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Cours en ligne Maths en Maths Sup

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Cours : Fonctions usuelles en Maths Sup MPSI, PCSI, MP2I et PTSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Résumé de cours et méthodes – Fonctions usuelles en Maths Sup

Plan :

1. Révision des fonctions exponentielle et logarithme.
2. Fonctions puissances
3. Fonctions ch, sh et th
4. Fonctions réciproques des fonctions circulaires
5. Utiliser les fonctions réciproques des fonctions circulaires

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1. Révision des fonctions exponentielle et logarithme

1.1. Bijections réciproques en Maths Sup

$\ln : \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}, x \mapsto \ln(x)$ $\textrm{et } \exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^{+*},\, x\mapsto \textrm{e} ^x$
sont des bijections réciproques l’une de l’autre :
$\quad \quad \left \{ \begin{matrix} x \in \mathbb{R}^{+*} \\ y = \ln(x) \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin{matrix} y \in \mathbb{R}\\ x = \textrm{e} ^{y} \end{matrix} \right.$

1.2. Propriétés des dérivées

$\ast$ La fonction $\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$ et $\forall \, x \in \mathbb{R}^ {+*},\, (\ln)'(x) = \displaystyle \frac 1 x$ .
$\ast$ La fonction $x \mapsto \ln \, \vert x \vert$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ de fonction dérivée : $x \mapsto \displaystyle \frac 1 x$ .
$\ast$ ⚠️ Si $u$ est une fonction dérivable sur $I$ et ne s’annulant pas, la dérivée de $x \mapsto \ln \vert u(x) \vert$ est $x \mapsto \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}$ .

$\ast$ La fonction $x \mapsto \textrm{e} ^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ de fonction dérivée $x \mapsto \textrm{e} ^x$ .
$\ast$ $x \mapsto \textrm{e} ^x$ est la seule fonction vérifiant les conditions
$\quad \forall \, x \in \mathbb{R} , f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$
$\ast$ $f$ vérifie $\forall \, x \in \mathbb{R} , f'(x) = f(x)$ ssi $\exists \, k \in \mathbb{R}, \, \forall\, x \in \mathbb{R}, f(x) = k \, \textrm{e}^x$ .
$\ast$ Si $u$ est une fonction dérivable sur $I$ la fonction dérivée de $x \mapsto \textrm{e} ^{u(x)}$ est $x \mapsto u'(x) \, \textrm{e} ^{u(x)}$ .

1.3. Propriétés algébriques des fonctions usuelles en Maths Sup

$\bullet$ Pour la fonction $\ln$
$\forall\, (x , y) \in ( \mathbb{R}^{+*}) ^2$ ,
$\quad \ast$ $\ln(x \, y) = \ln(x) + \ln(y)$
$\quad \ast$ $\displaystyle \ln\left ( \frac 1 x \right ) = - \ln(x)$
$\quad \ast$ $\displaystyle \ln\left ( \frac x y \right ) = \ln(x) - \ln(y)$
$\quad \ast$ $\forall \, n \in \mathbb{Z}$ , $\ln ( x^n ) = n \, \ln(x)$ .

$\bullet$ Pour la fonction $\exp$
$\forall\, (x , y) \in \mathbb{R}^2$ ,
$\quad \ast$ $\textrm{e} ^{x + y } =\textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^ {y}$
$\quad \ast$ $\displaystyle \textrm{e} ^{ - x} = \frac 1 {\textrm{e} ^{x} }$
$\quad \ast$ $\displaystyle \frac {\textrm{e} ^{x} } {\textrm{e} ^{y} } = {\textrm{e} ^{x - y} }$
$\quad \ast$ $\forall \, n \in \mathbb{Z}$ , $\left ( {\textrm{e} ^{x} } \right ) ^n = {\textrm{e} ^{n \, x} }$ .

1.4. Les limites et inégalités classiques des fonctions usuelles en Maths Sup

$\bullet$ Pour la fonction $\ln$
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim_{x \to 0^ +} \ln(x) = - \infty$
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = 0$
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim_{x \to 0^+ } x \, \ln(x) = 0$
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {\ln(x)} x = 0$
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\ln(1 + x)} x = 1$
$\quad \ast$ $\forall \, x > - 1, \ln(1 + x) \leq x$ .
Le graphe de $\ln$ est situé sous la tangente en $(1,\, 0)$

Démonstration des deux derniers résultats : $\bullet$ Soit $u : x \mapsto \ln(1 + x)$ , $u$ est dérivable en $0$ et $u'(0) = 1$ .
Donc
$\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x)} x = 1$

$\bullet$ On étudie $v : x \mapsto x - \ln(1 + x)$ .
$\displaystyle v'(x) =1 - \frac 1 {1 + x} = \frac {x} {1 + x}$ ,
$v$ est décroissante sur $]- 1\, , 0]$ et croissante sur $[0\, , \, + \infty[$ et admet un minimum en $0$ .

