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Cours : Fractions rationnelles en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Fractions rationnelles en Maths Sup

Plan :

1. Utiliser les propriétés et définitions
2. Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}$
3. Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}$
4. Méthodes de calcul.

1. Utiliser les propriétés et définitions

1.1. Propriétés de $\mathbb{K}(\textrm{X})$
$\mathbb{K}$ désigne un corps commutatif ( $\mathbb{Q} \,,\, \mathbb{R}\,, \, \mathbb{C})$ .

$\mathbb{K}(\textrm{X})$ est l’ensemble des fractions rationnelles, soit l’ensemble des quotients $\displaystyle \frac P Q$ où $\quad (P , \, Q) \in \mathbb{K}[\textrm{X} ] \times \left ( \mathbb{K}[\textrm{X} ] \setminus \{0\} \right)$
$\bullet$ $\displaystyle \frac P Q = \frac R S \Leftrightarrow P \, S = Q \, R$ .
On dit alors que $\displaystyle \frac P Q$ et $\displaystyle \frac R S$ sont deux représentants de la fraction rationnelle.
$\bullet$ $\mathbb{K}[\textrm{X} ] \subset \mathbb{K}(\textrm{X} )$
$\bullet$ $\mathbb{K}(\textrm{X})$ est un corps commutatif, l’addition et la multiplication étant définies :
Si $\displaystyle \frac {P} {Q}$ et $\displaystyle \frac {R} {S}$ sont éléments de $\mathbb{K}(\textrm{X})$
$\quad \ast$ $\displaystyle \frac {P} {Q} + \frac {R} {S} = \frac {P \, S + Q \, R} {Q \, S}$ .
$\quad \ast$ $\displaystyle \frac {P} {Q} \times \frac {R} {S} = \frac {P \, R} {Q \, S}$

$\bullet$ Si $F \in \mathbb{K}(\textrm{X})$ et $F\neq 0$ , il existe un unique couple $(P , Q) \in \mathbb{K} [\textrm{X} ]^2$ tel que
$\quad \ast$ $P \, Q \neq 0$ ,
$\quad \ast$ $P$ et $Q$ n’ont pas de racine commu- ne dans $\mathbb{K}$
$\quad \ast$ $Q$ est unitaire.
On dit que $\displaystyle \frac P Q$ est la forme irréductible de $F$ .
Au second semestre, on dira que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\mathbb{K}[\textrm{X} ]$ .
Toute autre représentation de $F$ est de la forme $\displaystyle \frac {P \, U} {Q \, U}$ où $U \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]$ , $U \neq 0$ .

1.2. Pôles
$\bullet$ Soit $\displaystyle \frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]$ écrite sous forme irréductible.
$\ast$ Le nombre de racines dans $\mathbb{K}$ de $Q$ est un ensemble fini $\Delta$ fini.
On définit la fonction rationnelle associée à $\displaystyle \frac P Q$ par $\quad \quad F : \mathbb{K} \setminus \Delta \to \mathbb{K}, \, x \mapsto \displaystyle \frac {P(x)} {Q(x)}$ .
$\ast$ Si $F = \displaystyle \frac U V$ et si $V(x) \neq 0$ , $F(x) = \displaystyle \frac {U(x)} {V(x)}$ .

$\bullet$ Soit $\displaystyle R = \frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]$ écrite sous forme irréductible.
Les pôles de $R$ sont les racines dans de $Q$ .
Si $a$ est racine d’ordre $k$ de $Q$ dans $\mathbb{K}$ , on dit que $a$ est pôle d’ordre $k$ de $R$ .
$\ast$ Si $k = 1$ , on dit que $a$ est un pôle simple.
$\ast$ Si $k = 2$ , on dit que $a$ est un pôle double.

1.3. Degré
$\bullet$ Soit $F = \displaystyle \frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]$ .
$\ast$ si $F\neq 0$ , le degré de $F$ est défini par $\textrm{deg } (F) = \textrm{deg } (P) - \textrm{deg } (Q) \in \mathbb{Z}$
$\ast$ si $F = 0$ , on pose $\textrm{deg}(F) = - \infty$ .

$\bullet$ Si $F$ et $G$ sont deux fractions rationnelles, $\; \; \textrm{deg }(F + G) \leq \max \left ( \textrm{deg } F\, ,\, \textrm{deg } G \right )$ .

1.4. Partie entière
$\bullet$ Soit $\displaystyle F =\frac P Q \in \mathbb{K}[\textrm{X} ]$ , il existe $E \in \mathbb{K} [\textrm{X} ]$ et $R \in \mathbb{K}(X)$ uniques tels que $\displaystyle \frac P Q = E + G$ avec $\textrm{deg } (G) < 0$ .
$\ast$ On dit que $E$ est la partie entière de $F$ . $E$ est égal au quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ .
$\ast$ $G = \displaystyle \frac {R} Q$ où $R$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$ .

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2.Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}$

Soit $\displaystyle F = \frac P Q$ une fraction irréductible non nulle à coefficients dans $\mathbb{C}$ .

