Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Probabilités, cours de Maths en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI

Pour avoir de bonnes notes et une bonne moyenne en Maths Sup, il est essentiel de maîtriser l’ensemble des cours de maths au programme de Maths Sup. Pour ce faire, les étudiants en difficultés ou même les majors de prépa peuvent faire le choix de suivre des cours de maths pour maximiser leurs résultats.

A. Manipuler la notion d’événements en Maths Sup

$\bullet$ En SUP, on suppose que l’on effectue une expérience ayant un nombre fini de résultats et on note $\Omega$ l’ensemble de ces événements élémentaires. On dit que $\Omega$ est l’univers des possibles.

$\bullet$ Toute partie $A$ de $\Omega$ est appelé événement. On dit que l’événement $A$ est réalisé lorsque le résultat de l’expérience appartient à $A$ .

$\Omega$ est toujours réalisé, on l’appelle événement certain.

$\varnothing$ n’est jamais réalisé, on l’appelle événement impossible.

$\bullet$ Si $A$ et $B$ sont deux événements, on peut définir

$\ast$ $\overline {A} = \{ x \in \Omega \, / \, x \notin A \}$ , l’événement $\overline {A }$ est réalisé lorsque $A$ n’est pas réalisé.

$\ast$ $A \cap B$ l’événement réalisé lorsque $A$ et $B$ le sont.

Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles lorsque $A \cap B = \varnothing$ .

$\ast$ $A \cup B$ l’événement réalisé lorsque l’un au moins des événements $A$ , $B$ est réalisé.

$\ast$ L’événement $A$ implique l’événement $B$ lorsque $A \subset B$ .

$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}$ , $n \geqslant 2$ , la famille $\left ( A_k \right ) _ {1 \leqslant k \leqslant n }$ est un système complet d’événements de $\Omega$ lorsque

… $\forall\, k \in [\![1,\, n]\!]$ , $A_k$ est une partie non vide de $\Omega$

… $\forall\, (i , j) \in [\![1,\, n]\!]^2, \, A_i \cap A _j = \varnothing$

… $\displaystyle \bigcup _ {k = 1} ^n A _ k = \Omega$ .

Pour modéliser une expérience, il faut définir l’univers des possibles $\Omega$ et lui associer une probabilité comme dans le paragraphe suivant

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B. Manipuler la notion de probabilité en MPSI, PCSI et PTSI

1. Utiliser la définition et les propriétés

$\bullet$ M1 : Connaître la définition :

On suppose que $\Omega$ est un ensemble fini.

On appelle probabilité sur l’univers $\Omega$ toute application de $\mathcal{P}(\Omega)$ dans $[0 ,\, 1]$ telle que

$\quad \ast$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

$\quad \ast$ Si $A$ et $B$ sont deux parties de $\Omega$ disjointes, $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ .

On dit que $(\Omega,\, \mathbb{P})$ est un espace probabilisé fini..

$\bullet$ M2 : Et les conséquences :

Soit $(\Omega, \mathbb{P})$ un espace probabilisé fini.

$\ast$ $\mathbb{P}(\varnothing) = 0$ .

$\ast$ Si $A\subset \Omega$ , $\mathbb{P}( \overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)$ .

$\ast$ si $A$ et $B$ vérifient $A \subset B \subset \Omega$ , $\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$ .

$\ast$ Si $A$ et $B$ sont deux parties de $\Omega$ ,

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$

$\ast$ Soient $n \in \mathbb{N}$ , $n \geqslant 2$ et une famille $(A_k)_{ 1 \leqslant k \leqslant n } \in \left ( \mathcal{P}(\Omega)\right ) ^{n}$ telle que si $i \neq j, \, A_i \cap A_j = \varnothing$ ,

$\qquad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 1} ^{n} A_i \right ) = \sum _{i = 1} ^{n} \mathbb{P} (A_i)$ .