Il suffit d’utiliser

$v(0) = 0$ , pour conclure que

$v(x) \geq 0$ si

$x > - 1$ .

$\bullet$ Pour la fonction exponentielle.
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \textrm{e} ^{x} = 0$
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \textrm{e} ^{x} = +\infty$
$\quad \ast$ $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \, \textrm{e} ^{- x} = 0$
$\quad \ast$ $\forall \, x \in \mathbb{R}, \, \textrm{e} ^{x} \geq 1 + x$
$\quad \ast$ $\displaystyle \; \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{e} ^x - 1 } x = 1$ .
Le graphe de $\textrm{exp}$ est situé au-dessus la tangente en $(0,\, 1)$

Démonstration des deux derniers résultats : $\bullet$ Soit $u : x \mapsto \textrm{e} ^x$ , $u(0) = 1$ , $u$ est dérivable en $0$ et $u'(0) = 1$ .
Donc $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{e}^x - 1} x = 1$ .

$\bullet$ On étudie $v : x \mapsto \textrm{e} ^x - 1 - x$ .
$\displaystyle v'(x) = \textrm{e} ^x - 1$ , $v$ est décroissante sur $]- \infty\, , 0]$ et croissante sur $[0\, , \, + \infty[$ et admet un minimum en $0$ .
Il suffit d’utiliser $v(0) = 0$ pour obtenir : $v(x) \geq 0$ si $x \in \mathbb{R}$ .

Une limite classique
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left ( 1 + \frac x n \right ) ^n = \textrm{e} ^x$ .

Correction : $\bullet$ Le résultat est évident si $x = 0$ .

$\bullet$ On suppose dans la suite que $x \neq 0$ .
On note $\displaystyle u_n = \left ( 1 + \frac x n \right ) ^n$ .
Comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} 1 + \frac x n = 1$ il existe un entier $N$ tel que si $n \geq N$ , $\displaystyle 1 + \frac x n > 0$ , on peut alors calculer $\ln(u_n)$ :
$\ln(u_n) = \displaystyle n \ln \left ( 1 + \frac x n \right )$ .
$\displaystyle \frac {\ln(u_n)} x = \frac {\ln \left ( 1 + \frac x n \right )} {x / n}$
$\displaystyle \lim _{t \to 0} \frac {\ln(1 + t)} t = 1$ donne :
$\quad \quad \displaystyle \lim _{n \to +\infty} \frac {\ln(u_n)} {x} = 1$ $\quad \quad \Rightarrow \displaystyle \lim _{n \to +\infty}\ln(u_n) = x$
Par continuité de la fonction exponen- tielle, $\displaystyle \lim _{n \to +\infty}u_n = \textrm{e} ^x$ .

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2. Fonction puissance des fonctions usuelles

2.1. Définition de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup

Rappel
$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}, x \mapsto x ^n$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}^*, x \mapsto x ^{ - n}$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ .

Définition de la fonction puissance.
On généralise cette définition en posant
$\quad$ si $y\in \mathbb{R}$ et $x > 0$ , $x ^y = \textrm{e} ^{y \, \ln(x)}$ .

2.2. Propriétés algébriques de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup

$\bullet$ $\ast$ si $n \in \mathbb{Z}$ , cette définition coïncide avec $x^n$ lorsque $x > 0$ .
$\ast$ si $y = 1/2$ , cette définition coïncide avec $\sqrt{x}$ lorsque $x > 0$ .
$\ast$ si $y = 1/n$ avec $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 3$ , $x ^{1/n} = \sqrt[n\; ]{x}$ lorsque $x > 0$ .

$\bullet$ si $(\alpha \, , \, \beta ) \in \mathbb{R} ^2$ et $x > 0$
$\displaystyle \frac 1 { x^{\alpha }} = x^{- \alpha }$ $\quad \quad \quad$ $x ^{\alpha \, + \, \beta } = x^{\alpha } \, x ^{ \beta }$

$\bullet$ si $\alpha \in \mathbb{R}$ et $(x\, , \, y) \in (\mathbb{R}^{+ *} )^2$ ,
$\quad \quad \quad \quad (x \, y) ^{\alpha} = x^{\alpha } \, y ^{ \alpha }$

$\bullet$ si $(\alpha \, , \, \beta ) \in \mathbb{R} ^2$ et $x > 0$
$\quad \quad \quad \quad \displaystyle \left ( x^{\alpha } \right ) ^{\beta } = x ^{\alpha \, \beta }$ .

2.3. Propriétés en analyse de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $f_ {\alpha} : x \mapsto x ^{\alpha}$
$\bullet$ Etude lorsque $x \to 0 ^+$ .
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to 0^+ } x ^{\alpha} = \left \{ \begin{matrix} 0 \textrm{ si } \alpha > 0\\ 1 \textrm{ si } \alpha = 0 \\ +\infty \textrm{ si } \alpha < 0 \end{matrix} \right.$
$\ast$ $f_{\alpha}$ est prolongeable par continuité en $0$ par $f_ {\alpha}(0) = 0$ si $\alpha > 0$ , $f_ {\alpha}(0) = 1$ si $\alpha = 0$ .

