Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours en ligne Maths en Maths Sup

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Cours sur le Calcul des déterminants en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

1. Cours sur le Groupe symétrique du déterminant en MPSI

1.1. Connaître les définitions sur le groupe Symétrique en MPSI

Définition 1 : On dit que $\sigma$ est une permutation de $[\![1,\, n]\!]$ si $\sigma$ est une bijection de $[\![1,\, n]\!]$ sur lui-même.
On peut noter $\quad \sigma = \begin{pmatrix} 1&2&\cdots &n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots &\sigma(n) \end{pmatrix}$ .

Propriété 1 : On note $\mathcal{S}_n$ l’ensemble des permutations de $[\![1,\, n]\!]$ .
$(\mathcal{S}_n \, , \circ)$ est un groupe appelé groupe symétrique d’ordre $n$ .
$\#\, \mathcal{S}_n = n!$ .

Définition 2 : Le support d’une permutation $\sigma \in \mathcal{S}_n$ est l’ensemble $\qquad \{ x \in [\![1,\, n]\!]\, \setminus \, \sigma(x) \neq x\}$ .

Dans la suite, il est noté $\textrm{supp} (\sigma)$ .

Définition 3 : Deux permutations $(\sigma ,\, \sigma') \in \mathcal{S}_n^2$ sont disjointes lorsque $\qquad \quad \textrm{supp} (\sigma) \cap \textrm{supp} (\sigma') = \varnothing$ .

Propriété 2 : Si $(\sigma ,\, \sigma') \in \mathcal{S}_n^2$ sont disjointes, $\sigma \circ \sigma ' = \sigma' \circ \sigma$ .

Définition 4 : $\sigma \in \mathcal{S}_n$ est un cycle si $\exists \, k \in [\![2 , n]\!]$ et $k$ éléments distincts de $[\![1,\, n]\!]$ notés $a_1\, ,\, \cdots \, , \, a_k$ tels que
$\ast$ $\forall\, i \in [\![1 , \, k - 1]\!], \, \sigma(a_i) = a_{i + 1}$ et $\sigma(a_k) = a_1$
$\ast$ $\forall\, x \in [\![1,\, n]\!]\setminus \{ a_1\, ,\, \cdots \, , \, a_k \}$ , $\sigma(x) = x$ .

On dit que $\sigma$ est un cycle de longueur $k$ et $\{a_1\, ,\, \cdots \, , \, a_k \}$ est le support du cycle.

On écrit $\sigma = (a_1\, \, \cdots \, \, a_k )$ .
mais aussi pour tout $i \in [\![2, \, k]\!]$ ,
$\quad \sigma = (a_i\, \, \cdots \, \, a_k \, \, a_1\, \, \cdots \, \, a_{i - 1} )$ .

Propriété 3 : Un cycle de longueur $k$ est d’ordre $k$ c’est -à-dire $\sigma ^k = \textrm{Id}_{[[1,n]]}$ et si $1 \leq i \leq k - 1, \, \sigma^i \neq \textrm{Id}_{[[1,n]]}\,$ .

Définition 5 : Un cycle de longueur 2 est appelé transposition. Il existe donc deux éléments distincts $i$ et $j$ de $[\![1,n]\!]$ tels que : $\sigma(i) = j,\, \sigma(j) = i$
et si $x \in [\![1,n]\!] \setminus \{i,\, j\},\, \sigma(x) = x$ .

On note $\sigma = \tau_{i,\, j} = (i \,\, j)\,$ .

1.2. Décomposition en produit de cycles

Théorème 1 : Toute permutation de $[\![1,\, n]\!]$ différente de $\textrm{Id}$ se décompose d’une et d’une seule façon en produit de cycles de supports disjoints à l’ordre près des facteurs.

1.3. Décomposition en produit de transpositions

Théorème 2 : Toute permutation est le produit de transpositions.
⚠️ : il n’y a pas unicité de la décomposition et les supports ne sont pas nécessairement disjoints
Propriété 4 : $\sigma = (a_1\, \,a_2 \,\, \cdots \, \, a_k)$ ,
$\sigma = (a_1\,\,a_2)\, (a_2\,\, a_3)\,\, \cdots \, (a_{k - 1} \,\, a_k)$ .

