Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours en ligne Maths en Maths Sup

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Cours : Développements limités en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Résumé de cours et méthodes – Maths Sup Développements limités

Plan :

1. Définitions
2. Pour démontrer que $f$ a un développement limité à l’ordre $n$ en $a$
3. Opérations sur les DL
3.1. Somme de deux DL en 0
3.2. Produit de deux DL en 0.
3.3. Utilisation du DL en $0$ de $x \mapsto (1 + x) ^{\alpha}$
3.4. Composition de deux DL en 0
3.5. DL d’un quotient à l’ordre $n$ au voisinage de 0
3.6. Intégration d’un DL
3.7. D.L. et dérivées
3.8. Recherche d’un DL au voisinage de $a$
3.9. D.L d’une fonction réciproque
4. Les développements limités à connaître
5. Utilisation des DL
5.1. Recherche d’un équivalent
5.2. Caractère local
5.3. Recherche de la limite d’un quotient
5.4. Étude d’une courbe au voisinage de $a$
5.5. Utilisation des DL dans l’étude des asymptotes obliques.

On note $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

Ce chapitre de mathématiques du programme de MPSI, MP2I, PCSI et PTSI est généralement traité au début du second semestre. Il introduit des notions très importantes de maths sup. Ces notions serviront en maths spé pour les concours. Il est primordial de bien savoir calculer les DL et de maitriser les différentes techniques introduites. Si vous en ressentez le besoin, n’hésitez pas à faire appel à un cours particulier de maths à domicile pour maitriser complètement ces fondamentaux.

1. Définitions des DL en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI

1.1. Développement limité en $a$ et en $0$

$\bullet$ Soient $I$ un intervalle et $a$ un point de $I$ , ou une borne de $I$ et $n \in \mathbb{N}$ .

$f$ est une fonction définie sur $I$ (ou sur $I \setminus \{a\}$ ) à valeurs dans $\mathbb{K}$ .

$\ast$ On dit que $f$ admet un développe- ment limité d’ordre $n$ en $a$ s’il existe $(a_k)_{0 \leq k \leq n} \in \mathbb{K} ^{n + 1}$ tels que

$\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^n a_k (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a)^n)$

$\ast$ La fonction polynôme $\quad \quad \displaystyle A : x \mapsto \sum _{k = 0}^n a_k (x - a) ^k$ est unique et appelée la partie régulière du DL de $f$ en $a$ à l’ordre $n$ .

$\bullet$ La fonction $f$ admet un développement limité à d’ordre $n$ en $a$ ssi la fonction $h \mapsto f(a + h)$ admet un développement limité en $0$ d’ordre $n$ et dans ce cas

$\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^n a_k \, (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a) ^n)$

ssi

$\displaystyle f(a + h) \underset {h \to 0} = \sum _{k = 0}^n a_k \, h ^k + \textrm{o} (h^n)$ .

1.2. Unicité du DL

Il est important de retenir qu’il y a unicité du DL lorsqu’il existe.

Soit $f$ définie dans un intervalle $I$ centré en $0$ et admettant un DL d’ordre $n$ en $0$

$\quad \displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0}^p a_k \, x ^k + \textrm{o} (x^p)$ .

$\ast$ si $f$ est paire, pour tout $k$ tel que $2 \, k + 1 \leq n$ , $a _{2\,k + 1} = 0$ .

(la partie régulière du DL ne contient que des puissances paires)

$\ast$ si $f$ est paire, pour tout $k$ tel que $2 \, k \leq n$ , $a _{2\,k} = 0$ .

(la partie régulière du DL ne contient que des puissances impaires).

1.3. Troncature

Si $f$ admet un DL d’ordre $n$ en $a$ : $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^n a_k (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a)^n)$ pour tout $p \in [\![0 , \, n]\!]$ ,

$f$ admet un développement limité en $a$ donné par

$\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \sum _{k = 0}^p a_k (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a)^p)$

On dit qu’il est obtenu par troncature du DL à l’ordre $n$ .

Si $f$ admet un développement limité en $a$ , d’ordre $n$ , elle admet un DL d’ordre $0$ donné par $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = a_0 + o(1)$

$\ast$ si $f$ est définie en $a$ , $a_0 = f(a)$

$\ast$ sinon $f$ est prolongeable par continuité en $a$ par $f(a) = a_0\,$ .

1.4. Forme normalisée d’un DL

$\ast$ Si $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ en $a$ dont la partie régulière est non nulle, on peut écrire le DL sous la forme dite normalisée :

$\ast$ si $a = 0$

$f(x) \underset {x \to 0} = x^k \left ( a_k + a_{k + 1} x \right.$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \left. + \, \cdots \, + a_n \, x^{n - k} + \textrm{o}(x ^{n - k} ) \right )$

En particulier : $f(x) \underset {x \to 0} \sim a_k \, x^k$ .

