Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours : Raisonnement et récurrence en maths sup

Ce résumé de cours et de méthodes sur les récurrences et raisonnements de début d’année vous servira tout au long de vos années de CPGE. Il est primordial de maitriser ces raisonnements et de les comprendre en profondeur. Faites appel à un enseignant à domicile en maths si vous en ressentez le besoin.

1. Assertions et opérations en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI

Une assertion ou proposition mathématique est une phrase qui est soit vraie soit fausse.

Par exemple, l’assertion

» la fonction $x \mapsto x^2$ est croissante sur $\mathbb{R}$ » est fausse ; mais l’assertion » pour tout réel $x, \vert x \vert \geq 0$ » est vraie.

1.1 Quantificateurs mathématiques en maths sup

$\bullet$ Notations :

$\quad \forall$ : quelque soit, pour tout

$\quad \exists$ : il existe (au moins un)

$\quad \exists\, !$ : il existe un unique.

Ces quantificateurs sont des symboles mathématiques, donc à n’utiliser que dans le langage mathématique : ils ne doivent pas s’utiliser comme des abréviations dans des phrases en français.

Par exemple : soit vous écrivez en toutes lettres » pour tout réel $x$ , $\vert x\vert$ est positif » ; soit vous écrivez en langage mathématique » $\forall\, x \in \mathbb{R} , \, \vert x \vert \geq 0$ « .

$\bullet$ Il est possible d’utiliser successivement plusieurs quantificateurs, à condition qu’ils concernent des variables différentes. Dans ce cas, il est important de choisir l’ordre dans lequel vous introduisez vos variables.

Comparez

$(1) \quad : \forall \, x \in \mathbb{R}, \, \exists\, n \in \mathbb{Z}, n \geq x$

$(2) \quad : \exists \, n \in \mathbb{Z}, \, \forall\, x \in \mathbb{R} , \, n \leq x$

(1) est vraie et (2) est fausse.

Dans (1), $n$ est choisi après $x$ donc il dépend de l’élément quelconque $x$ que l’on se donne.

En revanche dans (2), $n$ est choisi avant les réels $x$ donc doit être le même pour tous les $x$ . Un tel entier n’existe pas.

Les quantificateurs doivent se trouver avant la propriété et non après !

On peut intervertir deux » $\forall$ » ou deux » $\exists$ » consécutifs

c’est à dire si $P(x , y)$ est une propriété définie pour $x \in E$ et $y \in F$ ,

$\quad \ast$ $\forall\, x \in E,\, \forall \, y \in F, \, P(x \, , \, y)$

peut s’écrire

$\quad \quad \forall\, y \in F,\, \forall \, x \in E, \, P(x \, , \, y)$

$\quad \ast$ $\exists \, x \in E,\, \exists \, y \in F, \, P(x \, , \, y)$

peut s’écrire

$\quad \quad \exists \, y \in F,\, \exists \, x \in E, \, P(x \, , \, y)$ .

Pour pouvoir intervertir un » $\forall$ » et un « $\exists$ » un raisonnement précis est indispensable et en général non évident !

1.2 Opérations et, ou, non sur les assertions.

$\bullet$ Si $P$ et $Q$ sont deux assertions, on peut définir les assertions

$\quad \ast$ $P \textrm{ et } Q$ qui est vraie lorsque les deux sont vraies et fausse sinon.

$\quad \ast$ $P \textrm{ ou } Q$ qui est vraie dès que l’une au moins est vraie (les deux peuvent être vraies : on dit que le « ou » est inclusif). Elle est donc fausse si les deux sont fausses.

$\bullet$ L’assertion non $P$ est vraie si $P$ est fausse, et fausse si $P$ est vraie.

exemple : si l’assertion $P$ est $x < 2$ , l’assertion non $P$ est $x \geq 2$ .

$\ast$ Si $P(x)$ est une assertion dépendant de $x \in E$

… la négation de $\forall \, x \in E, \, P(x)$

est $\exists \, x\, \in E, \, \textrm{non } P(x)$ .