$\ast$ Soient $n \in \mathbb{N}$ , $n \geqslant 2$ et une famille $(A_k)_{ 1 \leqslant k \leqslant n } \in \left ( \mathcal{P}(\Omega)\right ) ^{n}$ ,

$\qquad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 1} ^{n} A_i \right ) \leqslant \sum _{i = 1} ^{n} \mathbb{P} (A_i)$ .

2. Caractériser une probabilité sur un univers fini

$\bullet$ Si $(\Omega, \, \mathbb{P})$ est un espace probabilisé fini, l’application

$\qquad f : \Omega \mapsto \mathbb{R}^+$ , $\omega \mapsto \mathbb{P}( \{\omega\})$

vérifie $\displaystyle \sum _ {\omega \in \Omega} f(\omega) = 1$ .

$\bullet$ Réciproquement, si $f : \Omega \mapsto \mathbb{R}^+$ vérifie

$\displaystyle \sum _ {\omega \in \Omega} f(\omega) = 1$ , il existe une et une seule probabilité $\mathbb{P}$ telle que $\qquad \forall\, \omega \in \Omega , \, \mathbb{P}( \{\omega\}) = f(\omega)$ .

Alors $\forall\, A \subset \Omega ,\, f(A) = \displaystyle \sum _ {\omega \in A} f(\omega)$ .

3. Équiprobabilité en Maths Sup

$\bullet$ Soit $\Omega$ un univers fini de cardinal $n\geq 1$ . On dit que l’on est sous l’hypothèse d’équi-probabilité lorsque

$\quad \forall\, \omega \in \Omega,\, \mathbb{P} (\{\omega\}) = \displaystyle \frac 1 {\# \, \Omega} = \frac 1 n$ .

Alors $\forall\, A \subset \Omega, \, \mathbb{P}(A ) = \displaystyle \frac {\# \, A} {\# \, \Omega}$ .

$\bullet$ On est sous l’hypothèse d’équiprobabilité lorsque l’on tire au hasard en particulier dans les cas suivants :

Si l’on a une urne $U$ de $n$ boules distinctes,

$\ast$ tirages successifs avec remise de $p$ boules dans $U$ :

$\Omega$ est l’ensemble des applications de $[\![1, p]\!]$ dans $U$ et $\# \, \Omega = n ^p$ .

$\ast$ tirage de $p \leqslant n$ boules en une seule fois dans $U$ :

$\Omega$ est l’ensemble des parties de $p$ éléments parmi les $n$ boules.

$\#\, \Omega = \displaystyle \binom n p$ .

$\ast$ tirages successifs de $p \leqslant n$ boules sans remise dans $U$ :

$\Omega$ est l’ensemble des $p$ -listes sans répétition des $n$ éléments de $U$ .

$\# \, \Omega = \displaystyle \frac {n!} {(n - p)!}$ .

$\ast$ Vider l’urne par tirages successifs :

$\Omega$ est l’ensemble des bijections de $[\![1,\, n]\!]$ sur $U$ et $\# \, \Omega = n !$ .

4. Calculer la probabilité d’une réunion en Maths Sup

a. Cas d’événements deux à deux incompatibles

avant d’écrire $\qquad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{ k = 1} ^n A_k \right ) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (A_k)$ ,
vérifier que les événements $A_k$ sont deux à deux incompatibles.

b. Cas d’événements non deux à deux incompatibles

$\bullet$ Pour 2 événements :

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$

$\bullet$ Savoir démontrer pour 3 événements

$\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C)$ $\quad -\, \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C)$

$\quad +\, \mathbb{P}(A \cap B \cap C)$ .

5. Calcul de la probabilité d’un événement contenant l’expression « au moins «

Dans la suite on suppose que $A$ est l’événement » avoir au moins un élément vérifiant la propriété $\mathcal{P}$ « .

a. Calcul de $\mathbb{P}(A)$ }

$\bullet$ M1 Cas le plus simple : » avoir au moins une fois un élément vérifiant une propriété $\mathcal{P}$ « .

On cherche la probabilité de $\overline {A }$ :
» aucun élément ne vérifie la propriété $\mathcal{P}$ « .

