Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours de Maths Sup sur les séries numériques en MPSI, MP2I, PTSI, PCSI

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Être à jour dans ses cours de maths en Maths Sup est fondamental pour réussir les concours, surtout si l’on souhaite être admis dans les meilleures écoles d’ingénieurs françaises. Des révisions régulières, une bonne méthode de travail et des cours particuliers de maths sont les clés de la réussite, les mathématiques étant la matière avec le plus fort coefficient aux concours, aucune impasse ne sera excusée.

A. Définitions des séries numériques en Maths Sup

D1 : À toute suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ , on associe la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $S_n =\displaystyle \sum_{k=0} ^{n}u_k\,$ .

$S_n$ est la $n$ -ème somme partielle de la série de terme général $u_n$ .

$\ast$ La série de terme général $u_n$ est notée

$\displaystyle\sum_{n\geqslant0}u_n$ ou $\sum u_n\,$ .

$\ast$ La série $\displaystyle\sum_{n\geqslant0} u_n$ converge (ou est convergente) lorsque la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ des sommes partielles converge.

Dans ce cas, la limite de la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est appelée somme de la série et notée $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n\,$ .

$\ast$ Si la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge, on dit que la série est divergente.

$\ast$ On définit le reste d’ordre $n$ de la série convergente de terme général $u_n$ par $R_n = \displaystyle\sum_{p=n+1}^{\infty}u_p\,$ .

La suite $(R_n)_n$ converge vers 0.

Attention aux notations !

a) $u_n$ représente un réel ou un complexe.

b) $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\,,$ ou $(u_n)_n\,$ , à la rigueur $(u_n)$ représente la suite réelle ou complexe de terme général $u_n\,$ .

Il est indispensable de ne pas oublier les parenthèses pour parler de la suite.

c) $\displaystyle\sum_{n\geqslant0}u_n$ ou $\sum u_n$ est une abréviation pour « la série de terme général $u_n$ «

Cette notation ne peut intervenir dans une égalité ou une inégalité.

d) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n$ est la somme de la série convergente de terme général $u_n\,$ .

C’est un scalaire qui peut intervenir dans une égalité ou une inégalité.

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B. Propriétés des séries numériques en Maths Sup

P1 : Si la série $\sum u_n$ converge, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers 0.

Si la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge pas vers 0, on dit que la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement.

P2 : Si les séries de termes généraux $u_n$ et $v_n$ convergent, il en est de même de la série de terme général $u_n + v_n$ et de la série de terme général $\lambda \, u_n$ (où $\lambda$ est un scalaire) et

$\quad \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(u_n + v_n)=\sum_{n=0}^{\infty}u_n + \sum_{n=0}^{\infty}v_n$

$\quad \quad \quad \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\lambda\, u_n = \lambda\sum_{n=0}^{\infty}u_n\,$ .

P3 : Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite complexe, $\sum u_n$ converge si, et seulement si, $\sum \textrm {Re} \,(u_n)$ et $\sum \textrm {Im} \,(u_n )$ convergent.

Dans ce cas,

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n=\sum_{n=0}^{\infty} \textrm {Re}\,(u_n) + \textrm i \sum_{n=0}^{\infty} \textrm {Im }\, (u_n)$

et $\displaystyle\overline{\sum_{n=0}^{\infty}u_n }=\sum_{n=0}^{\infty}\overline{u_n}\,$ .

P4 : Comparaison suite-série.
La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente ssi la série de terme général $u_n = a_{n + 1}- a_n$ est convergente.

Dans ce cas, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n = \lim_{n\rightarrow+\infty}a_n - a_0$ .

P5 : Soit $\sum u_n$ une série réelle ou complexe.

Si la série de terme général $|u_n|$ est convergente, on dit que la série de terme général $u_n$ est absolument convergente.

Si la série de terme général $u_n$ est absolument convergente, elle est convergente et de plus :

$\qquad \qquad \left|\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n\right|\leqslant \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left| u_n\right|$ .

C. Étude de la convergence des séries de réels positifs ou nuls

P6 : On suppose que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \geqslant 0.$

a) La série de terme général $u_n$ est convergente si, et seulement si, il existe

$M \in \mathbb{R}^+$ , $\forall \, n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k \leqslant M$ .