… la négation de $\exists \, x \in E, \, P(x)$

est $\forall \, x\, \in E, \, \textrm{non } P(x)$ .

$\ast$ Si $P$ et $Q$ sont deux assertions,

… $\textrm{non }(P \textrm{ ou } Q)$ est

$\quad \quad \quad (\textrm{non }P) \textrm{ et } (\textrm{non } Q )$

… $\textrm{non }(P \textrm{ et } Q)$ est $\quad \quad \quad (\textrm{non } P) \textrm{ ou } (\textrm{non } Q)$ .

aux déplacements de parenthèses

( $\forall \, x \in E, \, P(x) \textrm{ ou } Q(x)$ )

n’est pas équivalent à

$(\forall \, x \in E, \, P(x) )$ ou $(\forall\, x \in E, \, Q(x))$ .

Par exemple

L’assertion

$\quad$ ( $\forall\, n \in \mathbb{N},\, n$ est pair ou impair) est vraie alors que l’assertion

$\quad \quad$ ( $\forall\, n \in \mathbb{N},\, n$ est pair)

$\quad \quad$ ou $(\forall\, n \in \mathbb{N},\, n$ est impair) est fausse.

1.3. Connecteurs logiques

Soient $P$ et $Q$ deux assertions.

$\bullet$ Implication $P \Rightarrow Q$

C’est l’assertion ( $\textrm{non } P$ ou $Q$ ).

Elle signifie que « si $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie ».

On peut lire $P \Rightarrow Q$ par

$\ast$ pour que $Q$ soit vraie, il suffit que $P$ soit vraie.

$P$ est une condition suffisante pour que $Q$ soit vraie.

$\ast$ il est nécessaire que $Q$ soit vraie pour que $P$ soit vraie.

$Q$ est une condition nécessaire pour que $P$ soit vraie.

$\ast$ et plus rapidement, » si $P$ , alors $Q$ « .

dire que l’implication $P \Rightarrow Q$ est vraie n’implique pas que $Q$ soit vraie, mais si $P$ est vraie et $P \Rightarrow Q$ est vraie alors $Q$ est vraie.

Pour prouver que $Q$ est vraie, il suffit de prouver que les assertions $P$ et $(P \Rightarrow Q)$ sont vraies.

$\bullet$ On dit que les assertions $P$ et $Q$ sont équivalentes (et on écrit $P \Leftrightarrow Q$ ) ssi les assertions $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont vraies.

Dans ce cas, les assertions $P$ et $Q$ sont vraies en même temps et fausses en même temps.

On dit alors que $Q$ est une condition nécessaire et suffisante de $P$ .

$\bullet$ La contraposée de l’implication $P \Rightarrow Q$ est l’implication $\quad \quad \quad \textrm{non } Q \Rightarrow \textrm{non } P$ .

L’implication $P \Rightarrow Q$ et sa contraposée $\textrm{non } Q \Rightarrow \textrm{non } P$ sont équivalentes.

$\bullet$ La négation de l’implication $P \Rightarrow Q$ est l’assertion ( $P \textrm{ et } \textrm{non } Q$ ).

Par exemple, si $n \in \mathbb{N}$ , la négation de $\quad \quad n \geq N \Rightarrow \vert u_n - L \vert \leq \varepsilon$

est $\; \exists\, n \geq N$ et $\vert u_n - L \vert >\varepsilon$ .

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2. Raisonnement par récurrence en maths sup

Soit à démontrer : $\forall \, n \in \mathbb{N}$ et $n \geq n_0$ $P(n)$ où $P(n)$ est une propriété dépendant de l’entier naturel $n$ .

2.1. Récurrence simple

On introduit

si $n \geq n _ 0$ , $H_n :$ l’énoncé de la propriété à démontrer.

La démonstration par récurrence consiste à :

1. vérifier que la propriété est vraie pour la valeur $n_0\,$ . C’est l’initialisation de la récurrence.