1.4.Signature en maths sup

Théorème 3 : ll existe une unique application $\varepsilon : \mathcal{S}_n \to \{ - 1,\, 1\}$ telle que $\forall\, (\sigma,\, \sigma') \in \mathbb{S}_n ^2, \, \epsilon(\sigma \circ \sigma') = \varepsilon(\sigma) \, \varepsilon(\sigma')$ et telle que $\varepsilon(\tau) = - 1$ si $\tau$ est une transposition.

On dit que $\varepsilon(\sigma)$ est la signature de $\sigma$ .
$\sigma$ est paire (resp. impaire) si $\varepsilon (\sigma) = 1$ (resp. $-1$ ).

Théorème 4 : Si $\mathcal{P} = \{ \{i \, , j \} \in [\![1 , n]\!]^2 \, \setminus \, i \neq j \}$
$\varepsilon (\sigma) = \displaystyle \prod _{\{i \, , j \} \in \mathcal{P}} \frac {\sigma(j) - \sigma(i)} {j - i}$ .
Propriété 5 : La signature d’un cycle de longueur $k$ est égale à $(-1) ^{k - 1}$ .
La signature de $\sigma$ est égale à 1 (resp $-1$ ) ssi $\sigma$ est un produit d’un nombre pair (resp. impair) de transpositions.
Propriété 6 : On dit que le couple $(i,\, j)$ tel que $1 \leqslant i < j \leqslant n$ présente une inversion pour $\sigma$ lorsque $\sigma(j) - \sigma(i) < 0$ .
$\varepsilon (\sigma)$ est égal à $(-1) ^{\textrm{Inv} (\sigma)}$ où $\textrm{Inv}(\sigma)$ est le nombre d’inversions de $\sigma$ .

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2. Forme $n$ linéaire alternée du déterminant en Maths Sup

Hypothèses : dans ce paragraphe, $\mathbb{K}$ est le corps des réels ou le corps des complexes et $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ .

Définition : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ – espace vectoriel ; on dit qu’une application $f$ de $E^n$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ est
a) une forme $n$ – linéaire lorsque
$\forall\, k\in [\![1 ,\, n]\!]$ , $\forall\, (a_1 \,,\cdots\, ,\, a_{k - 1}\, ,\, a_{k + 1}\, , \, \cdots \, ,\, a_n) \in E^{n - 1}$ , l’application
$f_k : E \to \mathbb{K}$ , $x \mapsto f(a_1 \,,\cdots\, ,\, a_{k - 1}\,, x \, ,\, a_{k + 1}\, , \, \cdots \, ,\, a_n)$ est linéaire.

Dans le cas $n = 2$ , on dit que $f$ est une application bilinéaire, dans le cas $n = 3$ , on dit que c’est une application trilinéaire.
b) une forme alternée lorsque $\forall \,(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)\in E ^n$ , $x _ i = x_j$ pour $i \neq j \Rightarrow f(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n) = 0$ .

Propriété 1 : Soit $f$ est une forme $n$ -linéaire sur $E$ . Il y a équivalence entre
$\ast$ $f$ est alternée
$\ast$ $\forall\,(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)\in E ^n$ , $f(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$ est changé en son opposé si l’on échange deux vecteurs.
On dit que $f$ est antisymétrique.
$\ast$ pour tout $\sigma \in \mathcal{S}_n$ $\forall\,(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)\in E ^n$
$f(x_{\sigma(1)} \, ,\, \cdots \, ,\, x_{\sigma(n)}) =$ $\qquad \qquad \qquad \varepsilon(\sigma)\, f(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$
Propriété 2 : Si $f$ est une forme $n$ -linéaire alternée sur $E$ , la valeur $f(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$ est inchangée si l’on ajoute à l’un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.

3. Déterminant dans une base en MPSI

Dans tout le paragraphe, $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 2$ .

3.1. Définition d’un déterminant dans une base

Théorème 1 : Soit $\mathcal{B} = (e_1\, , \, e_2\, ,\, \cdots \, ,\, e_n)$ une base de $E$ . Il existe une unique forme $n$ linéaire alternée sur $E$ qui est égale à 1 en $\mathcal{B}$ .
On l’appelle déterminant dans la base $\mathcal{B}$ et on la note $\det_{\mathcal{B}} \,$ .
Théorème 2 : Si $\forall\, j \in [\![1 , \, n]\!]$ , $x _ j = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n a_{i,j} \, e_i\,$
$\textrm{det} _ {\mathcal{B}} (x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$
$\qquad \qquad \quad \displaystyle = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \,\varepsilon(\sigma) \prod _{i = 1} ^n a_{\sigma(i),\, i }$