$\bullet$ Dérivée
$\ast$ Si $x > 0,\, f '_ {\alpha}(x) = \alpha \, x ^{\alpha - 1}$ .
$\ast$ $f_{\alpha}$ est strictement croissante si $\alpha > 0$ et strictement décroissante si $\alpha < 0$ .
$\ast$ Si $\alpha > 0$ , le graphe de $f_{\alpha}$ admet une demi-tangente horizontale en $(0 , 0)$ si $\alpha > 1$ , verticale si $0 < \alpha < 1$ .

$\bullet$ Limite en $+\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x ^{\alpha} = \left \{ \begin{matrix} +\infty \textrm{ si } \alpha > 0\\ 1 \textrm{ si } \alpha = 0 \\ 0 \textrm{ si } \alpha < 0 \end{matrix} \right.$

2.4. Croissance comparée en Maths Sup

$\bullet$ Pour tout $\alpha, \displaystyle \lim _{x \to + \infty} x^{\alpha} \, \textrm{e} ^{-x} = 0$ .

$\bullet$ Pour tout $\alpha > 0$ ,
$\displaystyle \lim _{x \to 0^+ } x^{\alpha} \, \ln(x) = 0$ et $\displaystyle \lim _{x \to + \infty}\frac {\ln(x)} {x^{\alpha}} = 0$

$\bullet$ Pour tout $\alpha > 0$ et $\beta \in \mathbb{R}$ ,
$\quad \quad \displaystyle \lim _{x \to 0^+ } x^{\alpha} \, \vert \ln(x)\vert ^{\beta} = 0$
$\quad \quad \displaystyle \lim _{x \to + \infty}\frac {(\ln(x)) ^{\beta} } {x^{\alpha}} = 0$ .

2.5. Une limite classique de fonctions usuelles en Maths Sup

Si $\alpha \in \mathbb{R}, \,\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {(1 + x) ^{\alpha} - 1} x = \alpha$

Démonstration : Soit

$u : x\mapsto (1 + x)^{\alpha}$ ,

$u(0) = 1$ ,

$u$ est dérivable en

$0$ et

$u'(0) = \alpha$ .
Donc

$\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {(1 + x)^{\alpha} - 1} x$

$\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {(1 + x) ^{\alpha} - 1} x = \alpha$ .

3. Fonctions hyperboliques en Maths Sup

3.1. Définition et propriétés algébriques de fonctions hyperboliques

$\bullet$ On définit pour tout réel $x$ ,
$\quad \textrm{ch}(x) = \displaystyle \frac 1 2\left ( \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{-x} \right)$
$\quad \textrm{sh}(x) = \displaystyle \frac 1 2\left ( \textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{-x} \right)$ .

$\bullet$ Conséquences : pour tout réel $x$ ,
$\quad \ast \, \textrm{ch}(x) + \textrm{sh}(x) = \textrm{e}^x$
$\quad \ast\, \textrm{ch}(x) - \textrm{sh}(x) = \textrm{e}^{- x}$
$\quad \, \ast\, \textrm{ch}^2(x) - \textrm{sh}^2(x) = 1$ .

3.2. Étude de fonctions hyperboliques en Maths Sup

$\bullet$ ch et sh sont respectivement paire et impaire, dérivables avec $\textrm{ch}' = \textrm{sh}$ et $\textrm{ch}' = \textrm{sh}$
ch et sh sont strictement croissantes sur $\mathbb{R}^+$ .
Elles admettent $+\infty$ pour limite en $+\infty$ .

3.3. Fonction tangente hyperbolique en Maths Sup

On définit pour $x \in \mathbb{R}$ , $\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh} (x)} {\textrm{ch}(x)}$
On peut écrire $\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{-x} } {\textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{-x} }$
$\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{2 \, x} - 1 } {\textrm{e} ^{2\, x} + 1 } = \frac {1 - \textrm{e} ^{- 2 \, x}} {1 + \textrm{e} ^{- 2\, x} }$

$\textrm{th}'(x) = \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch}^2(x)} = 1 - \textrm{th}^2(x)$
$\textrm{th}$ est continue, impaire strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et admet $1$ (resp. $- 1$ ) pour limite en $+\infty$ (resp $- \infty$ .)

3.4. Des limites classiques de fonctions hyperboliques

$\bullet$ $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{sh}(x) } x = 1$
$\bullet$ $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{th}(x)} x = 1$
(par utilisation du taux d’accroisse- ment en 0).