2. puis à vérifier que si la propriété est vraie pour un certain entier $n \geq n_0$ fixé quelconque, alors la propriété est vraie au rang suivant $n + 1$ .

La propriété est dite héréditaire.

Alors, on peut conclure que pour tout $n \geq n_0\,$ , la propriété $H_n$ est vraie.

Exemple

On démontre, par récurrence sur $n \in \mathbb{N }^*$ , la propriété $H_n$ : $n < 2 ^n$ .

Réponse :

$1 < 2$ , donc $H_1$ est vraie.

On suppose $H_n$ vraie où $n \in \mathbb{N}^*$ est donné.

$n + 1 \leq 2 \ n < 2 \,.\, 2 ^n$ , ce qui prouve la propriété au rang $n + 1$ .

Le résultat est établi par récurrence.

2.2. La récurrence double

Elle est introduite sous la forme :

Si $n \geq n _ 0$ , $H_n : \left \{ \begin{matrix} P(n) \\ P(n + 1) \end{matrix} \right.$ .

La démonstration par récurrence double (ou d’ordre 2) consiste à :

1. vérifier que la propriété $P$ est vraie pour les deux premiers rangs $n_0$ et $n_0 + 1$

2. puis vérifier que si $n \geq n_0$ est un entier quelconque tel que la propriété $H_n$ est vraie, alors la propriété $P(n + 2)$ est vraie.

Ce qui prouve que $H_{n + 1}$ est vraie.

Alors la propriété $H_n$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ donc $P(n)$ est vraie.

Exemple

Si $u_0 = u_1 = 1$ et $\forall\, n \in \mathbb{N}$ , $u_{n + 2} = 5 \, u_{n + 1} - 6 \, u_{n} +2\, n - 1$ ,

montrer que $\quad \forall\, n\in \mathbb{N},\, u_n = 2 ^n - 3 ^n + n + 1$ .

Réponse :

On note si $n \in \mathbb{N}$ , $H_n : \left \{ \begin{matrix}u_n = 2 ^n - 3 ^n + n + 1 \\ u_{n + 1} = 2 ^{n + 1} - 3 ^{ n + 1} + n + 2 \end{matrix} \right.$

$\ast$ Pour $n = 0$ , $2 ^n - 3 ^n + n + 1= 1 - 1 + 1 = u_0$

et $2 ^{n + 1} - 3 ^{ n + 1} + n + 2 = 2 - 3 + 2 = u_1$

donc $H_0$ est vraie.

$\ast$ On suppose que $H_n$ est vraie.

$u_{n + 2} = 5 \, u_{n + 1} - 6 \, u_{n} +2\, n - 1$

$u_{n + 2} = 5 . 2 ^{n + 1} - 5 . 3 ^{ n + 1} +5 \, n + 10$ $\quad \quad \quad - \, 6 . 2 ^{n} + 6 . 3 ^{ n } - 6 \, n - 6 + 2\, n - 1$

$\; \; = (10 - 6) . 2 ^{n} - (15 - 6) . 3 ^{ n } + n + 3$

$u_{n + 2} = 2 ^2 . 2 ^{n} - 3 ^2 . 3 ^{ n } + n + 3$ .

La propriété est vraie au rang $n + 2$ donc $H_{n + 1}$ est vraie et la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

2.3. La récurrence forte

Elle est introduite sous la forme :

si $n \geq n _ 0$ , $H_n : \forall \, k \in [\![n_0\, , \, n]\!], \, P(k)$

La démonstration par récurrence forte consiste à :

1. vérifier que la propriété $H_{n _0}$ soit $P(n_0)$ est vraie

2. puis à vérifier que si $n \geq n_0$ est un entier quelconque tel que $H_n$ est vraie, alors $P(n + 1)$ est elle est vraie.

c’est à dire que si $P(n_0)\, , P(n_0 + 1)\, , \, \cdots \,, P(n - 1) \, ,\, P(n)$ sont vraies, $P(n + 1)$ l’est aussi.