$\ast$ si $a \neq 0$ ,

$f(a + h ) \underset {h\to 0} =h^k \left ( a_k + a_{k + 1} h \right.$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \left. + \, \cdots \,+ a_n \, h^{n - k} + \textrm{o}(h ^{n - k} )\right )$

En particulier : $f(x) \underset {x \to a} \sim a_k \, (x - a) ^k$ .

L’entier $k$ est appelé valuation de la partie régulière du DL de $f$ en $a$ .

1.5. Développement asymptotique en $\pm \infty$

$\bullet$ Soit $f$ définie sur un intervalle de la forme $[a , + \infty[$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ , si

$\quad \displaystyle f(x) \underset {x \to + \infty} = \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {x^k} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x ^n} \right )$ ,

On dit que $f$ admet un développement asymptotique à la précision $\displaystyle \frac 1 {x ^n}$ au voisinage de $+ \infty$ .

$\bullet$ Soit $f$ définie sur un intervalle de la forme $] - \infty, \, a]$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ , si

$\quad \displaystyle f(x) \underset {x \to - \infty} = \sum _ {k = 0} ^n \frac {a_k} {x^k} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x ^n} \right )$ ,

On dit que $f$ admet un développement asymptotique à la précision $\displaystyle \frac 1 {x^n}$ au voisinage de $- \infty$ .

On peut se ramener au voisinage de $0$ et posant $\displaystyle x = \frac 1 t$ soit en utilisant $t \mapsto \displaystyle f \left (\frac 1 t \right )$ .

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2. Pour démontrer que $f$ A UN DÉVELOPPENT LIMITÉ

$\bullet$ M1. Par utilisation de la formule de Taylor-Young :

Si $f$ est de classe $C^n$ sur un intervalle contenant $a$ , $f$ admet un développement limité à l’ordre $n$ en $a$ donné par

$\displaystyle f(x)\underset {x \to a} {= } \sum _ {k = 0} ^n \frac {f^{(k)}(a)} {k!} (x - a) ^k$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, + \textrm{o}\, ((x - a)^n )$ .

Pour cela, il suffit bien sûr que $f$ soit de classe $C^{\infty}$ au voisinage de $a$ .

$\bullet$ M2. Montrer que $f$ est une somme de fonctions ayant un DL à l’ordre $n$ en $a$ .

$\bullet$ M3. Montrer que $f = g \, \times \, h$ où $g$ et $h$ ont des DL d’ordre $n$ en $a$ .

$\bullet$ M4. Si $a = 0$ , montrer que $f = g \circ h$ , où $h$ a un DL d’ordre $n$ en $0$ et $g$ a un DL d’ordre $n$ en $0$ avec $h$ de limite nulle en 0.

$\bullet$ M5. Montrer que $f = \displaystyle \frac g h$ où $g$ et $h$ ont des DL d’ordre $n$ au voisinage de $a$ , le terme constant du DL de $h$ étant non nul.

$\bullet$ M6. Montrer que $f$ est dérivable au voisinage de $a$ et que $f'$ a un DL d’ordre $n - 1$ en $a$ .

$\bullet$ M7. Si l’on connaît le DL de $f$ en $a$ à l’ordre $n$ , le DL de $f$ à l’ordre $p \leq n$ est obtenu par troncature.

$\bullet$ M8. Toute fonction polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ admet un DL d’ordre $N \geq n$ au voisinage de $0$ dont la partie régulière est égale à $P$ .

Pour que $f$ admette un DL en $a$ , il est nécessaire que $f$ ait une limite finie en $a$ . Si $f$ est définie en $a$ , il est nécessaire que $f$ soit continue en $a$ .

Si une fonction est paire (resp. impaire) et a un DL d’ordre $n$ en $0$ , son DL ne contient que des puissances paires (resp impaires).

Mais un DL ne contenant que des puissances paires (resp. impaires) n’est pas nécessairement le DL d’une fonction paire (resp impaire).

$\bullet$ M9. Pour obtenir un DL d’ordre $n$ de $f$ au voisinage de $+ \infty$ (resp. de $- \infty$ ), chercher un DL d’ordre $n$ au voisnage de $0^+$ (resp $0^-$ ) de $g : t \mapsto \displaystyle f \left ( \frac 1 t \right )$ .

3. Opérations sur les DL

Il est conseillé de se ramener au voisinage de $0$ en posant $t = x - a$ lorsque $a \neq 0$ .