3.5. Résultats en exercices des fonctions hyperboliques

Résultat 1
$\ast$ Si $x \geq 0$ et $y = \textrm{ch}(x)$ , $\textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}$
$\ast$ Si $y = \textrm{sh}(x)$ , $\textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}$ .

Démonstration : $\bullet$ Si $x \geq 0$ et $y = \textrm{ch}(x)$ ,
$\textrm{ch}^2(x) - \textrm{sh}^2(x) = 1$ donne
$\textrm{sh}^2(x) = \textrm{ch}^2(x) - 1 = y^2 - 1$
puis comme $\textrm{sh}(x) \geq 0$ si $x \geq 0$ , $\quad \quad \quad \textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}$

$\bullet$ Si $y = \textrm{sh}(x)$ ,
$\textrm{ch}^2(x) - \textrm{sh}^2(x) = 1$ donne
$\textrm{ch}^2(x) = \textrm{sh}^2(x) + 1 = y^2 + 1$
puis comme $\textrm{ch}(x) \geq 0$ , $\textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}$

Résultat 2
$\textrm{ch}$ définit une bijection de $\mathbb{R}^+$ sur $[1 , +\infty[$ et $\textrm{sh}$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur lui-même.
Expression de sa fonction réciproque et dérivabilité.

Correction : $\bullet$ Existence de la réciproque de la fonction ch.
$\ast$ $\textrm{ch}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$ et vérifie $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \textrm{ch}(x) = +\infty$ , donc
$\textrm{ch}$ définit une bijection de $\mathbb{R}^+$ sur $\displaystyle \left [ \textrm{ch}(0) \, , \, \lim_{x \to + \infty} \textrm{ch}(x) \right [ = [1 , +\infty[$ .

$\bullet$ Expression de la réciproque.
$\ast$ Première méthode.
Soit si $y \geq 0$ , $y = \textrm{ch}(x)$ avec $x \geq 0$ .
On a vu que $\textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}$ .
On termine avec $\textrm{e}^{x } = \textrm{ch}(x) + \textrm{sh}(x) = y + \sqrt{y ^2 - 1}$
donc $x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 - 1}\right )$ .

$\ast$ Deuxième méthode (plus compliquée)
Si $y \geq 0$ , on résout l’équation $y = \textrm{ch}(x)$ avec $x \geq 0$ .
On obtient l’équation
$2 \,y = \textrm{e} ^x + \textrm{e} ^{- x}$
$\Leftrightarrow \textrm{e} ^{2 \, x} - 2 \, y \, \textrm{e} ^x + 1 = 0$
L’équation $t ^2 - 2 \, y \, t + 1 = 0$ admet deux solutions :
$t_1 = y + \sqrt{y ^2 - 1}$ et $t_2 = y - \sqrt{y ^2 - 1}$ de somme égale à $2 \, y$ et de produit égal à 1, donc toutes deux positives si $y \geq 0$ et vérifiant donc $0 \leq t_2 \leq 1 \leq t_1\,$ , ce qui donne $\textrm{e}^x = y + \sqrt{y ^2 - 1}$ , soit $x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 - 1}\right )$ .

La fonction réciproque de $\textrm{ch}$ est la bijection de $[1 \,,\, +\infty[$ sur $\mathbb{R}^{+ }$ définie par $\quad \quad y \mapsto \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 - 1}\right )$ .
Elle est notée $\textrm{Argch}$ .

$\bullet$ Dérivée
$\ast$ La fonction $\textrm{ch}$ étant dérivable de dérivée non nulle sur $\mathbb{R}^{+*}$ , $\textrm{Argch}$ est dérivable sur $]1 , \, + \infty[$ et
$\quad \quad \textrm{Argch}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\textrm{sh}(\textrm{Argch}(y))}$
en notant $x = \textrm{Argch}(y)$ soit $y = \textrm{ch}(x)$ , on a vu que
$\textrm{sh}(\textrm{Argch}(y)) = \textrm{sh}(x) = \sqrt{y ^2 - 1}$
donc $\textrm{Argch}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{y ^2 - 1}}$ .

Résultat 3
$\textrm{sh}$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur lui-même.
Expression de sa fonction réciproque et dérivabilité.

Démonstration : $\bullet$ Existence de la réciproque de la fonction sh.
$\textrm{sh}$ est continue et strictement croissan- te sur $\mathbb{R}$ et vérifie $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \textrm{sh}(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \textrm{sh}(x) = - \infty$ ,
donc $\textrm{sh}$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\displaystyle \left ] \lim_{x \to - \infty} \textrm{sh}(x) \, , \, \lim_{x \to + \infty} \textrm{sh}(x) \right [ = \mathbb{R}$ .

$\bullet$ Calcul de la réciproque
$\ast$ Première méthode (plus simple).
On a vu que si $y \in \mathbb{R}$ , $\textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}$
On termine avec $\textrm{e}^{x} = \textrm{ch}(x) + \textrm{sh}(x) = y + \sqrt{y ^2 + 1}$
donc $x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 + 1}\right )$ .

