutif.

Les cours en ligne de physique en Maths Sup ne remplacent pas les cours qui sont enseignés en prépa, en revanche, ils sont de très bons compléments. De plus, à chaque cours sont associés des exercices et leurs corrigés, ce qui permet aux étudiants de vérifier leurs connaissances facilement depuis un ordinateur, une tablette ou un smartphone. Quelques exemples de cours à réviser en maths sup :