On décompose $Q$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb{C} [\textrm{X}]$ : $\quad \quad \quad Q = \displaystyle \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k}$ .

Il existe un unique $E \in \mathbb{C} [\textrm{X} ]$ et une unique famille de complexes $\quad \quad (\lambda _ {j , k} ) _ {(j , k) \in [\![1 , \alpha _ k]\!] \times [[1 ,\, n]]}$
tels que
$\quad \displaystyle \frac P Q = E+ \sum _ {k = 1} ^n \left ( \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , k }} {(\textrm{X} - a_k) ^j} \right )$
De plus $\displaystyle \prod _{k = 1 } ^{n} \lambda_{\alpha _ k\, , \, k } \neq 0$ .
$E$ est la partie entière de la fraction $F$ .

$\displaystyle \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , \alpha_k} } {(\textrm{X} - a_k) ^j}$ est la partie polaire relative au pôle $a_k$ .
h.p : $\lambda_{1 , k}$ est le résidu (d’ordre 1) du pôle $\alpha_k\,$ .

3. Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}$

Soit $F = \displaystyle \frac P Q$ une fraction irréductible non nulle à coefficients dans $\mathbb{R}$ .

On décompose $Q$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb{R} [\textrm{X}]$ :
$\displaystyle \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k} \prod _{k = 1} ^r (\textrm{X} ^2 + p_k \, \textrm{X} + q_k) ^{\beta _ k}$
avec $p_k^2 - 4 \, q _k < 0$ si $1\leq k \leq r$ .

Il existe un unique $E \in \mathbb{C} [\textrm{X} ]$ et trois uniques familles de réels $(\lambda _ {i , k} ) _ {(i , k) \in [\![1 , \alpha _ k]\!] \times [\![1 ,\, n]\! ]}$
et $(u _ {i , k}\, , \; v_{i,k} ) _ {(i , k) \in [\! [1 , \beta _ k]\!] \times [\![1 ,\, r]\!]}$ tels que
$\displaystyle \frac P Q = E+ \sum _ {k = 1} ^n \left ( \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , k} } {(\textrm{X} - a_k) ^j} \right )$ $\quad \quad \quad \displaystyle + \,\sum _ {k = 1} ^n \left (\sum _ {j = 1} ^r \frac {u_{j ,k} \,\textrm{X} + v_{j,k} } { (\textrm{X} ^2 + p_k \, \textrm{X} + q_k) ^{j} } \right )$ .

4. Méthodes de calcul

$\bullet$ $E$ est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ , donc $E = 0$ si $\textrm{deg} (P/Q) < 0$ .

$\bullet$ Si $a$ est pôle simple de la fraction $\displaystyle \frac P Q$ ,
la partie polaire relative à $a$ est $\displaystyle \frac {\lambda} {\textrm{X} - a}$ avec $\lambda = \displaystyle \frac {P(a)} {Q'(a)}$ .

$\bullet$ Soit $\displaystyle \frac P Q \in \mathbb{R}(\textrm{X})$ décomposée en éléments simples dans $\mathbb{C} (\textrm{X})$ .
Si $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ est pôle d’ordre $\alpha$ de la fraction $\displaystyle \frac P Q \in \mathbb{R}(\textrm{X})$ , la partie polaire relative à $\overline {a}$ est la conjuguée de la partie polaire relative à $a$ .

$\bullet$ Si $a$ est pôle d’ordre $\alpha$ de la fraction irréductible $\displaystyle \frac P Q$ , si $Q = (X - a) ^{\alpha} \, Q_1$ alors le terme $\displaystyle \frac {\lambda _ {\alpha} } {(\textrm {X} - a) ^\alpha}$ se calcule par $\lambda _ {\alpha } = \displaystyle \frac {P(a)} {Q_1(a)}$ .

$\bullet$ Dans le cas d’une décomposition en éléments simples sans partie entière de la forme
$\quad \displaystyle \frac P Q = \sum _ {k = 1} ^n \left ( \sum_{j = 1} ^{\alpha _ k} \frac {\lambda _{j , \, k} } {(\textrm{X} - a_k) ^j} \right )$ ,
on obtient $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {x \, P(x)} {Q(x)} = \sum _ {k = 1} ^n \lambda_{1, k}$
(on multiplie par $x$ et on passe à la limite en $+\infty$ ).

$\bullet$ Dans le cas d’une fraction rationnelle de la forme $\displaystyle\frac P Q \in \mathbb{R} (\textrm{X} )$ dont les pôles non réels sont tous simples et qui a été décomposée en éléments simples dans $\mathbb{C}$ , pour obtenir la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}$ , il suffit de regrouper les termes de la forme $\displaystyle \frac {\lambda} {\textrm{X} - z} + \frac {\overline{\lambda }} {\textrm{X} - \overline {z} }$ et de réduire au même dénominateur pour obtenir une expression de la forme $\displaystyle \frac {u \, \textrm{X} + v} {\textrm{X} ^2 + p \, \textrm{X} + q}$ avec $p ^2 - 4 \, q < 0$ .

