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Cours : Systèmes en Maths Sup en MPSI, MP2I, PTSI, PCSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Systèmes en Maths Sup

Plan :

1. Introduction des notations
2. Opérations élémentaires
3. Méthode du pivot de Gauss
4. Interprétation géométrique

1. Introduction des notations

On note $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .
On appelle système de $n$ équations à $p$ inconnues à coefficients dans $\mathbb{K}$ tout ensemble $(S)$ d’équations de la forme
$\quad \left \{ \begin{matrix} a_{1,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{1,p} \, x_p = b_1 \\ a_{2,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{2,p} \, x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{n,p} \, x_p = b_n \end{matrix} \right.$
où les coefficients $(a_{i,j}) _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}$ et $(b_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont dans $\mathbb{K}$ .
On dit que $(b_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont les seconds membres du système.

Un $p$ -uplet $(x _1,\, \cdots \, , \, x_p) \in \mathbb{K} ^p$ est une solution de $(S)$ si elle vérifie les $n$ équations du système ;
Résoudre $(S)$ , c’est décrire l’ensemble $\mathbb{S}$ des solutions de $(S)$ .
Le système $(S)$ est compatible s’il admet au moins une solution ; sinon, $(S)$ est dit incompatible.

Le système $(\mathcal {H})$
$\quad \left \{ \begin{matrix} a_{1,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{1,p} \, x_p = 0 \\ a_{2,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{2,p} \, x_p = 0 \\ \vdots \\ a_{n,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{n,p} \, x_p = 0 \end{matrix} \right.$
est appelé système homogène associé au système $(S)$ .
Il admet au moins la solution triviale
( $x _ i = 0$ pour tout $1 \leq i \leq p$ ).

On note $L_i$ : $a_{i,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{i,p} \, x_p = b_i$ la $i$ -ème équation du système.

Le tableau $A$ à $n$ lignes et $p$ colonnes
$\quad A = \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1 , 2} & \cdots & a_{1 , p} \\ a_{2,1}&a_{2 , 2} & \cdots & a_{2 , p} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{n,1}&a_{n , 2} & \cdots & a_{n , p} \end{pmatrix}$
est la matrice associée au système $(S)$ .

Sous réserve d’avoir défini les opérations sur les matrices, en notant $X = (x_i)_{1\leq i \leq p}$ et $B = (b_i)_{1 \leq i \leq n}$ , les matrices colonnes à $p$ et $n$ lignes respectivement, le système $(S)$ se traduit par $A \, X = B$ et le système homogène associé s’écrit $A \, X = 0$ .

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2. Opérations élémentaires

Si $i \neq j$ et $\lambda \in \mathbb{K}^*$ , on note :
$\ast$ $L_i \leftrightarrow L_j$ l’échange des lignes $i$ et $j$ .
$\ast$ $L_i \leftarrow \lambda \, L_i$ la multiplication de la ligne $i$ par $\lambda$
$\ast$ $L_i \leftarrow L_i + \lambda \, L_j$ l’ajout à la ligne $i$ de $\lambda$ fois la ligne $j$ .

Toutes ces opérations donnent un système équivalent au système initial $(S)$ c’est-à-dire ayant les mêmes solutions que $(S)$ .

Si $i \neq j$ et $(\lambda, \, \mu) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K}$ ,
$\quad \quad L_i \leftarrow \lambda \, L_i + \mu\, L_j$
donne un système équivalent au système initial. car c’est une composée de deux opérations élémentaires.

3. Méthode du pivot de Gauss

3.1. Transformation du système
$\bullet$ Traitement de la première colonne
$\ast$ On suppose qu’il existe $i \in [\![1 , n]\!]$ tel que $a_{i, 1} \neq 0$ (si ce n’est pas le cas, l’inconnue $x_1$ est absente).
Quitte à utiliser $L_i \leftrightarrow L_1\,$ , on peut supposer que $a_{1 , 1} \neq 0$ .
On dit que $a_{1 , 1 }$ est le premier pivot.