3.2.Propriétés des déteminants dans une base

$\bullet$ Propriétés du déterminant :

$\ast$ $\textrm{det} _ {\mathcal{B}}$ est $n$ – linéaire.
$\ast$ $\textrm{det} _ {\mathcal{B}} (x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n) = 0$ si deux vecteurs sont égaux.
$\ast$ $\textrm{det} _ {\mathcal{B}} (x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$ est changé en son opposé si l’on échange deux vecteurs.
$\ast$ $\textrm{det} _ {\mathcal{B}} (x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$ est inchangé si l’on ajoute à l’un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.
$\ast$ si $\sigma \in \mathcal{S}_n\,$ , $\forall\,(x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)\in E ^n$ ,
$\det_{\mathcal{B}} (x_{\sigma(1)} \, ,\, \cdots \, ,\, x_{\sigma(n)}) =$ $\qquad \qquad \varepsilon(\sigma)\, \det_{\mathcal{B}} (x_1\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$ .
$\ast$ $\textrm{det} _ {\mathcal{B}} (x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n) \neq 0$ ssi $(x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$ est une base de $E$ .

Propriété : L’ensemble des formes $n$ linéaires alternées sur un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$ est un espace vectoriel de dimension 1 engendré par $\textrm{det} _ {\mathcal{B}}\,$ .
Théorème : Changement de bases
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $n$ , soient $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ deux bases de $E$ . Pour toute famille $\qquad \qquad \mathcal{X} = (x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$
de $n$ vecteurs de $E$ ,
$\quad \quad \det_{\mathcal{B}} (\mathcal{X}) = \det_{\mathcal{B}} (\mathcal{C})\, \det_{\mathcal{C}} (\mathcal{X})$ .

4. Déterminant d’un endomorphisme en MPSI, PCSI et PTSI

Propriété 1 : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ , il existe un unique réel appelé déterminant de $u$ et noté $\det(u)$ tel que pour toute famille $\qquad \mathcal{X} = (x_1\, , \, x_2\, ,\, \cdots \, ,\, x_n)$
de $n$ vecteurs de $E$ et pour toute base $\mathcal{B}$ de $E$ ,
$\quad \quad \det_{\mathcal{B} } (u(\mathcal{X})) = \det (u) \; \det_{\mathcal{B} } (\mathcal{X})$
en particulier $\det (u) = \det_{\mathcal{B} } (u(\mathcal{B}))$ .
Propriété 2 : Si $(u,\, v) \in \mathcal{L}(E)^2$ ,
$\ast$ $\det(u \circ v ) = \det(u)\, \det(v)$
$\ast$ si $\lambda \in \mathbb{K},\, \det(\lambda \, u) = \lambda^n \, \det(u)$ .
Propriété 3 : Si $u \in \mathcal{L}(E)$ , $u$ est un automorphisme de $E$ ssi $\det(u) \neq 0$ .
Et dans ce cas $\det(u ^{- 1} ) = \displaystyle \frac 1 {\det(u)}$ .

5. Déterminant d’une matrice carrée en maths sup

Soit $A = \left ( a_{i,\, j} \right )_{1 \leqslant i\, , \, j \leqslant n}\,$ .
Le déterminant de $A$ , noté $\det(A)$ , est égal à
$\ast$ $\displaystyle \det(A) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \,\varepsilon(\sigma) \prod _{i = 1} ^n a_{\sigma(i),\, i }$
$\ast$ au déterminant des vecteurs colonnes de $A$ dans la base canonique de $\mathbb{K}^n$
$\ast$ au déterminant de l’endomorphisme $u$ canoniquement associé à $A$ .
$\ast$ au déterminant de $v \in \mathcal{L}(E)$ si $A$ est la matrice de $v$ dans une base $\mathcal{C}$ de $E$ .

Propriété 1 : $A ^{\textrm{T}}$ et $A$ ont même déterminant.
Propriété 2 : Si $A$ et $B$ sont deux matrices carrées d’ordre $n$ , $\qquad \det(A\, B) = \det(A)\, \det(B)$ .
Si $\lambda \in \mathbb{K}$ , $\det(\lambda \, A ) = \lambda ^n \, \det(A)$ .
Propriété 3 : $A$ est inversible ssi $\det(A) \neq 0$ et dans ce cas, $\det(A ^{ - 1}) = \displaystyle \frac 1 {\det(A)}$ .