Alors la propriété $H_n$ donc $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0\,$ .

Comment choisir ?

$\ast$ La relation au rang $n + 1$ ne dépend que du rang $n$ , choisir une récurrence simple

$\ast$ La relation au rang $n + 1$ dépend que du rang $n$ et $n - 1$ , choisir une récurrence double

$\ast$ La connaissance des résultats à tous les rangs précédents est indispensable pour étudier le rang $n + 1$ , utiliser une récurrence forte.

Exemple :

Démontrer que tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ peut s’écrire de façon unique sous la forme $n=2 ^p (2\, q+1)$ où $(p,q)\in \mathbb{N}^2$ .

Réponse :

$\bullet$ On va prouver l’existence par récurrence forte.

Si $n \in \mathbb{N}^*$ , on note $H_n$ : si $1 \leq k \leq n$ , $k$ s’écrit sous la forme $2 ^p (2\, q+1)$ où $(p\, ,\, q)\in \mathbb{N}^2$ .

Le résultat est en effet vrai pour $n=1$ avec $p = q = 0$ .

On suppose maintenant que $n$ est un entier non nul tel que $H_n$ soit vraie.

On démontre que la propriété est encore vraie pour $n + 1$ .

On distingue alors deux cas :

$\ast$ Si $n + 1$ est pair, on écrit $n + 1 = 2\, N$ avec $1 \leq N < n$ .

On peut lui appliquer l’hypothèse de récurrence, et donc $N$ s’écrit $\quad \quad N =2^a(2\, b+1)$ , avec $(a,\,b)\in \mathbb{N}^2$ .

Mais alors $n = 2 ^{a + 1} (2 \, b + 1)$ et donc l’existence est démontrée avec $p=a+1$ et $q=b$ .

$\ast$ Si $n + 1$ est impair, on écrit $\quad n + 1 = 2\, q + 1 = 2 ^0(2 \, q + 1)$

et la proposition est démontrée avec $p=0$ et $q$ .

Ainsi, l’existence de la décomposition est établie pour tout entier $n\in \mathbb{N}^*$ .

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3. Autres types de raisonnements en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

3.1. Raisonnement par équivalence

Il remplace la démonstration des deux implications successives $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ .

Il est indispensable dans les situations suivantes :

$\bullet$ Résolution d’une équation $P(x) = 0$

$\bullet$ Résolution d’une inéquation

$\bullet$ Résolution d’un système d’équations ou d’inéquations

$\bullet$ Recherche du domaine de définition $\mathcal{D}$ d’une fonction $f$ .

à ne pas vous limiter à un raisonne- ment du type » si $f(x)$ est défini, alors $x \in \mathcal{S}$ » ce qui ne donne qu’une inclusion $\mathcal{S} \subset \mathcal{D}$ .

Dans chacun des cas, il est préférable de raisonner par équivalen- ce, en les mettant bien en évidence.

Si ce n’est pas possible, ayant obtenu des conditions nécessaires du type $x \in \mathcal{S}$ , il faut penser à établir la réciproque, soit à voir si tout élément de $\mathcal{S}$ est bien solution du problème initial.

Conseils

$\ast$ Il faut faire attention aux différentes étapes du raisonnement et bien vérifier que l’on a conservé l’équivalence (attention en particulier au passage au carré).

$\ast$ Si l’une des assertions contient un » il existe » , il est fortement conseillé de raisonner par double implication.

Pour prouver l’équivalence de $n\geq 3$ propriétés notées $P_1\,, \, P_2 \, , \cdots \,, \, P_n\,$ , on se limite à faire une démonstration « en boucle » :

$\quad \quad P_1 \, \Rightarrow P_2 \, \Rightarrow \, \cdots \, \Rightarrow P_n \, \Rightarrow \, P_1 \,$ .

Faites confiance à l’énoncé, les assertions devraient avoir été rangées dans l’ordre le plus simple de justification.