$\ast$ Pour tout $i \in [\![2 , \, n]\!]$ , on utilise
$\quad \quad \; \; L_i \leftarrow \displaystyle L_i - \frac {a_{i , 1} } {a_{1 , 1 } }L_1$
ce qui permet d’annuler les coefficients de $x_1$ dans les lignes $2$ à $n$ .
La matrice $A(1)$ associée à ce système équivalent $(S_1)$ est
$A^ {(1)} = \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1 , 2} & \cdots & a_{1 , p} \\ 0 & \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \\ \vdots & \textrm{ } & A_1 &\textrm{ }\\ 0 & \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \end{pmatrix}$
où $A_1$ a $n - 1$ lignes et $p - 1$ colonnes.
Si $A_1 = 0$ , la transformation du système est terminée.

$\ast$ Recherche du pivot suivant lorsque $A_1 \neq 0$ .
On numérote les colonnes de $A_1$ de $2$ à $p$ et les lignes de $2$ à $n$ .
Si $j$ est le numéro de la première colonne de $A_1$ non nulle et si $a_{i , j}(1) \neq 0$ , on échange si nécessaire les lignes $L_i$ et $L_1$ du système $(S_1)$ de sorte que $a_{2 , j}^{(1)} \neq 0$ .
On effectue pour tout $i \in [\![3 , \, n]\!]$ ,
$\quad \quad L_i \leftarrow \displaystyle L_i - \frac {a_{i, j}^{(1) }} {a_{2, j}^{(1)} }\, L_2$
de façon à annuler les coefficients de $x_j$ dans les lignes $3$ à $n$ .

On obtient un système équivalent $(S_2)$ admettant comme matrice associée :
$A^{(2)} =$
$\begin{pmatrix} a_{1,1}& \cdots & \cdots & a_{1 , j} & \cdots & a_{1 , p} \\ 0 & \cdots& 0 & a_{2 , j}^{(1)} & \cdots & a_{2 , p}^{(1)} \\ 0 & \cdots &0 & \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \\ \vdots &\vdots &\vdots & \textrm{ } & A_2 &\textrm{ }\\ 0&\cdots &0& \textrm{ } & \textrm{ } &\textrm{ } \end{pmatrix}$

$\ast$ On recommence avec $A_2$ si $A_2 \neq 0$ .

3.2. Discussion du système
On obtient l’existence d’un entier $r \leq \min(n , p)$ et des pivots
$\quad a_{1 , 1}$ , $a_{2 ,\, j_2\, }^{(1)}$ , $\cdots$ , $a_{r , \, j_r\, } ^{(r-1)}$ tels que le système soit équivalent au système :
$\left \{ \begin{matrix} a_{1,1}\,x_1 + \, \cdots \,+ a_{1,p} \, x_p &= &b_1 \\\quad a_{2,j_2}^{(1)} \,x_{j_2} \,+ \cdots \cdots &= &b_2^{(1)} \\ \quad \quad \quad \ddots \\ \quad \quad \quad a_{r,j_r}^{(r-1)}\,x_{j_r} + \, \cdots &=& b_r^{(r - 1) } \\ \quad \quad \quad \quad \quad 0 &=& b_{r + 1}^{(r) } \\\quad \quad \quad \quad \quad \vdots& & \vdots \\ \quad \quad \quad \quad \quad 0 &=&b_n^{(r)} \end{matrix} \right.$

On dit que l’entier $r$ est le rang du système $(\mathcal{S} )$ .
Les $n - r$ dernières équations étant absentes lorsque $n = r$ .

$\bullet$ Si $n > r$ et si l’un des coefficients $b_{r + 1}^{(r)} \, ,\, \cdots \, , \, b_n^{(r)}$ est non nul, le système est impossible.

$\bullet$ Si $n \geq r$ et si $b_{r + 1}^{(r)}= \cdots = b_n^{(r)} = 0$ , le système est équivalent au système formé par les $r$ premières équations. Le système est dit compatible.
$\ast$ Si $r =p$ , $j_2 = 2\, , \cdots \, , \, j_p = p$ , le système admet une unique solution : on résout l’équation $L_p\,$ , puis $L_{p- 1} \,$ et on termine par $L_1\,$ .

$\ast$ Si $r < p$ , le système admet une infinité de solutions exprimées en fonction des inconnues $x_j$ où $j \notin \{ 1 , j_2 \, , \, \cdots \,, j_ r\}$ : on résout l’équation $L_r\,$ , puis $L_{r - 1} \,$ et on termine par $L_1\,$ .