6. Développement suivant une colonne ou une ligne

Dans ce paragraphe, on note $\quad A = (a_{i,j}) _ {1\leqslant i,\, j \leqslant n }\, \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Définition : Soit $(i,\, j) \in [\![1,\, n]\!]^2$ . On appelle :
$\ast$ mineur de $A$ en position $(i ,\, j)$ le déterminant de la matrice carrée $A_{i,\,j}$ d’ordre $n - 1$ obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ . On peut le noter $\det(A _ {i,j} )$ .
$\ast$ cofacteur de $A$ en position $(i ,\, j)$ le scalaire $(-1) ^{i + j} \, \det(A _ {i,\, j} )$ .
$\ast$ comatrice de $A$ , la matrice carrée d’ordre $n$ $\textrm{Com}(A) = (\gamma_{i,\, j} ) _ {1\leqslant i ,\, j \leqslant n}$ avec $\gamma_{i,\, j} = (-1) ^{i + j} \, \det(A _ {i,\, j} )$ .

$\bullet$ développement suivant la ligne $i$
$\det(A) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \, (- 1) ^{i + k } \, a_{i , \, k} \, \det(A _ {i,\, k} )$

$\bullet$ développement suivant la colonne $j$
$\det(A) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \, (- 1) ^{j + k } \, a_{k , \, j} \, \det(A _ {k,\, j} )$

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7. Déterminant de matrices triangulaires par blocs

Propriété 1 : On suppose que $A = \begin{pmatrix} B&C\\0&D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{K})$ où $B$ et $D$ sont carrées.
$\qquad \det(A) = \det(B)\, \det(D)$ .
Propriété 2 : On suppose que $A = \begin{pmatrix} B&0\\C&D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{K})$ où $B$ et $D$ sont carrées.
$\qquad \det(A) = \det(B)\, \det(D)$ .
Propriété 3 : Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des termes diagonaux.

7.1. Déterminant de Vandermonde

La définition et la valeur sont au programme de MPSI, PCSI et PTSI.

7.1.1. Définition déterminant de Vandermonde

Soit $n \in\mathbb{N}$ , $n \geq 2$ .
Soit $(a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n) \in \mathbb{K }^n$ .

Le déterminant de Vandermonde associé à ces $n$ scalaires est noté $V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n)$ et égal aux déterminants
$\quad \; \; \begin{vmatrix} 1&a_1&a_1^2&\cdots &a_1^{n - 1} \\ 1&a_2&a_2^2&\cdots &a_2^{n - 1} \\ \vdots &\vdots & \vdots&\cdots &\vdots\\ 1&a_{n-1} &a_{n-1}^2&\cdots &a_{n-1}^{n - 1} \\ 1&a_{n} &a_{n}^2&\cdots &a_{n}^{n - 1}\end{vmatrix}$ .
ou $\; \; \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots &1\\ a_1&a_2&a_3&\cdots &a_n \\ a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 &\cdots &a_n^2 \\ \vdots &\vdots & \vdots&\cdots &\vdots\\ a_1 ^{n - 1} &a_{2}^{n - 1} &a_{3}^{n - 1}&\cdots &a_{n}^{n - 1} \end{vmatrix}$ .

7.1.2. Valeur déterminant de Vandermonde

$V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n) = \displaystyle \prod _{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_j - a_i)$

Première méthode de calcul : par introduction d’une fonction polynôme

On note si $n \geq 2$ , $H_n$ $V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n) = \displaystyle \prod _{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_j - a_i)$

$\bullet$ Pour $n = 2$ ,
$V(a_1\, ,\, a_2) = \begin{vmatrix} 1&a_1\\1&a_2 \end{vmatrix} = a_2 - a_1\,$ .
Ce qui prouve $H_2\,$ .

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie.
On introduit $x \in \mathbb{R}$ et $P_{n + 1}(x) = V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n\, , \, x)$ en supposant $(a_1 \, ,\, \cdots \, , \, a_n)$ 2 à 2 distincts.