Toutes les opérations doivent se faire avec des DL de même ordre.

3.1. Somme de deux DL en 0

On écrit les deux DL à l’ordre $n$ . On additionne les parties régulières.

3.2. Produit de deux DL en 0.

On écrit les deux DL à l’ordre $n$ . On fait le produit des parties régulières en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$ .

Si $\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} {= } A(x) + \textrm{o} ( x^n )$

et $\displaystyle g(x) \underset {x \to 0} {= } B(x) + \textrm{o} ( x^n )$ ,

En notant

$A(x) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, x^k$ et $B(x) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n b_k \, x^k$ ,

alors $\displaystyle f(x)\, g(x) \underset {x \to 0} {= } C(x) + \textrm{o} ( x^n )$

où $C(x) = \displaystyle \sum _ {k= 0} ^n c_ k \, x^k$ avec $\quad \forall\, k \in [\![0 , \, n]\!], \, c_k = \displaystyle \sum _{i = 0} ^k a_i \, b_{k - i}\,$ .

Si l’on élève le DLde $f$ à l’ordre $n$ au carré, on obtient le DL de $f^2$ à l’ordre $n$ (et non à l’ordre $2 \,n$ ).

Ne jamais faire le produit d’un DL en $0$ par une expression contenant des puissances négatives de $x$ .

3.3. Utilisation du DL de $x \mapsto (1 + x) ^{\alpha}$

On rappelle que si $\alpha \in \mathbb{R}$

$\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} =$ $\displaystyle 1 + \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, \textrm{o}\, (x ^n)$

Même si la formule est utilisable pour $\alpha = - 1$ , il est indispensable de connaître par coeur :

$\quad \displaystyle \frac 1 {1 + x } \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n (- 1) ^k \, x ^k + \, \textrm{o}\, (x^n)$ .

Lorsque $\alpha \in \mathbb{N}$ , il suffit d’utiliser le binôme de Newton (tronqué si $\alpha < n$ ) et d’écrire

$\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{\min(n , \alpha)} \binom {\alpha} k \, x^k + \textrm{o} (x ^n)$

Exemple :

Trouver le développement limité de $x \mapsto \sqrt{1 + x}$ à l’ordre 4 en $0$ .

Correction : On utilise la formule pour $\alpha = 1/2$

$\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} = 1 \, +\;$ $\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k + \textrm{o} (x ^n)$
et on évalue $\displaystyle a_k = \frac {(1/2)(1/2 - 1) \, \cdots \, \, (1/2 - k + 1) } {k!}$ pour $1 \leq k \leq 4$ .

$\ast$ $\displaystyle a_1 = \frac 1 2$

$\ast$ $\displaystyle a_2 = \frac 1 {2!} \, \frac 1 2\, \frac {(-1)} 2 = -\frac 1 8$

$\ast$ $\displaystyle a_3 = \frac 1 {3!} \, \frac 1 2\, \frac {(-1)} 2 \, \frac {(-3)} 2= \frac 1 {16}$

$\ast$ $\displaystyle a_4 = \frac 1 {4!} \, \frac 1 2\, \frac {(-1)} 2 \, \frac {(-3)} 2 \, \frac {(-5)} 2= - \frac 5 {128}$ .

$\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset {x \to 0} =$ $\quad \quad \quad \displaystyle 1 + \frac x 2 - \frac {x^2} 8 + \frac {x^3 } {16} - \frac {5 \, x^4} {128} + \textrm{o} (x ^4)$

Exemple 2 :
Trouver le développement limite de $x \displaystyle \mapsto \frac 1 {\sqrt {1 + x} }$ à l’ordre $n$ en $0$ .

En exprimer les coefficients à l’aide de coefficients binomiaux.

Correction :

On utilise la formule

$\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} = 1 \; +$ $\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k + \textrm{o} (x ^n)$

Pour $\alpha = \displaystyle \frac {-1} 2$ et on simplifie la valeur de $\displaystyle a_k = \frac {\alpha(\alpha - 1) \, \cdots \, \, (\alpha - k + 1) } {k!}$

$\displaystyle a_k = \frac {(-1/2) (-3/2) \, \cdots \, \, (-(2 k - 1)/ 2) } {k!}$

$\displaystyle a_k = \frac {(-1)^k} {2 ^k} \, \frac {1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, . \, (2 k - 1) } {k!}$ .