$\bullet$ On peut aussi évaluer la relation en un ou plusieurs points particuliers pour obtenir une ou plusieurs équations complémentaires lorsqu’il y a au moins un pôle multiple.

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5. Exemples classiques

Exemple 1
Si $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ , décomposition en éléments simples de $\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^n - 1}$ dans $\mathbb{C}$

Correction : C’est une fraction rationnelle irréducti-ble, sans partie entière dont les pôles sont tous simples et sont les complexes
$\quad \omega _ k = \textrm{e} ^{ 2 \textrm{i} k \pi / n}$ pour $k \in [[0 ,\, n - 1 ]]$ .

On obtient une décomposition en éléments simples de la forme
$\quad\quad \displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^n - 1} = \sum _{k = 0} ^{n - 1} \frac {\lambda _ k} {\textrm{X} - \omega _ k}$
et on calcule $\lambda _ k = \displaystyle \frac {P(\omega _ k) } {Q'( \omega _ k) }$ .

$Q'(\omega _ k) = n \, \omega _ k^{n - 1} = n\, \omega _ k^n \, \omega _ k^{ - 1} = n \, \omega _ k^{-1}$
donc $\lambda _ k = \displaystyle \frac {\omega _ k} n$ , ce qui donne :
$\quad \quad \displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^n - 1} = \frac 1 n \sum _{k = 0} ^{n - 1} \frac {\omega _ k} {\textrm{X} - \omega _ k}$ .

Exemple 2
Décomposition en éléments simples de $\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^{2\, n} - 1}$ dans $\mathbb{C}$ puis $\mathbb{R}$ .

Correction : $\bullet$ Décomposition dans $\mathbb{C}$ .
On écrit cette fois ci- les pôles sous la forme
$\omega _ k = \textrm{e} ^{ \textrm{i} k \pi / n}$ pour $k \in [[-( n - 1) ,\, n ]]$ .
et on remarque qu’il y a deux pôles réels 1 et $-1$ obtenus pour $k = 0$ et $k = n$ .
De plus, le conjugué du pôle $\omega_k$ est $\omega _{-k} \,$ .

Comme dans l’exemple précédent, la partie polaire relative au pôle $\omega_k$ est $\lambda _ k = \displaystyle \frac {P(\omega _ k) }{Q'( \omega _ k) }$ avec $Q = \textrm{X}^{2\, n} - 1$ et $P = 1$ .
$Q'(\omega _ k) = 2\, n \, \omega _ k^{2\, n - 1} = 2\,n \, \omega _ k^{2\,n} \, \omega _ k^{ - 1}$ $Q'(\omega_k) = 2\, n \, \omega _ k^{-1}$
donc $\lambda _ k = \displaystyle \frac {\omega _ k} {2\,n}$ .

La décomposition dans $\mathbb{C}$ est :
$\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^{2\,n} - 1} =\frac 1 {2\, n(\textrm{X} - 1)}- \frac 1 {2\, n(\textrm{X} + 1)}$ $\quad \quad \displaystyle + \frac 1{2\, n} \sum _{k = 1} ^{n - 1} \left ( \frac {\omega _ k} {\textrm{X} - \omega _ k} + \frac {\overline {\omega _ k}} {\textrm{X} - \overline {\omega _ k}}\; \; \; \right) \,$ .

$\bullet$ Décomposition dans $\mathbb{R}$ .
On simplifie $G_k = \displaystyle \frac {\omega _ k} {\textrm{X} - \omega _ k} + \frac {\overline {\omega _ k}} {\textrm{X} - \overline {\omega _ k}}$
que l’on écrit sous la forme $G_k= \displaystyle \frac {N_k} {D_k}$
avec $N_k = \omega _ k(\textrm{X} - \overline {\omega _ k}) + \overline {\omega _ k}\, ({\textrm{X} - \omega _ k})$

$N_k = (\omega _ k + \overline {\omega _ k})\textrm{X} - 2$ car $\vert \omega_k \vert = 1$
$N_k =\displaystyle 2 \cos \frac {k\, \pi} {n} \textrm{X} - 2$

et $D_k = \displaystyle (\textrm{X} - \overline {\omega _ k}) (\textrm{X} - \overline {\omega _ k})$
$D_k = \displaystyle \textrm{X}^2 - ({\omega _ k} + \overline {\omega _ k}) \, \textrm{X} +1$
$D_k = \displaystyle \textrm{X}^2 - 2 \cos \frac {k\, \pi} {n} \, \textrm{X} +1$

donc
$\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^{2\,n} - 1} =\frac 1 {2\, n(\textrm{X} - 1)}- \frac 1 {2\, n(\textrm{X} + 1)}$ $\quad\quad \quad \displaystyle + \, \frac 1{ n} \sum _{k = 1} ^{n - 1} \frac </em> <em>{ \cos \frac {k\, \pi} {n}\, \textrm{X} - 2} { \textrm{X}^2 - \cos \frac {k\, \pi} {n} \, \textrm{X} +1}$

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