N’en modifiez pas l’ordre !

3.2. Le raisonnement par contraposée

Pour démontrer l’implication $P \Rightarrow Q$ , il est équivalent de prouver la contraposée $\textrm{non } Q \Rightarrow \textrm{non } P$ .

Exemple

Soit $n \in \mathbb{N}, n ^2 \textrm{ pair } \Rightarrow n \textrm{ pair}$ .

Réponse :

On démontre la contraposée à savoir si $n \in \mathbb{N}$ , $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair.

Si $n$ est impair, il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2 \, p + 1$ , donc $n ^2 = 4 \, p ^2 + 4 \, p + 1$ est impair.

3.3. Le raisonnement par l’absurde

On raisonne par l’absurde dans les deux situations suivantes :

$\bullet$ : Pour démontrer que la propriété $Q$ est vraie, on peut supposer que non $Q$ est vraie et aboutir à une contradiction.

$\bullet$ Pour démontrer que l’implication $P \Rightarrow Q$ est vraie, on peut supposer que $P$ et non( $Q$ ) sont vraies en même temps et aboutir à une contradiction

exemple 1
$\sqrt{2}$ est irrationnel.

Démonstration :

On raisonne par l’absurde en supposant que $\sqrt{2}$ est rationnel.

On écrit $\sqrt{2} = \displaystyle \frac {u} {v}$ où $(u , v) \in (\mathbb{N}^*)^2$ .

Puis, en utilisant l’exercice de 2.3., on écrit $u = 2 ^p (2 \, q + 1)$ et $v = 2 ^z (2 \, s + 1)$ où $p,\, q , \, z , \, s \in \mathbb{Z}$ .

En simplifiant par $2 ^p$ si $p \geq z$ et $2 ^z$ si $z < p$ , on peut se ramener au cas où $u$ et $v$ ne sont pas tous les deux pairs.

On a alors $2 \, v^2 = u^2$ .

2 divise $u^2$ donc $u$ est pair, on écrit $u = 2\, u'$ où $u' \in \mathbb{N}^*$ .

$\quad \quad 2 \, v^2 = u^2 \Rightarrow v ^2 = 2 \, (u')^2$ ,

$v ^2$ étant pair, $v$ est pair.

On a obtenu $u$ et $v$ pairs, ce qui est contradictoire avec $u$ et $v$ non tous les deux pairs.

On a donc prouvé que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

On peut démontrer de même que $\sqrt{3}$ est irrationnel après avoir prouvé que tout entier non nul $n$ s’écrit $n = 3 ^p (3\, q + k)$ avec $(p ,\, q) \in \mathbb{N}^2$ et $k \in \{1 , 2\}$ .

Exemple 2

Si $n \in \mathbb {N}^*$ , $\sqrt{n ^2 + 1} \notin \mathbb{N}$ .

Réponse :

On suppose que

$\quad n \in \mathbb{N}^*$ et $p = \sqrt{n ^2 + 1} \in \mathbb{N}$ .

Alors $p^2 = n ^2 + 1$ donc $\quad \quad \quad 1 = (p - n) (p + n)$

$p + n \geq 1 \Rightarrow p - n > 0$ .

$p - n \in \mathbb{N}^*\Rightarrow p - n \geq 1 \Rightarrow p \geq n + 1 \geq 2$

$p + n \geq 3$ et $p - q \geq 2$ donnent $(p - n)(p + n) > 1$ , on aboutit à une contradiction.

On a donc prouvé que $\sqrt{n ^2 + 1} \notin \mathbb{N}$ .

Remarque : on a prouvé qu’il n’existe pas deux entiers successifs strictement positifs qui soient des carrés d’entiers.

Sauriez-vous démontrer que

si $n \in \mathbb{N}^*, \sqrt{n ^2 + 4} \notin \mathbb{N}$ ?

3.4. Le raisonnement par disjonction des cas

$\bullet$ Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$ . Soit $x \in E$ .