$\bullet$ M2 (en général c’est plus compliqué) Si $n$ est le nombre maximum d’éléments vérifiant la propriété $\mathcal{P}$ , on peut introduire $A_k$ : « avoir exactement $k$ éléments vérifiant la propriété $\mathcal{P}$ » et écrire que $A = \displaystyle \bigcup_ {k = 1} ^n A_k$ , les événements $A_k$ étant deux à deux incompatibles, $\qquad \qquad \mathbb{P}(A) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \mathbb{P}(A _k)$ .

b. Calcul de $\mathbb{P}(A \cap B)$

$B = (A \cap B) \cup ( \overline{A} \cap B)$
par incompatiblité,

$\mathbb{P}(B ) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(\overline {A} \cap B)$

et $\mathbb{P} (A \cap B) = \mathbb{P} (B) - \mathbb{P} (\overline{A} \cap B)$ .

Vous devriez savoir calculer $\mathbb{P}(B)$ et $\mathbb{P}(\overline {A} \cap B)$ .

C. Probabilité conditionnelle en Maths Sup

1. Définition et propriété de probabilités en Maths Sup

Soit $(\Omega,\, \mathbb{P})$ un espace probabilisé fini et $A \subset \Omega$ tel que $\mathbb{P}(A) > 0$ .

L’application $\quad \mathcal{P}(\Omega) \to [0,\,1], B \mapsto \displaystyle \frac {\mathbb{P}(A \cap B) } {\mathbb{P}(A)}$
définit une probabilité sur $\Omega$ appelée probabilité conditionnelle relative à $A$ .

On note $\quad \mathbb{P}_A (B) = \mathbb{P} (B \mid A) = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(A \cap B) } {\mathbb{P}(A)}$ .

2. Formule des probabilités composées en Maths Sup

$(\Omega,\,\mathbb{P})$ est un espace probabilisé fini.

$\bullet$ Si $A$ et $B$ sont deux parties de $\Omega$ telles que $\mathbb {P}(A) > 0$ , $\qquad \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \mid A) \, \mathbb{P}(A)$ .

$\bullet$ Si $n \geqslant 2$ et si $(A_1 \, , \, \cdots \, , \, A_n)$ sont des parties de

$\Omega$ telles que $\qquad \qquad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {k = 1} ^{n - 1} A_k \right ) > 0$ ,

toutes les probabilités conditionnelles suivantes sont définies et

$\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {k = 1} ^n A _k \right ) =$ $\; \displaystyle \mathbb{P} \left ( A _n \, \Bigg \vert \, \bigcap _ {k = 1} ^{n - 1} A _k \right ) \times \mathbb{P} \left ( A _{n - 1} \, \Bigg \vert \, \bigcap _ {k = 1} ^{n - 2} A _k \right )$ $\qquad \qquad \times \cdots \times \mathbb{P}(A_2 \mid A_1) \, \mathbb{P}(A _ 1)$ .

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3. Probabilités totales en Maths Sup

$\bullet$ Formule des probabilités totales

Soit $(\Omega,\, \mathbb{P})$ un espace probabilisé fini.

$\ast$ Si $(A_i) _ {1 \leqslant i \leqslant n}$ est un système complet d’événements de probabilité, pour tout $B \in \mathcal {A}$ , $\displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (B \cap A_k)$ .

Si de plus $\forall\, k \in [\![1,\, n] \!], \mathbb{P}(A_k) > 0$ , $\qquad \displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (B \, | \, A_k) \, \mathbb{P} (A_k)$ .

4. Formule de Bayes en Maths Sup

$\bullet$ Forme 1
Soient $A$ et $B$ deux événements de $(\Omega , \, \mathbb{P})$ de probabilité non nulle :

$\qquad \mathbb{P}(B \mid A) = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(A \mid B) \, \mathbb{P}(B)} {\mathbb{P}(A)}$ .

$\bullet$ Forme 2
Soient $(\Omega , \, \mathbb{P})$ un espace probabilisé fini et $n \geqslant 2$ .