$\ast$ Deuxième méthode (plus lourde)
Si $y \in \mathbb{R}$ , on résout l’équation $y = \textrm{sh}(x)$ .
On obtient l’équation
$2 \, y = \textrm{e} ^x - \textrm{e} ^{- x}$
$\Leftrightarrow \textrm{e} ^{2 \, x} - 2 \, y\, \textrm{e} ^x - 1 = 0$
L’équation $t ^2 - 2 \, y \, t - 1 = 0$ admet deux solutions
$t_1 = y - \sqrt{y ^2 + 1} < 0$ et $t_2 = y + \sqrt{y ^2 + 1}> 0$
$\textrm{e}^x = y + \sqrt{y ^2 + 1}$ , soit $x = \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 + 1}\right )$ .

La fonction réciproque de $\textrm{sh}$ est la bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ définie par $\quad \quad y \mapsto \ln \left ( y + \sqrt{y ^2 + 1}\right )$ .
Elle est notée $\textrm{Argsh}$

$\bullet$ Dérivée
La fonction $\textrm{sh}$ étant dérivable de dérivée non nulle sur $\mathbb{R}$ , $\textrm{Argsh}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$\textrm{Argsh}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\textrm{ch}(\textrm{Argsh}(y))}$
en notant $x = \textrm{Argsh}(y)$ soit $y = \textrm{sh}(x)$ , on a vu que
$\textrm{ch}(\textrm{Argsh}(y)) = \textrm{ch}(x) = \sqrt{y ^2 + 1}$
donc $\textrm{Argsh}'(y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{y ^2 + 1}}$ .

Résultat 4
Montrer que la fonction th admet une fonction réciproque, la déterminer et calculer sa dérivée.

Démonstration : $\bullet$ Existence
$\textrm{th}$ est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et admet $1$ (resp. $- 1$ ) pour limite en $+\infty$ (resp $- \infty$ .)
$\textrm{th}$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $] - 1 \, , \, 1[$ .

$\bullet$ Calcul
On résout $y = \textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{2 \, x} - 1 } {\textrm{e} ^{2\, x} + 1 }$
ssi $(\textrm{e} ^{2 \, x} + 1) \, y = \textrm{e} ^{2\, x} - 1$
ssi $\textrm{e} ^{2\, x} (1 - y) = 1 + y$
ssi $\displaystyle \textrm{e} ^{2\, x} = \frac {1 + y} {1 - y}$
ssi $2 \, x = \displaystyle \ln \left ( \frac {1 + y} {1 - y} \right )$
ssi $x = \displaystyle \frac 1 2 \ln \left ( \frac {1 + y} {1 - y} \right )$ .

La fonction réciproque de la fonction $\textrm{th}$ notée $\textrm{Argth}$ est définie sur $] - 1 \, , \, 1[$ par $y \mapsto \displaystyle \frac 1 2 \ln \left ( \frac {1 + y} {1 - y} \right )$ .

$\bullet$ Dérivée
Sa dérivée est $\; \; y\mapsto \displaystyle \frac 1 2 \left ( \frac {1} {1 + y} + \frac 1 {1 - y} \right ) = \frac 1 {1 - y ^2}$ .

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4. Fonctions réciproques des fonctions circulaires en Maths Sup

4.1. Fonction Arcsinus en Maths Sup

$\bullet$ La fonction $\sin$ définit une bijection strictement croissante de $[ - \pi/2 \, , \, \pi/2]$ sur $[-1 ,\, 1]$ .
Sa fonction réciproque $\textrm{Arcsin}$ est une bijection strictement croissante de $[- 1 , 1]$ à valeurs dans $[ - \pi/2 \, , \, \pi/2]$ , dérivable sur $]- 1\, , \, 1[$ .
$\forall\, x \in\, ]- 1,\, 1[, \, \textrm{Arcsin}'(x) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}$
La fonction Arcsinus est impaire.

$\left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arcsin}(x) \\ x \in [- 1\, , \, 1] \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \sin(y) \\ y \in [- \pi/2\, , \, \pi/2] \end{matrix} \right.$

⚠️ $\forall\, x \in [- 1 , 1], \, \sin(\textrm{Arcsin}(x)) = x$
alors qu’il faudra faire attention
$\quad \quad \textrm{Arcsin}(\sin(x)) = x$
$\quad \quad \Leftrightarrow x \in [- \pi/2\, , \, \pi/2]$
👍 le « A » situé en début d’expression dans $\textrm{Arcsin}(\sin(x))$ doit vous mener à faire Attention alors qu’il n’est pas nécessaire de faire attention lorsqu’il est « caché » dans $\sin(\textrm{Arcsin}(x))$ .

👍 On peut retenir : Arcsin $(x)$ est l’arc de $[- \pi/2\, , \, \pi/2]$ dont le sinus est égal à $x$ .