On calcule la valeur de $\quad \quad \quad 1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, . \, (2 k - 1)$

en multipliant et divisant par $\quad \quad 2 \,. \, 4 \, . \, 6\,. \, \cdots \,. \, (2 k) = 2 ^k \, k!$

$\displaystyle 1 \, . \, 3 \,. \, \cdots \, .\, (2 k - 1) =$ $\displaystyle \quad \frac {1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, .\, (2 k - 1) \,(2 \, . \, 4\, . \, 6 \, . \, \cdots \, . \, (2 k)) } { 2 ^k \, k!}$

$\displaystyle 1 \, . \, 3 \, . \, \cdots \, . \, (2 k - 1) = \frac {(2 \, k)! } { 2^k \, k!}$

donc $\displaystyle a_k = \frac {(-1)^k} {2 ^k} \, \frac {(2 \, k)! } {2 ^k \, k! \; k! }$

$\displaystyle a_k = \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k$ .

Cette formule donne $1$ si $k = 0$ , on peut donc écrire :

$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k \, x^k + \textrm{o} (x ^n)$

Bien sûr si l’on demande le développement limité à un ordre simple, on effectue uniquement les calculs indis- pensables et on obtient par exemple :

$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} =$ $\displaystyle \quad 1 - \frac x 2 + \frac {3\, x^2} 8 - \frac {5 \, x^3} {16} - \frac {35\, x^4 } {128} + \textrm{o} (x ^4)$

3.4. Composition de deux DL en 0

Avant de calculer le DL de $f \circ g$ au voisinage de $0$ , lorsque l’on connaît les DL de $f$ et $g$ à l’ordre $n$ au voisinage de 0, bien vérifier que $g(x)$ tend vers 0 en 0 (c’est à dire que le terme constant du DL de $g$ est nul).

Méthode pratique

$\ast$ a) on écrit le DL de $f(u)$ quand $u$ tend vers $0$ à l’ordre $n$

$\ast$ b) on écrit le DL de $g(x)$ quand $x$ tend vers 0 à l’ordre $n$ , en vérifiant que la partie régulière $B(x)$ de ce DL ne contient pas de terme constant

$\ast$ c) dans la partie régulière $A(u)$ du DL de $f$ , on remplace $u$ par $B(x)$ . On élève $B(x$ ) aux différentes puissances, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$ .

$\ast$ d) on remplace $o(u^n)$ par $o(x^n)$ .

Exemple 1 :

Développement limité à l’ordre 5 en $0$ de $f : x \mapsto \ln (1 + \sin x)$ .

Correction :

On rappelle les DL utilisés ici :

$\displaystyle \ln(1 + u) \underset {u \to 0} = u - \frac 1 2 u ^2 + \frac 1 3 u^3 - \frac 1 4 u^4$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \frac 1 5 u^5 + \textrm{o} (u ^5)$

$\displaystyle \sin x \underset {x \to 0} = x - \frac 1 6 x ^3 + \frac 1 {120} x ^5 + \textrm{o} (x ^5)$

Il n’y a pas de problème de composition puisque $\sin x$ tend vers $0$ en $0$ .

On pose donc $\quad \displaystyle u \underset {x \to 0} = x - \frac 1 6 x ^3 + \frac 1 {120} x ^5 + \textrm{o} (x ^5)$ .

Vous préférerez peut être faire les calculs suivants à part (on multiplie chaque ligne par $u$ en ne conservant que les monômes de degré inférieur ou égal à $5$ ) :

$\displaystyle u^2 \underset {x \to 0} = x^2 - \frac 1 3 x ^4 + \textrm{o} (x ^5)$

$\displaystyle u^3 \underset {x \to 0} = x^3 - \frac 3 6 {x ^5} +\textrm{o} (x ^5)$

$\displaystyle u^4 \underset {x \to 0} = x^4 +\textrm{o} (x ^5)$

$\displaystyle u^5 \underset {x \to 0} = x^5 +\textrm{o} (x ^5)$

Pour obtenir

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = x - \frac 1 6 x ^3 + \frac 1 {120} x ^5$ $\displaystyle \quad - \frac 1 2 \left ( x^2 - \frac 1 3 x ^4 \right ) + \frac 1 3 \left ( x^3 - \frac 1 2 {x ^5} \right )$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \frac {x^4} 4 + \frac {x^5} {5} + \, \textrm{o} \, (x ^5)$

Puis on réordonne suivant les puissances croissantes de $x$ .

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} { =} x - \frac {x^2} 2$ $\quad \quad \displaystyle + \left ( \frac 1 3 - \frac 1 {6} \right ) x ^3 + \left ( \frac 1 {6} - \frac 1 4 \right ) x^4$ $\displaystyle \quad \quad \quad + \left ( \frac 1 {120} - \frac 1 6 + \frac 1 5 \right ) x^5 + \textrm{o} (x ^5)$

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} { =} x - \frac {1} 2 \, x^2 + \frac 1 6 \, x ^3 - \frac 1 {12} \, x^4$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \frac 1 {24} \, x^5 + \textrm{o} (x ^5)$ .