$P_{n + 1}(x) =$ $\; \; \begin{vmatrix} 1&a_1&a_1^2&\cdots &a_1^{n - 1} &a_1^n \\ 1&a_2&a_2^2&\cdots &a_2^{n - 1} &a_2^n \\ \vdots &\vdots & \vdots&\cdots &\vdots\vdots \\ 1&a_{n-1} &a_{n-1}^2&\cdots &a_{n-1}^{n - 1} &a_{n - 1} ^n \\ 1&a_{n} &a_{n}^2&\cdots &a_{n}^{n - 1}&a_n^n \\ 1&x &x^2&\cdots &x^{n - 1}&x^n \end{vmatrix}$
On développe le déterminant suivant la dernière ligne
$P_{n + 1}(x)$ $\qquad =\displaystyle \sum _{k = 1} ^{n + 1} (- 1) ^{k + n} \det(A_{k , n+ 1} ) \, x^{k - 1}$ .

On obtient une fonction polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant $\alpha_n = \det(A_{n + 1,\, n + 1} )$
$\alpha _ n = V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n)$ (ce qui justifie $\alpha_n \neq 0$ ).

On remarque que $\qquad \forall\, k \in [[1, n]],\, P_{n + 1} (a_k ) = 0$
(il y a deux lignes identiques : la ligne $k$ et la ligne $n +1$ ).
Donc $P_{n + 1}(x) = \displaystyle \alpha _ n \prod_{k = 1} ^n ( x - a_k)$
alors $P_{n + 1}(a_n + 1)$
$\quad = \displaystyle V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n)\, \prod_{k = 1} ^n ( a_{n + 1} - a_k)$
$\quad \displaystyle = \prod _{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_j - a_i)\, \prod_{k = 1} ^n ( a_{n + 1} - a_k)$
Le dernier produit est le facteur pour $j = n + 1$ du premier produit,
$P_{n + 1}(a_n + 1)$
$\quad = \displaystyle \prod _{1 \leqslant i < j \leqslant n + 1 } (a_j - a_i)\,$
ce qui donne
$\displaystyle V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_{n + 1} ) =$ $\qquad \quad \qquad \displaystyle \prod _{1 \leqslant i < j \leqslant n + 1 } (a_j - a_i)\,$ .

Le résultat reste valable si $a_i = a_j$ pour $1 \leqslant i < j \leqslant n$ , car il s’écrit $0 = 0$ .
On a établi $H_{n + 1} \,$ .

Deuxième méthode de calcul : par combinaison linéaire de toutes les lignes.

On raisonne aussi par récurrence, avec la même hypothèse de récurrence et cette fois-ci, on suppose $H_{n - 1}$ et on cherche à exprimer
$V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n) =$
$\quad \begin{vmatrix} 1&a_1&\cdots&a_1^{n-2} &a_1^{n - 1} \\ 1 & a_2&\cdots&a_2^{n-2} &a_2^{n - 1} \\ \vdots &\vdots & \cdots&\vdots &\vdots\\ 1&a_{n-1} &\cdots&a_{n - 1} ^{n-2} &a_{n - 1}^{n - 1} \\ 1&a_{n} &\cdots&a_{n}^{n - 2}&a_n^{n - 1}\end{vmatrix}$

On introduit $P = \displaystyle \prod_{k = 1} ^{n - 1} (\textrm{X} - a_k)$ .
On développe $P$ sous la forme $\qquad \qquad P = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n -1} \lambda _ {k } \ \textrm{X} ^{k}$ ,
on remarque que $\lambda _{n - 1} = 1$ .

Puis on utilise l’opération $\qquad C_n \leftarrow C_n + \displaystyle \sum _{k = 0} ^{n - 2} \lambda_k \, C_{k + 1}$
Le terme de la ligne $i$ et de la colonne $n$ est égal à $\displaystyle \sum_{k = 0} ^{n - 2} \lambda _ k \, a_i ^{k} + a_i ^{n - 1} = P(a_i)$ .

$V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n)$
$\quad = \begin{vmatrix} 1&a_1&\cdots&a_1^{n-2} &P(a_1)\\ 1 & a_2&\cdots&a_2^{n-2} &P(a_2) \\ \vdots &\vdots & \cdots&\vdots &\vdots\\ 1&a_{n-1} &\cdots&a_{n - 1} ^{n-2} &P(a_{n-1}) \\ 1&a_{n} &\cdots &a_{n}^{n - 2} &P(a_{n})\end{vmatrix}$
Donc la dernière colonne est formée de $n - 1$ zéros suivis de $P(a_n)$
$\quad = \begin{vmatrix} 1&a_1&\cdots&a_1^{n-2} &0\\ 1 & a_2&\cdots&a_2^{n-2} &0 \\ \vdots &\vdots & \cdots&\vdots &\vdots\\ 1&a_{n-1} &\cdots&a_{n - 1} ^{n-2} &0\\ 1&a_{n} &\cdots &a_{n}^{n - 2} &P(a_{n})\end{vmatrix}$
et en développant suivant la dernière colonne
$\qquad = \displaystyle V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_{n - 1} ) \, . \, P(a_n)$ .