On suppose que $B \subset \Omega$ et $(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}$ est un système complet d’événements de probabilité non nulle.

Si $\mathbb{P}(B) > 0$ , pour tout $k \in [\![1,\, n]\!]$ ,

$\quad \mathbb{P} (A_k \mid B) = \displaystyle \frac {\mathbb{P}(B \mid A_k) \, \mathbb{P} (A_k) } {\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \mathbb{P}(B \mid A_i) \, \mathbb{P}(A_i)}$

En cas particulier
Si $A, B$ sont deux événements tels que $\mathbb{P}(B) > 0$ et $\mathbb{P}(A) \in \; ]0,\, 1[$ ,

$\displaystyle \mathbb{P}(A \mid B) =$ $\qquad \displaystyle \frac {\mathbb{P}(B \mid A) \, \mathbb{P}(A)} {\mathbb{P}(B \mid A) \, \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B \mid \overline{A}) \, \mathbb{P}(\overline {A})}$ .

5. Il faut distinguer les quantités $\mathbb{P} (A \cap B)$ et $\mathbb{P}(A \mid B)$

a) Quand on calcule $\mathbb{P} (A \cap B)$ , on calcule la probabilité que $A$ et $B$ soient réalisés en même temps.

b) Quand on calcule $\mathbb{P}(A \mid B)$ , on calcule un quotient de probabilités :
$A \mid B$ n’est pas un événement.
On sait que $B$ est réalisé et on cherche la probabilité que $A$ soit réalisé lorsque $B$ l’est.

$\bullet$ Dans certains cas, il est évident que l’on demande une probabilité conditionnelle, car on demande la probabilité d’un événement sachant (ou lorsque) l’on a obtenu $B$ . On peut repérer cette situation en cherchant les mots « sachant », « si », « lorsque » dans l’énoncé.

$\bullet$ Dans d’autres cas, on donne la réalisation de l’événement $B$ , dans une phrase du type « on a obtenu ? » et on demande ensuite de calculer la probabilité de $A$ , donc de calculer $\mathbb{P}(A \mid B)$ .

D. Quand appliquer la formule des probabilités totales en Maths Sup

$\bullet$ M1 Lorsque l’on fait des tirages qui peuvent avoir lieu dans des urnes différentes ou dans des conditions différentes qui sont définies par les résultats d’une première épreuve, il faut introduire un système complet d’événements correspondant aux différents choix des urnes ou des différents résultats de la première épreuve.

$\bullet$ M2 Lorsque les résultats de l’épreuve $n$ dépendent des résultats de l’épreuve $n -1$ , introduire un système complet d’événements correspondant à toutes les éventualités du rang $n - 1$ et utiliser la formule des probabilités totales.

$\bullet$ M3 Lorsque les résultats de l’épreuve $n$ dépendent des résultats de toutes les épreuves précédentes, introduire un système complet d’événements correspondant à toutes les éventualités des premières épreuves permettant soit de terminer l’ensemble des épreuves soit de « remettre le compteur à zéro » et utiliser la formule des probabilités totales.

Si $B$ est un des événements du système complet précédent correspondant à $k$ épreuves, on sera donc amené à calculer des probabilités du type $\mathbb{P} (A \, | \, B)$ : il reste $n - k$ épreuves à effectuer pour passer d’une situation résultant de la réalisation de $B$ à une situation où l’on doit avoir $A$ .

E. Indépendance en probabilités en Maths Sup

1.Indépendance de deux événements en Maths Sup

$\bullet$ En utilisant la définition :

Si $A$ et $B$ sont deux événements de $(\Omega,\, \mathbb{P})$ , $A$ et $B$ sont indépendants ssi

$\qquad \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \, \mathbb{P}(B)$

$\bullet$ En utilisant la propriété :

Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants de $(\Omega,\, \mathbb{P})$

$\quad \ast$ $A$ et $\overline {B}$ sont indépendants

$\quad \ast$ $B$ et $\overline {A}$ sont indépendants

$\quad \ast$ $\overline{A}$ et $\overline {B}$ sont indépendants.