$\bullet$ Si $y = \textrm{Arcsin}(x)$ , $\cos (y) = \sqrt {1 - x ^2}$
car $\cos^2(y) = 1 - \sin^2(y) = 1 - x^2$ et $\cos(y) \geq 0$ lorsque $\vert y \vert \leq \pi/2$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{Arcsin}(x) } x = 1$ .

4.2. Arccosinus en Maths Sup

$\bullet$ La fonction $\cos$ définit une bijection strictement décroissante de $[0 \, , \, \pi]$ sur $[-1 ,\, 1]$ .
Sa fonction réciproque $\textrm{Arccos}$ est une bijection strictement décroissante de $[- 1 , 1]$ à valeurs dans $[0 \, , \, \pi]$ , dérivable sur $]- 1\, , \, 1[$ et
$\forall\, x \in\, ]- 1,\, 1[, \, \textrm{Arccos}'(x) = \displaystyle \frac {-1} {\sqrt{1 - x^2}}$

$\left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arccos}(x) \\ x \in [- 1\, , \, 1] \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \cos(y) \\ y \in [0\, , \, \pi] \end{matrix} \right.$ .

⚠️ $\forall\, x \in [- 1 , 1], \, \cos(\textrm{Arccos}(x)) = x$
alors qu’il faudra faire attention
$\; \; \textrm{Arccos}(\cos(x)) = x$ $\Leftrightarrow x \in [0\, , \, \pi]$ .

👍 le « A » situé en début d’expression dans $\textrm{Arccos}(\cos(x))$ doit vous mener à faire Attention alors qu’il n’est pas nécessaire de faire attention lorsqu’il est « caché » dans $\cos(\textrm{Arccos}(x))$ .

$\ast$ $\forall \, x \in [- 1 , 1] ,$ $\quad \quad \quad \, \textrm{Arccos}(-x) = \pi - \textrm{Arccos}(x)$ .

👍On peut retenir : Arccos $(x)$ est l’arc de $[0\, , \, \pi]$ dont le cosinus est égal à $x$ .

$\bullet$ Si $y = \textrm{Arccos}(x)$ , $\sin (y) = \sqrt {1 - x ^2}$
car $\sin^2(y) = 1 - \cos^2(y) = 1 - x^2$ et $\sin(y) \geq 0$ lorsque $0 \leq y \leq \pi$ .

$\bullet$ $\forall \, x \in [-1\, , \, 1],$ $\quad \quad \quad \textrm{Arcsin}(x) + \textrm{Arccos}(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2$ .

4.3. Arctangente en Maths Sup

$\bullet$ La fonction $\tan$ définit une bijection strictement croissante de $] - \pi/2 \, , \, \pi/2[$ sur $\mathbb{R}$ .
Sa fonction réciproque $\textrm{Arctan}$ est une bijection strictement croissante de $\mathbb{R}$ à valeurs dans $] - \pi/2 \, , \, \pi/2[$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$\quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \, \textrm{Arctan}'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x^2}$

$\quad \quad \quad \left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arctan}(x) \\ x \in \mathbb{R} \end{matrix} \right.$
$\quad \quad \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \tan(y) \\ y \in \; ]- \pi/2\, , \, \pi/2[ \end{matrix} \right.$

⚠️ $\forall\, x \in \mathbb{R}, \, \tan(\textrm{Arctan}(x)) = x$
alors qu’il faudra faire attention
$\quad \quad \quad \textrm{Arctan}(\tan(x)) = x$ $\quad \quad \Leftrightarrow x \in ]- \pi/2\, , \, \pi/2[$
👍 le « A » situé en début d’expression dans $\textrm{Arctan}(\tan(x))$ doit vous mener à faire Attention alors qu’il n’est pas nécessaire de faire attention lorsqu’il est « caché » dans $\tan(\textrm{Arctan}(x))$ .

$\ast$ La fonction Arctangente est impaire.

👍 On peut retenir : Arctan $(x)$ est l’arc de $]- \pi/2\, , \, \pi/2 [$ dont la tangente est égale à $x$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\textrm{Arctan}(x) } x = 1$ .

$\bullet$ Si $y = \textrm{Arctan}(x)$ , $\quad \quad \cos (y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt {1 + x ^2}}$
$\quad \quad \sin (y) = \displaystyle \frac x {\sqrt {1 + x ^2}}$ .

Démonstration des 2 derniers résultats : $\bullet$ Soit $u : x \mapsto \textrm{Arctan} (x)$ , $u(0) = 1$ , $u$ est dérivable en $0$ et $u'(0) = 1$ .
Donc $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{Arctan} (x)} x = 1$

$\bullet$ On note $y = \textrm{Arctan}(x)$ .
$\cos^2(y) = \displaystyle \frac 1 {1 + \tan^2(y)} = \frac 1 {1 + x^2 }$ et $\cos(y) > 0$ lorsque $\vert y \vert < \pi/2$ .
Puis $\sin(y) = \tan(y) \, \cos(y) = x \, \cos(y)$ .
$\Rightarrow \cos (y) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt {1 + x ^2}}$
et $\sin (y) = \displaystyle \frac x{\sqrt {1 + x ^2}}$ .