Remarque : si $n = p = r$ , le système $(S)$ admet une unique solution. Il est appelé système de Cramer.

Exemple
Résoudre dans $\mathbb{R}$ selon la valeur de $\alpha \in \mathbb{R}$ le système
$(S)$ $\displaystyle \left \{ \begin{matrix} & & y & + & z & & &=&2\\x& & &+& z & +& t &=&0\\ x &+&y&+&2z&+&t&=&2\\2x&+&2y&+&4z& & &=&-1\\x&-&y & & &+& t& = &\alpha\end{matrix} \right.$ .

Correction :

La matrice associée à ce système est :
$\quad \quad A = \begin{pmatrix} 0&1&1&0\\1&0&1&1\\1&1&2&1\\2&2&4&0\\1&-1&0&1\end{pmatrix}$

$\bullet$ Recherche d’un système équivalent au système $(S)$ .
$\ast$ Première opération : $L_1 \leftrightarrow L_2$ et le premier pivot est 1 :
$\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\ x &+&y&+&2z&+&t&=&2\\2x&+&2y&+&4z& & &=&-1\\x&-&y & & &+& t& = &\alpha\end{matrix} \right.$ .
La matrice associée est
$\begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 0&1&1&0\\1&1&2&1\\2&2&4&0\\1&-1&0&1\end{pmatrix}$

$\ast$ Suppression de la variable $x$ dans les lignes de numéro supérieur ou égal à 2 :
$L_3 \leftarrow L_3 - L_1\,$ , $L_4 \leftarrow L_4 - 2 L_1$ et $L_5 \leftarrow L_5 - L_1$
On obtient le système équivalent
$\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\ & &y&+&z& & &=&2\\& & 2y&+&2z&- & 2t &=&-1\\ & &- y &- & z & & & = &\alpha\end{matrix} \right.$ .
et la matrice associée est
$\displaystyle\begin{pmatrix} 1&0&1&1 \\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-2\\0&-1&-1&0\end{pmatrix}$

$\ast$ Le pivot suivant est en ligne 2, colonne 2 , on supprime l’inconnue $y$ à partir de la troisième équation par les opérations
$L_3 \leftarrow L_3 - L_2\,$ , $L_4 \leftarrow L_4 - 2 L_2$ et $L_5 \leftarrow L_5 + L_2$
On obtient le système équivalent :
$\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\ & & & & & & 0 &=&0\\& & & & & & -2t &=&-5\\ & & & & & & 0 & = &\alpha- 2 \end{matrix} \right.$ .
de matrice associée
$\begin{pmatrix} 1&0&1&1 \\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

$\ast$ On utilise $L_4\leftrightarrow L_3$
$\bullet$ On obtient le système équivalent :
$\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\& & & & & & -2t &=&-5 \\ & & & & & & 0 &=&0 \\ & & & & & & 0 & = &\alpha- 2 \end{matrix} \right.$ .
et la matrice associée est
$\begin{pmatrix} 1&0&1&1 \\0&1&1&0\\0&0&0&-2\\0&0&0&0 \\0&0&0&0 \end{pmatrix}$

La transformation est terminée.

$\bullet$ Rang et discussion.
On a obtenu 3 pivots en colonnes 1, 2 et 4 .
Le système est de rang 3.
Il est incompatible lorsque $\alpha \neq 2$ .
Il est compatible lorsque $\alpha = 2$ et dans ce cas il est équivalent au système
$\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\& & & & & & -2\, t &=&-5 \end{matrix} \right.$ .
$x$ , $y$ et $t$ sont inconnues principales et $z$ est inconnue secondaire.

$\bullet$ Fin de la résolution.
$\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x& & &+& z & +& t &=&0\\& & y & + & z & & &=&2\\& & & & & & -2\, t &=&-5 \end{matrix} \right.$ .
ssi $\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x &=& - z - t \\y &=& 2 - z \\ t &=& 5/2 \end{matrix} \right.$
ssi $\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x &=& - z - 5/2 \\y &=& 2 - z \\ t &=& 5/2 \end{matrix} \right.$

L’ensemble des solutions est l’ensemble des 4-uplets
$(- z - 5/2\, , \, 2 - z \, , \, z \, , \, 5/2)$ lorsque $z \in \mathbb{R }$ .