On termine par récurrence en utilisant $H_{n - 1}$ et $P(a_n) = \displaystyle \prod _{k = 1} ^{n - 1} (a_{n } - a_k)$ .

Troisième méthode : en retranchant à chaque colonne $a_1$ fois la colonne précédente en commençant par la fin.

En effectuant les opérations : $C_n \leftarrow C_n - a_1 \, C_{n - 1}\, ,$ $\cdots \, ,$ $C_3 \leftarrow C_3 - a_1\, C_2$ et $C_2 \leftarrow C_2 - a_1\, C_1\,$ ,
$V (a_1 \,,\, a_2 \,,\, \cdots \,,\,a_n) =$
$\begin{vmatrix} 1&0&0&\cdots &0 \\ 1&a_2 - a_1 &a_2(a_2 - a_1)&\cdots &a_2^{n - 2}(a_2 - a_1) \\ \vdots &\vdots & \vdots&\cdots &\vdots\\ 1&a_{n-1} - a_1 &a_{n-1}(a_{n - 1} - a_1) &\cdots &a_{n-1}^{n - 2} (a_{n - 1} - a_1) \\ 1&a_{n} - a_1 &a_{n}(a_n - a_1) &\cdots &a_{n}^{n - 2} (a_{n} - a_ 1) \end{vmatrix}$

On développe suivant la première ligne
$\begin{vmatrix} a_2 - a_1 &a_2(a_2 - a_1)&\cdots &a_2^{n - 2}(a_2 - a_1) \\ \vdots & \vdots&\cdots &\vdots\\ a_{n-1} - a_1 &a_{n-2}(a_{n - 1} - a_1) &\cdots &a_{n-1}^{n - 1} (a_{n - 1} - a_1) \\ a_{n} - a_1 &a_{n}(a_n - a_1) &\cdots &a_{n}^{n - 2} (a_{n} - a_ 1) \end{vmatrix}$
on factorise $a_i - a_1$ en ligne $i - 1$ pour tout $i \in [[2,\, n]]$ ,
$= \displaystyle \prod_{k =2} ^{n } (a_k - a_1) \begin{vmatrix} 1 &a_2&\cdots &a_2^{n - 2} \\ \vdots & \vdots&\cdots &\vdots\\ 1 &a_{n-1} &\cdots &a_{n-1}^{n - 2} \\1 &a_{n} &\cdots &a_{n}^{n - 2} \end{vmatrix}$
$= \displaystyle \prod_{k =2} ^{n } (a_k - a_1) \, V(a_2\, ,\cdots \, ,\, a_{n - 1} \, , \, a_n)$
et on termine par récurrence.

7.2. Déterminant d’une matrice tri-diagonale

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ tri-diagonale, c’est à dire il existe trois scalaires $a,\, b,\, c$ tels que
$\ast$ $a_{i\, , i} = b$ si $i \in [\![1,\, n]\!]$ ,
$\ast$ $a_{i + 1 , \, i} = c$ si $i \in [\![1,\, n - 1 ]\!]$
$\ast$ $a_{i ,\, i + 1 } = a$ si $i \in [\![1,\, n - 1]\!]$
$\ast$ les autres termes étant nuls.

En développant suivant la première colonne, on obtient une suite récurrente linéaire d’ordre 2.