$\bullet$ $\forall \, x > 0, \displaystyle \textrm{Arctan} x + \textrm{Arctan} \frac 1 x = \frac {\pi} 2$
$\forall \, x < 0, \displaystyle \textrm{Arctan} x + \textrm{Arctan} \frac 1 x = - \frac {\pi} 2$
(démonstration dans le § suivant)

5. Utiliser les fonctions réciproques des fonctions circulaires

5.1. Résoudre une équation avec des fonctions circulaires en Maths Sup

Soit à résoudre une équation du type $f(x) = a$ où $f$ contient des fonctions circulaires réciproques.
$\bullet$ Vérifier que l’équation admet au moins une solution (en général en étudiant les variations de $f$ et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires ou le théorème de la bijection). En déterminer le nombre et éventuellement les encadrer.
$\bullet$ Commencer par un raisonnement par analyse, calculer le sinus, le cosinus ou la tangente de l’équation écrite sous une forme éventuellement transformée pour que les calculs soient simples.
On obtient des conditions nécessaires sur les valeurs des solutions.
$\bullet$ Si le nombre de solutions obtenues dans la partie analyse est égal au nombre de solutions attendues, on a obtenu les solutions et le problème est résolu.
Si l’on obtient plus de valeurs que de solutions attendues, il faut « faire le tri » et ne retenir en synthèse que les solutions convenables. En général on peut conclure par des arguments d’encadrement.

Exemple
Résoudre $\; \; \textrm{Arctan}(x) + \textrm{Arctan} (2 \, x) = \displaystyle \frac {2 \, \pi} 3$ .

Correction : $\bullet$ Existence d’une solution
La fonction $f : x \mapsto \textrm{Arctan}(x) + \textrm{Arctan} (2 \, x)$ est continue sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante comme somme de deux fonctions strictement croissantes. Elle admet $\pi$ (resp. $-\pi$ ) pour limite en $+\infty$ (resp. en $-\infty$ ).
Elle définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]- \pi \, , \, \pi[$ .
Comme $f(0) = 0$ , il existe un unique $a > 0$ tel que $f(a) = 2 \, \pi / 3$ .

$\bullet$ Recherche de valeurs nécessaires.
$f(a) = \displaystyle \frac {2 \, \pi } 3$ donne
$\displaystyle \tan( \textrm{Arctan}(a ) + \textrm{Arctan}(2 \, a ) = \tan \left ( \frac {2 \, \pi } 3 \right )$
en utilisant $\quad \tan(x + y) = \displaystyle \frac {\tan(x) + \tan(y)} {1 - \tan(x) \, \tan(y)}$ ,
on obtient :
$\displaystyle \tan( \textrm{Arctan}(a ) + \textrm{Arctan}(2 \, a )) = \tan \left ( \frac {2 \, \pi } 3 \right )$
$\Rightarrow \displaystyle \frac {a + 2 \, a} {1 - 2 \, a ^2} = - \frac {1} {\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2 \, a^2 - 3 \, \sqrt{3} \, a - 1 = 0$
Cette équation admet deux solutions $a _ 1 = \displaystyle \frac {3 \, \sqrt{3} + \sqrt{35}} 4$ et $a _ 2 = \displaystyle \frac {3 \, \sqrt{3} - \sqrt{35}} 4$

$\bullet$ Fin du raisonnement
On avait prouvé l’existence et l’unicité de la solution de l’équation et prouvé que $a > 0$ .
On a trouvé deux valeurs nécessaires $a_1 > 0$ et $a_2 < 0$ .
La solution de l’équation est donc $a_1$ soit $\displaystyle \frac {3 \, \sqrt{3} + \sqrt{35}} 4$ .

5.2. Transformer une expression avec des fonctions circulaires en Maths Sup

Soit $f(x)$ l’expression à transformer.

$\bullet$ Commencer par chercher le domaine de définition de la fonction $f$ , éventuellement restreindre le domaine d’étude en faisant appel à des considérations de parité.
Dans la suite, on note $\Delta$ l’ensemble sur lequel on veut simplifier $f$ .

$\bullet$ M1. Si $\Delta \subset [ - 1 \, , \, 1]$ , à vous de choisir entre les changements de variables $\; \; y = \textrm{Arccos}(x)$ ou $y = \textrm{Arcsin}(x)$ ,
Sinon, poser $y = \textrm{Arctan}(x)$ .
Dans les deux cas, préciser l’ensemble de définition $\Delta$ de $x$ et $\delta$ de $y$ .
Utiliser vos formules de trigonométries préférées pour simplifier l’équation et terminer en donnant les résultats en fonction de $x$ .
⚠️ $y$ n’est qu’une variable auxiliaire qui doit disparaître dans les résultats à la fin.