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4. Interprétation géométrique

4.1. Système réel de 2 équations à 2 inconnues
On suppose que le plan $\mathbb{R} ^2$ est rapporté au repère canonique noté $\mathcal{R} (O , \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

$\bullet$ Si $(a ,\, b) \neq (0 , \, 0)$ , $a \, x + b \, y = c$ est l’équation d’une droite $\Delta$ de $\mathbb{R }^2$ orthogonale au vecteur $\overrightarrow{n} = (a ,\, b)$ ou de vecteur directeur $\overrightarrow{u}= (- b , \, a)$ .

$\bullet$ Si $(a , \,b) \neq (0 , \, 0)$ et $(c , \,d) \neq (0 , \, 0)$ soit $(\mathcal{S}) : \left \{ \begin{matrix} a \, x + b \, y = e \\c \, x + d \, y = f \end{matrix} \right.$
On note
$\Delta$ la droite d’équation $a\, x + b \, y = e$
et $\Delta '$ la droite d’équation $c \, x + d \, y = f$ .
$\ast$ Si $a \, d - b \, c \neq 0$ , $(S)$ admet comme unique solution le point d’intersection des deux droites $\Delta$ et $\Delta'$ .

$\ast$ Si les droites $\Delta$ et $\Delta'$ sont parallèles ( $a \, d - b \, c = 0$ ) et distinctes, le système $(S)$ n’a pas de solution.

$\ast$ Si $\Delta = \Delta'$ soit s’il existe $\lambda \in \mathbb{R}^*$ tel que $c = \lambda\, a \, , d = \lambda \, b , f = \lambda \, e$ , l’ensemble des solutions de $(S)$ est l’ensemble des points de $\Delta$ .

4.2. Système réel de 3 équations à 3 inconnues
On suppose que l’espace $\mathbb{R} ^3$ est rapporté au repère canonique noté $\mathcal{R} (O , \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ .

$\bullet$ Si $(a , \, b, \, c ) \neq (0 , \, 0, \, 0)$ ,
$\quad \quad a \, x + b \, y + c\, y = d$
est l’équation d’un plan $\mathcal{P}$ de $\mathbb{R }^3$ orthogonal au vecteur $\overrightarrow{n} = (a ,\, b, \, c)$ .

$\bullet$ Soient $(a , \, b, \, c )$ , $(a' , \, b', \, c' )$ et
$(a'' , \, b'', \,c'' )$ dans $\mathbb{R}^3$ tous distincts de $(0 ,\, 0,\ 0 )$ .
On note $\mathcal{P}$ le plan d’équation $\quad \quad a \, x + b \, y + c \, y = d$ .
On définit de même les plans $\mathcal{P}'$ et $\mathcal{P}''$ .
Soit $(S)$ :
$\left \{ \begin{matrix} a \, x &+& b \, y &+& c \, z &=& d \\a' \, x &+& b' \, y &+& c' \, z &=& d'\\ a'' \, x &+& b'' \, y &+& c'' \, z &=& d'' \end{matrix} \right.$

Résoudre le système $(S)$ revient à chercher l’intersection des trois plans $\mathcal{P}$ , $\mathcal{P}'$ et $\mathcal{P}''$ .
On note $r$ le rang du système $(S)$
On peut avoir
$\ast$ un point ( $r = 3$ ).
$\ast$ une droite lorsque deux des plans sont non parallèles et le troisième a une équation combinaison linéaire des équations de ces deux plans.
( $r = 2$ et $(S)$ compatible).
$\ast$ un plan lorsque les trois plans sont confondus
( $r = 1$ et système compatible)
$\ast$ l’ensemble vide lorsque deux des trois plans sont parallèles et distincts ( $r < 3$ et système incompatible).

Les mathématiques sont une matière qu’il est nécessaire de réviser régulièrement pour voire une vraie progression. Les cours en ligne de Maths en Maths Sup, permettent ainsi d’aider les étudiants dans leurs révisions en dehors des cours en prépa. Vérifiez vos connaissances et travaillez sur vos difficultés en consultant quelques cours en ligne et nos cours de maths particulier au programme de Maths Sup :

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