Exemple de calcul du déterminant d’une matrice tri-diagonale

On note donc $\Delta_n= \begin{vmatrix} b&a&0&0&\cdots &0&0\\ c&b&a&0&\cdots &0&0 \\ 0&c&b&a&\ddots & &\vdots\\ \vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots&\ddots &\vdots \\0 & &\ddots &c&b&a&0 \\0 & & &\ddots &c&b&a \\0&0&0&\cdots &0&c&b \end{vmatrix}$

On développe suivant la première ligne

$\Delta _ n = b\; \begin{vmatrix} b&a&0&\cdots &0&0 \\ c&b&a&\ddots & &\vdots\\ \\0 &\ddots &\ddots &\ddots&\ddots &\vdots \\0&\ddots &c&b&a&0 \\0& &\ddots &c&b&a \\0&0&\cdots &0&c&b \end{vmatrix}$

$\qquad \; \; -c\, \begin{vmatrix} a&0&0&\cdots &0&0\\ c&b&a&0 & \cdots &\vdots\\ 0&c&b&a&\ddots &\vdots \\0 &\ddots &\ddots &\ddots&\ddots &\vdots \\0 &\ddots &c&b&a&0 \\0&0&\ddots &c&b&a \\0&0&\cdots &0&c&b \end{vmatrix}$

Le premier déterminant est $\Delta_{n - 1}\,$ .
On développe le deuxième déterminant suivant la première ligne et on obtient un déterminant d’ordre $n - 2$ égal à $\Delta_{n - 2}\,$ .

Si $n \geq 3$ , $\Delta_n = b \,\Delta_{n - 1} - a\, c \, \Delta_{n - 2}\,$ .

C’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 avec $\Delta_1 = b$ et $\Delta_2 = b ^2 - a \, c$ .

7.3. En utilisant le caractère $n$ – linéaire alterné du déterminant

On peut utiliser cette méthode lorsque les différentes colonnes peuvent s’écrire sous la forme $u + a_i \, e_i$ .

Déterminant de la matrice carrée $A$ d’ordre $n$ telle que $\forall\, i \in [\![1,\, n]\!],\, a_{i,i} = c_i$ et $a_{i,j} = b$ si $i \neq j$

On note $\mathcal{B} = (e_1\, ,\, \cdots \, , \, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{K}^n$ , $u = \displaystyle b\, \sum _{i = 1} ^n e_i$ et $\forall\, i \in [[1,\, n]],\, a _ i = c_i - b$ .
Alors $\Delta = \det(A)$ $\Delta = \det_{\mathcal{B}} (u + a_1\, e_1\, ,\, u + a_2\, e_2 \, , \, \cdots \, ,$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, u + a_n\, e_n)$ .

On développe le déterminant par $n$ -linéarité en écrivant
$\ast$ le déterminant ne contenant aucun vecteur $u$
$\ast$ les déterminants contenant une et une seule fois le vecteur $u$ .
$\ast$ les autres déterminants contiennent au moins 2 fois le même vecteur $u$ , donc ils sont nuls

soit
$\Delta = \det_{\mathcal{B}} (a_1\, e_1\, ,\, a_2\, e_2 \, , \, \cdots \, ,\, a_n\, e_n)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle +\, \sum _ {k = 1} ^n \delta_k$
avec si $k \in [[1,\, n]]$ ,
$\delta_k = \det_{\mathcal{B}} (a_1\, e_1\,\cdots \, ,\, a_{k - 1} \, e_{k - 1} \, , u ,$ $\qquad \qquad \qquad \, a_{k + 1} \, e_{k + 1} \, ,\,\cdots ,\, a_n\, e_n)$
par $n$ -linéarité,
$\delta_k = {\displaystyle \prod_{1 \leq i \leq n, i \neq k} } a_i \times D$
avec $D = \det_{\mathcal{B} } ( e_1\,\cdots \, ,\, e_{k - 1} \, , u ,\, e_{k + 1} \,,\cdots ,\, e_n)$
en retranchant au vecteur $u$ le vecteur $\displaystyle \sum_{1\leq i\leq n,i \neq k} b \, e_i\,$ , ce qui donne $b \, e_k$ et ne change pas le déterminant $D$ :
$\det_{\mathcal{B} } ( e_1\,\cdots \, ,\, e_{k - 1} \, , u ,\, e_{k + 1} \,, \cdots ,\, e_n)=$ $\det_{\mathcal{B} } ( e_1\,\cdots \, ,\, e_{k - 1} \, , b \, e_k \, ,\, e_{k + 1} \, \cdots ,\, e_n)$
$D = b \, \det_{\mathcal{B} }(\mathcal{B}) = b$ .

Donc $\Delta = \displaystyle \prod_{i = 1} ^n a _ i + b\; \sum _{k = 1} ^n \; \prod_{1 \leq i \leq n, \,i \neq k} a_i \,$ .
soit
$\Delta= \displaystyle \prod_{i = 1} ^n (c _ i - b)$ $\qquad \qquad \displaystyle +\, b \;\,\sum _{k = 1} ^n\; \prod_{1 \leq i \leq n, \,i \neq k} (c_i - b)$ .