Dans ce cas, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n = \sup_{n\in\mathbb{N}}S_n$ où $S_n =\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k\, .$

b) Si la série de terme général $u_n$ positif ou nul diverge,

$\qquad \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n}u_k =+\infty$ .

P7 : On suppose que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont deux suites réelles telles qu’il existe $N \in \mathbb{N}$ que si $n \geqslant N$ , $0 \leqslant u_n \leqslant v_n\,$ .

Si $\sum v_n$ converge, $\sum u_n$ converge.

Dans ce cas, $\displaystyle\sum_{k=N}^{+\infty}u_k \leqslant \sum_{k=N}^{+\infty}v_k \, .$

P8 : Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de réels strictement positifs à partir d’un certain rang telles que $u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{ \sim}v_n\,$ .

La série de terme général $u_n$ converge si, et seulement si, la série de terme général $v_n$ converge.

P9 : Comparaison série-intégrale

Soit $a \in \mathbb{N}$ et $f$ une fonction continue, décroissante sur $[a, \, +\infty[$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ .

On note si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant a$ , $u_n = f(n).$

$\displaystyle \int_a ^{n + 1} f(t)\textrm{d} \, t \leqslant \sum _{k = a} ^n f(k)$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \leqslant f(a) + \int_a ^n f(t) \, \textrm{d} \, t$

Ce qui permet de démontrer le résultat au programme de deuxième année :

La série de terme général $u_n$ converge si, et seulement si, la suite

$\qquad \displaystyle\left(\int_{a}^{n} f (t ) \textrm { d}t \right)_{n\geqslant a}$ converge.

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D. Séries absolument convergentes en Maths Sup

P10 : Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs ou nuls et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite complexe telles que $u_n \displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty}{ =} \textrm{O}(\alpha_n)$

c’est-à-dire il existe $M \geqslant 0$ et $N \in \mathbb{N}$ tels que si $n \geqslant N$ , $|u_n| \leqslant M \alpha_n\,$ .

Si $\sum \alpha_n$ converge, $\sum u_n$ converge absolument.

P11 : a) Soit une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ réelle ou complexe, telle qu’il existe $\alpha > 1$ telle que

$\displaystyle u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{ =}\textrm{O} \left( \frac{1}{n^\alpha} \right)$ ,

alors $\sum u_n$ converge absolument.

b) Soit une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ réelle à termes positifs pour $n \geqslant N$ telle qu’il existe

$\alpha \leqslant 1$ tel que $\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\underset{n\rightarrow +\infty}{ =}\textrm{O}(u_n),$ alors $\sum u_n$ diverge.

E. Développement décimal d’un réel positif en Maths Sup

Développement décimal d’un réel positif

Si $x \in \mathbb{R}^{+}$ , il existe une unique suite $(a_n)_{n \leqslant 0}$ telle que

$\ast$ $a_0 \in \mathbb{N}$

$\ast$ $\forall\, n\in \mathbb{N}^*,\, a_n \in [\![0,\, 9]\!]$ ,

$\ast$ La suite n’est pas stationnaire égale à 9

$\ast$ et $x = \displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty } \frac {a_n} {10 ^n}$

Propriétés d’un développement décimal d’un réel positif

$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}^*$ , $a_n$ est la $n$ -ième décimale de $x$ .

$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}^*$ , $\qquad \quad a_n = \lfloor 10^n \, x \rfloor - 10 \lfloor 10^{n - 1} \, x\rfloor$

$\ast$ $\displaystyle x_n = \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {10 ^k}$ est la valeur approchée de $x$ à $10 ^{- n}$ près par défaut

$\ast$ $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {10 ^k} + \frac 1 {10^{n}}$ est la valeur approchée de $x$ à $10 ^{- n}$ près par excès.

Réviser ses cours et progresser en maths en MPSI, PTSI et PCSI avec uniquement les supports donnés en cours n’est pas toujours suffisant pour les étudiants. Grâce aux cours en ligne, ils bénéficient de nouvelles ressources leur permettant de progresser davantage. De multiples chapitres peuvent ainsi être revus, comme les chapitres suivants :