$\bullet$ Si l’on suppose $\mathbb{P}(A) > 0$ ,

$A$ et $B$ sont indépendants ssi

$\quad \quad \mathbb{P}(B \mid A) = \mathbb{P}(B)$

2. Indépendance mutuelle de $n$ événements en Maths Sup

$\bullet$ Les $n \geqslant 3$ événements $(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}$ forment une famille d’événements mutuellement indépendants lorsque pour toute partie $I$ de $[\![1,\, n]\!]$ d’au moins 2 éléments,

$\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{k \in I} A_k \right ) = \prod _ {k \in I} \mathbb{P}(A_k)$ .

$\bullet$ Écrire les conditions donnant l’indépendance des événements $A, \, B, \, C$ .

$\bullet$ P1 : Si $n \geq 3$ et si les événements $(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}$ sont mutuellement indépendants,

$\ast$ toute sous-famille est une famille d’événements mutuellement indépendants.

$\ast$ ils sont 2 à 2 indépendants, mais la réciproque est fausse.

$\bullet$ P2 : On suppose que les $n \geq 3$ événements $(A_k)_{1\leqslant k \leqslant n}$ sont mutuellement indépendants, on note pour tout $k \in [\![1,\, n]\!]$ , $B_k = A_k$ ou $B_k = \overline {A_k}\,$ , les événements $(B_k)_{1\leqslant k \leqslant n}$ sont mutuellement indépendants.

3. Modèle binomial en probabilités en Maths Sup

Le résultat à connaître : on réalise dans les mêmes conditions $n \in \mathbb{N}^*$ épreuves aléatoires indépendantes donnant lieu chacune à la réalisation d’un même événement $A$ avec une probabilité égale à $p$ .

La probabilité d’obtenir $k$ réalisations de $A$ au cours de ces $n$ épreuves est égale à $\displaystyle \binom n k \, p^k \, (1 - p) ^{n - k}$ lorsque $k \in [\![0 ,\, n]\!]$ .

Les meilleures écoles d’ingénieurs du classement recrutent les étudiants qui ont un très bon niveau dans l’ensemble des matières mais particulièrement en maths. Il faut donc être très vigilant à ne faire aucune impasse sur les chapitres au programme de Maths Sup. Pour aider les étudiants dans leurs révision, les cours en ligne sont des ressources facilement accessibles et qui permettent une progression réelle. Quelques idées de chapitres de Maths que les étudiants peuvent travailler en MPSI, PTSI et PCSI :

Probabilités, cours de Maths en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI

A. Manipuler la notion d’événements en Maths Sup

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B. Manipuler la notion de probabilité en MPSI, PCSI et PTSI

1. Utiliser la définition et les propriétés

2. Caractériser une probabilité sur un univers fini

3. Équiprobabilité en Maths Sup

4. Calculer la probabilité d’une réunion en Maths Sup

a. Cas d’événements deux à deux incompatibles

b. Cas d’événements non deux à deux incompatibles

5. Calcul de la probabilité d’un événement contenant l’expression « au moins «

a. Calcul de $\mathbb{P}(A)$ }

b. Calcul de $\mathbb{P}(A \cap B)$

C. Probabilité conditionnelle en Maths Sup

1. Définition et propriété de probabilités en Maths Sup

2. Formule des probabilités composées en Maths Sup

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3. Probabilités totales en Maths Sup

4. Formule de Bayes en Maths Sup

5. Il faut distinguer les quantités $\mathbb{P} (A \cap B)$ et $\mathbb{P}(A \mid B)$

D. Quand appliquer la formule des probabilités totales en Maths Sup

E. Indépendance en probabilités en Maths Sup

1.Indépendance de deux événements en Maths Sup

2. Indépendance mutuelle de $n$ événements en Maths Sup

3. Modèle binomial en probabilités en Maths Sup

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a. Cas d’événements deux à deux incompatibles

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5. Calcul de la probabilité d’un événement contenant l’expression « au moins «

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