Pour prouver l’équivalence : $P(x$ ) est vraie si, et seulement si, $x \in A$ , on peut démontrer :

$\; \; \ast$ si $x \in A$ , $P(x)$ est vraie

$\; \; \ast$ si $x \notin A, \, P(x)$ est fausse.

On a raisonné par disjonction des cas.

$\bullet$ On raisonne aussi par disjonction des cas pour prouver qu’une propriété $P$ est valable sur $E$ , en écrivant que $E = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ et en prouvant que pour tout $k \in [\![1 \, , _, n]\!]$ , la propriété $P(x)$ est vérifiée pour tout $x \in A_k$ .

En général, les ensembles $A_i\,$ sont deux à deux disjoints.

exemple

Pour tout entier naturel $n$ , $n ^3 + 2 n$ est divisible par 3.

Démonstration :

$\ast$ Si $n = 3 \, k$ où $k \in \mathbb{N}$ ,

$n ^3 + 2 \, n = 3 \, k( n ^2 + 2)$ est un multiple de $3$ .

$\ast$ Si $n = 3 \, k + 1$ où $k \in \mathbb{N}$ ,

$n ^3 + 2 \, n = n (9\, k ^2 + 6 \, k + 3)$ $n ^3 + 2 \, n = 3\, n (3\, k ^2 + 2\, k + 1)$ est un multiple de $3$ .

$\ast$ Si $n = 3 \, k + 2$ où $k \in \mathbb{N}$ ,

$n ^3 + 2 \, n = n (9\, k ^2 + 12\, k + 6)$ $n ^3 + 3 \, n = 3 \, n (3 \, k ^2 + 4\, k + 2)$ est un multiple de $3$ .

Par disjonction des cas, $n ^3 + 2 \, n$ est un multiple de 3.

Pour cette démonstration, on a utlisé

$A_1 = \{3\, k , \, k \in \mathbb{N}\}$ , $A_2 = \{3\, k + 1 , \, k \in \mathbb{N}\}$

et $A_3 = \{3\, k + 2 , \, k \in \mathbb{N}\}$ .

3.5. Raisonnement par analyse synthèse en maths sup

$\bullet$ M1 On peut raisonner par analyse synthèse lorsqu’il s’agit de trouver par exemple une fonction $f$ vérifiant une propriété donnée.

On suppose que $f$ existe, on détermine la (ou) les valeurs nécessaires de $f$ .

C’est la partie appelée analyse.

Puis dans la partie synthèse, on vérifie si la ou les éléments $f$ obtenu(s) est (sont) bien solution(s).

Ce type de raisonnement est souvent utilisé en géométrie, lorsque l’on cherche l’ensemble des points $M$ vérifiant une condition.

Exemple 1

Déterminer les fonctions $f$ telles que

$\forall\, (x \,,\, y) \in \mathbb{R}^2,\, f(x - f(y)) = 2 - x - y$

Réponse :

$\bullet$ Analyse

Si $f$ vérifie la condition imposée, en remplaçant $x$ par $x + f(x)$ et $y$ par $x$ , on obtient pour tout réel $x$ ,

$f(x + f(x) - f(x)) = 2 - x - f(x) - x$

soit $f(x) = 2 - f(x) - 2\, x$ donc $f(x) = 1 - x$ .

$\bullet$ Synthèse

Soit $f : x \mapsto 1 - x\,$ .

Si $(x , \, y) \in \mathbb{R}^2$ ,

$f(x - f(y)) = 1 - x + f(y)$ $f(x - f(y)) = 1 - x + (1 - y)$ donc $f(x - f(y)) = 2 - x - y\,$ .

$f$ est solution.

Le problème admet une et une seule solution, $x \mapsto 1 - x\,$ .

$\bullet$ M2 Vous trouverez fréquemment le raisonnement par analyse-synthèse en algèbre linéaire lorsqu’il s’agira de décomposer un élément $f$ comme somme d’un élément $g$ vérifiant une propriété $P$ et d’un élément $h$ vérifiant une propriété $Q$ .