$\bullet$ M2. Il est possible aussi de chercher à dériver (en précisant bien le domaine $\Delta '$ où l’on dérive), simplifier l’expres- sion de $f'(x)$ et en reconnaissant la dérivée d’une fonction $g$ simple, on peut utiliser le résultat suivant :

Soient $I$ un intervalle et $J$ l’intervalle $I$ privé de ses bornes.
Si les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et dérivables sur $J$ et si $\quad \quad \quad \forall\, x \in J, \, f'(x) = g'(x)$ ,
alors $f - g$ est constante sur $I$ .
On détermine cette constante, en calculant $f(c) - g(c)$ où $c \in I$ ou en cherchant la limité de $f - g$ en l’une des bornes de $I$ .

Exemple
En utilisant la première méthode, calculer $\textrm{Arctan} \displaystyle \,\frac 1 x$ .

Correction : $f(x) = \textrm{Arctan} \, \displaystyle \frac 1 x$ est défini ssi $x \in \mathbb{R}^*$
$\forall\, x \in \mathbb{R}^*, \, f(-x) = - f(x)$ .
On simplifie $f(x)$ pour $x \in \mathbb{R}^{+*}$ .

$\left \{ \begin{matrix} y = \textrm{Arctan}(x) \\ x \in \mathbb{R}^{+*} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left \{ \begin{matrix} x = \tan(y) \\ y \in \; ]0\, , \, \pi/2[ \end{matrix} \right.$
$f(x) = \displaystyle \textrm{Arctan} \left ( \frac 1 {\tan(y)} \right )$ $\displaystyle f(x) = \textrm{Arctan} \left ( \tan \left ( \frac {\pi} 2 - y \right ) \right )$
Puis comme $\displaystyle \frac {\pi} 2 - y \in \left ]0 , \frac {\pi} 2 \right [$ ,
$f(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2 - y =\frac {\pi} 2 - \textrm{Arctan} (x)$
donc $\forall \, x > 0, \displaystyle \textrm{Arctan} \,x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = \frac {\pi} 2$ .

On en déduit puisque $f$ est impaire :
$\forall \, x < 0, \displaystyle \textrm{Arctan} \, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = - \frac {\pi} 2$ .

Exemple
En utilisant une dérivée, calculer $\displaystyle \textrm{Arctan} \, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x$ .

Correction : On note si $x \neq 0$ , $\quad \quad f(x) = \displaystyle \textrm{Arctan} \, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x$ .
$f$ est impaire et dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$ .

Si $x > 0, \, f'(x) = \displaystyle \frac {1} {1 + x^2} - \frac 1 {x^2} \, \frac {1} {1 + 1/x^2}$
$f'(x) = \displaystyle \frac {1} {1 + x^2} - \frac {1} {x ^2 + 1} = 0$ .
$f$ est donc constante sur $\mathbb{R}^{+*}$ .
Pour déterminer cette constante,
$\ast$ on peut utiliser $f(1) = 2 \textrm{Arctan}(1) = \displaystyle \frac {\pi} 2$
$\ast$ ou utiliser la limite de $f$ en $+\infty$ : cette limite est égale à $\displaystyle \frac {\pi} 2$ .
Les deux calculs donnent
$\quad \quad \quad \forall x > 0, \, f(x) = \displaystyle \frac {\pi} 2$ .
Puis comme $f(x) = - f(-x)$ ,
si $x < 0, \, f(x) = \displaystyle \frac {- \pi} 2$ .

On a donc redémontré que
$\forall \, x > 0, \, \displaystyle \textrm{Arctan} \,\, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = \frac {\pi} 2$
$\forall \, x < 0, \, \displaystyle \textrm{Arctan} \,\, x + \textrm{Arctan} \, \frac 1 x = - \frac {\pi} 2$ .

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1. Révision des fonctions exponentielle et logarithme

1.1. Bijections réciproques en Maths Sup

1.2. Propriétés des dérivées

1.3. Propriétés algébriques des fonctions usuelles en Maths Sup

1.4. Les limites et inégalités classiques des fonctions usuelles en Maths Sup

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2. Fonction puissance des fonctions usuelles

2.1. Définition de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup

2.2. Propriétés algébriques de puissance de fonctions usuelles en Maths Sup

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2.4. Croissance comparée en Maths Sup

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3. Fonctions hyperboliques en Maths Sup

3.1. Définition et propriétés algébriques de fonctions hyperboliques

3.2. Étude de fonctions hyperboliques en Maths Sup

3.3. Fonction tangente hyperbolique en Maths Sup

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3.5. Résultats en exercices des fonctions hyperboliques

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