Lorsque $\forall\, i \in [[1 ,\, n]], \, c_i \neq b$ , on peut écrire que :
$\Delta = \displaystyle \left ( 1 + \sum _{k = 1} ^n \frac {b} {c_k - b} \right )\, \prod_{i = 1} ^n (c _ i - b)$ .

Simplifier le résultat lorsque $\forall\, i \in [\![1 , n]\!], \, c_ i = a$ .

$\Delta = \displaystyle \prod_{i = 1} ^n (c _ i - b)$ $\qquad \qquad \displaystyle +\, b \; \sum _{k = 1} ^n \; \prod_{1 \leq i \leq n, \, i \neq k} (c_i - b)$ .
s’écrit
$\Delta = (a- b) ^n + n \, b \, (a - b) ^{n - 1}$
$\Delta = (a - b) ^{n - 1} \left ( a - b + n \, b \right )$ .

7.4. Matrice du déterminant dont la somme des termes de chaque ligne est constante

Utiliser d’abord $C_1 \leftarrow \displaystyle \sum _ {k = 1 } ^n C_k\,$ , pour obtenir une première colonne de termes tous égaux à $\alpha$ .
Puis effectuer des opérations du type $L_i \leftarrow L_i - L_1$ pour obtenir $n - 1$ termes égaux à 0 en première colonne et développer suivant cette colonne.

Exemple : Le déterminant de la matrice carrée d’ordre $n$ dont les termes de la diagonale sont égaux à $a$ et les termes non diagonaux sont égaux à $b$ .

$\Delta_n = \begin{vmatrix} a&b&b&\cdots&b\\b&a&b& &\vdots \\\vdots &b&a& \ddots &\vdots \\ \vdots & & \ddots &\ddots &b \\b&b&\cdots &b&a \end{vmatrix}$ .

Avec $C_1 \leftarrow \displaystyle \sum _ {k = 1 } ^n C_k\,$ ,
si l’on note $\alpha = (n - 1) b + a$ ,
$\Delta_n = \begin{vmatrix} \alpha &b&b&\cdots&b\\\alpha &a&b& &\vdots \\\vdots &b&a& \ddots &\vdots \\ \vdots & & \ddots &\ddots &b \\\alpha &b&\cdots &b&a \end{vmatrix}$
pour tout $i \in [[1\, n]]$ , $L_i \leftarrow L_i - L_1\,$ , on obtient
$\Delta_n = \begin{vmatrix} \alpha &b&b&\cdots&b\\0 &a - b&0& &0 \\\vdots &\ddots &a - b& \ddots &\vdots \\ \vdots & & \ddots &a-b &0 \\0 &0&\cdots &0&a - b \end{vmatrix}$
On obtient une matrice triangulaire supérieure, donc
$\Delta_n = \alpha \, (a - b) ^{n - 1}$
soit $\Delta_n = (a - b) ^{n - 1} \left (a + (n - 1) b \right )$ .

On raisonnera de manière analogue lorsque la somme des termes de chaque colonne est constante.

7.5. En utilisant un déterminant par blocs en maths sup

Calcul de $\Delta = \begin{vmatrix} 1&a&b&ac\\1&b&c&bd\\1&c&d&ac\\1&d&a&bd\end{vmatrix}$

$\Delta = \begin{vmatrix} 1&a&b&ac\\1&b&c&bd\\1&c&d&ac\\1&d&a&bd\end{vmatrix}$

$L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ et $L_4 \leftarrow L_4 - L_2$
$\Delta = \begin{vmatrix} 1&a&b&ac\\1&b&c&bd\\0&c- a&d- b &0\\0&d- b &a-c &0\end{vmatrix}$
puis avec $C_4 \leftrightarrow C_2$
$\Delta = - \begin{vmatrix} 1&ac&b&a\\1&bd&c&b\\0&0&d- b &c- a\\0&0 &a-c &d- b\end{vmatrix}$
C’est le déterminant d’une matrice triangulaire par blocs

$\Delta = - \begin{vmatrix} 1&ac\\1&bd \end{vmatrix} \, . \, \begin{vmatrix} d-b&c-a&\\a-c&d-b \end{vmatrix}$
$\Delta = (ac - bd) \left ( (d-b)^2 + (c-a)^2 \right )$ .

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