Dans la partie analyse, on suppose que la décomposition $f = g + h$ existe .

En utilisant les propriétés de $g$ et de $h$ , on cherche à trouver $g$ et $h$ (si l’un des éléments est connu, l’autre l’est aussi).

Dans la partie synthèse, on introduit les éléments $g$ et $h$ obtenus dans la partie analyse, on vérifie que $f = g + h$ et que $g$ et $h$ vérifient les conditions imposées.

Exemple 2

Toute une application $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Réponse :

$\bullet$ Analyse

Soit une application $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , on suppose qu’il existe $g$ paire et $h$ impaire définies de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $\quad \quad \quad \quad f = g + h$ .

$\forall \, x \in \mathbb{R}$ , $f(x) = g(x) + h(x)\quad (1)$

On remplace $x$ par $-x$ et on utilise les propriétés de parité de $g$ et $h$ :

$f(-x) = g(-x) + h(-x)$

$f(-x) = g(x) - h(x) \quad (2)$

par demi-somme de (1) et (2) : $g(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) + f(-x)\right )$

par demi-différence de (1) et (2) : $h(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) - f(-x)\right )$ .

$\bullet$ Synthèse

On définit pour tout réel $x$ ,

$\quad \quad g(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) + f(-x)\right )$

$\quad$ et $h(x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(x) - f(-x)\right )$ .

$\ast$ $g$ et $h$ sont deux applications de $\mathbb{R}$ dans lui-même telles que

$\forall \, x \in \mathbb{R},\, g(x) + h(x) = f(x)$ soit $f = g + h$ .

$\ast$ $\forall\, x \in \mathbb{R}$ ,

$\; \; g(-x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(-x) + f(x)\right ) = g(x)$

$g$ est paire.

$\ast$ $\forall\, x \in \mathbb{R}$ ,

$\; \; h(-x) = \displaystyle \frac 1 2 \left ( f(-x) - f(x)\right ) = - h(x)$

$h$ est impaire.

On a donc trouvé une fonction paire $g$ et une fonction impaire $h$ telles que $f = g + h$ .

On peut remarquer l’unicité de la décomposition obtenue dans la partie analyse, puisque l’on a trouvé une unique solution pour $g$ et $h$ .

Exemple

Si $f : x \mapsto \textrm{e} ^x$

$\displaystyle g : x \mapsto \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{ - x} \right)$

et $\displaystyle h : x \mapsto \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{ - x} \right)$ .

On note $g = \textrm{ch}$ (fonction cosinus hyperbolique)

et $h = \textrm{sh}$ (fonction sinus hyperbolique).

3.6. Il est important de prendre le bon départ !

Pour démontrer que sous l’hypothèse $H$ , l’implication $Q \Rightarrow R$ est vraie.

Partant de $Q$ , on cherche à prouver $R$ , en utilisant en cours de raisonne- ment le fait que $H$ est vraie.

Inutile de manipuler dans tous les sens la propriété $H$ , il n’en sortira pas par miracle la propriété $Q \Rightarrow R$ !

Ce type de raisonnement est à utiliser en particulier pour prouver que :

$\ast$ si la propriété $H$ est vérifiée, $\quad \quad \quad ( x \in A \Rightarrow x \in B )$ :

on part de $x \in A$ et on doit arriver à $x \in B$ .

$\ast$ si la propriété $H$ est vérifiée, $\quad \quad ( u(x) = u(y) \Rightarrow x = y )$ :

on part de $u(x) = u(y)$ et on doit arriver à $x = y$ .

$\ast$ si la propriété $H$ est vérifiée, $\quad ( \forall\, y \in F ,\, \exists \, x \in E ,\, y = u(x) )$ :

on part d’un élément quelconque $y \in F$ et on droit trouver $x \in E$ tel que $y = u(x)$ .

Dans chacun des cas, assurez vous de prendre le bon départ !

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