Chapitres Maths en ECG1
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Exercices et Corrigés : Espaces vectoriels en ECG1
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Corrigés – Espaces vectoriels et applications linéaires
Exercice 1 :
1) Linéarité :
Pour montrer que est linéaire, on se donne deux triplets et un réel Montrons que
Il suffit d’écrire les choses !
.
.Ainsi D’où En particulier, le noyau est de dimension Image: Le théorème du rang affirme que :
Comme on a Ainsi et donc
si, et seulement si, Il s’ensuit que est racine d’ordre au moins pour Comme il s’ensuit que On a montré que l’inclusion réciproque étant claire, on a bien montré que Image : On commence par appliquer le théorème du rang :
Ainsi Finalement et donc En particulier, est bijective.
3) Linéarité :
La linéarité est laissé au lecteur.
Ainsi et donc comme ci-dessus et est surjective.
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Exercice 2 :
1) Soit alors
2) Pour trouver les antécédents éventuels de on résout l’équation On récupère le système
La résolution de ce système se fait grâce au pivot de Gauss. On trouve
La résolution de ce système se fait grâce au pivot de Gauss. On trouve
La résolution donne Ainsi L’inclusion réciproque étant claire, on a établi que et est injective.
Or donc Et, et ces deux espaces ont la même dimension, ils sont donc égaux. Donc est surjective.
Exercice 3 :
1) Soient et On a :
est donc linéaire.
2) Soit définie par
Il s’ensuit que Donc est bijective et
Donc est inversible et
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Exercice 4 :
1) Déjà est non vide car la suite nulle est bien dans
.