Dans le cas où $B(0) = b \neq 0$ , suivant la situation :

$\ast$ On utilise les propriétés de $f$ pour exprimer $f(g(x))$ en fonction de $\displaystyle f (\lambda (g(x) - b))$ ( $\lambda \neq 0$ ) dont on peut écrire le développement limité en suivant la méthode décrite ci- dessus.

$\ast$ Sinon il faut écrire le développement limité de $f$ à l’ordre $n$ en $b$ sous la forme

$\displaystyle f(y) \underset {y \to b} = \sum _{k = 0} ^n a_k \, (y - b) ^k + \textrm{o} ((y - b)^n)$

Et remplacer $y - b$ par $\quad \quad \quad \quad B(x) - B(0) + \textrm{o} (x ^n)$ .

Exemple 2

DL à l’ordre 5 en $0$ de $f : x \mapsto \textrm{e} ^{\cos x}$ .

Correction :

Avant de faire les calculs, on rappelle que la fonction $f$ étant paire, si l’on connaît le DL de $f$ à l’ordre $4$ en $0$ , on le connaît à l’ordre 5.

On rappelle les DL utilisés ici :

$\displaystyle \textrm{e} ^u \underset {u \to 0} = 1 + u + \frac {u ^2 } 2 + \frac {u^3} 6 + \frac {u ^4} {24} + \textrm{o} (u ^4)$

$\displaystyle \cos x \underset {x \to 0} = 1 - \frac {x ^2} 2 + \frac {x^4} {24} + \textrm{o} (x ^5)$ .

Puis on fait attention au fait que $\cos x$ admet $1$ pour limite en $0$ , on écrit donc

$f(x) = \textrm{e} ^{\cos x - 1 + 1 } = \textrm{e} ^1 \, \textrm{e} ^{\cos x - 1 }$

avec

$\displaystyle \cos x - 1 \underset {x \to 0} = - \frac 1 2 x ^2 + \frac 1 {24} x ^4 + \textrm{o} (x ^4)$

Puis comme le DL de $\cos(x) - 1$ commence par $x^2$ , seuls les calculs de $u$ , $u^2$ sont utiles pour trouver le DL de $g : x \mapsto \exp( {\cos x - 1 })$ .

Avec ces remarques, les calculs sont simplifiés :

$\displaystyle u \underset {x \to 0} = - \frac 1 2 x ^2 + \frac 1 {24} x ^4 + \textrm{o} (x ^4)$

$\displaystyle u ^2 \underset {x \to 0} = \frac 1 4 x ^4 + \textrm{o} (x ^4)$

Ce qui donne le DL à l’ordre 4 :

$\displaystyle g(x) \underset {x \to 0} {=}$ $\displaystyle \quad 1 - \frac 1 2 x ^2 + \frac 1 {24} x ^4 - \frac 1 {2} \, \frac 1 4 x ^4 + \textrm{o} (x ^4)$

Soit

$\displaystyle \textrm{e} ^{\cos x - 1 } \underset {x \to 0} {=} 1- \frac 1 2 x ^2 - \frac 1 {12} x ^4 + \textrm{o} (x ^4)$

On termine en utilisant la remarque indiquant que le DL à l’ordre 4 d’une fonction paire donne le DL à l’ordre 5 et
$f(x) \displaystyle \underset {x \to 0} {=} \textrm{e} ^{1 } \left (1- \frac 1 2 x ^2 - \frac 1 {12} x ^4 + \textrm{o} (x ^5) \right )$

Exemple 3

DL à l’ordre 2 en $0$ de $\quad \quad h : \displaystyle x \mapsto \textrm{Arctan}\left ( \sqrt{1 + x} \right )$ .

Correction : On sait que $\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset{x \to 0} = 1 + \frac x 2 - \frac 1 8 \, x^2 + \textrm{o} (x^2)$ .

On écrit le DL de $f = \textrm{Arctan}$ en $1$ à l’ordre 2 à l’aide de la formule de Taylor-Young.

$f'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x^2}$ , $f''(x) = \displaystyle \frac {- 2 \, x} {(1 + x^2)^2}$

$f'(1) = \displaystyle \frac 1 2 \;$ , $f''(1) = \displaystyle \frac {- 1 } 2$ .

$\displaystyle f(u) \underset {u \to 1} = \frac {\pi} 4 + \frac {u - 1 } 2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \, \frac {(u - 1) ^2} 4 + \textrm{o} ((u - 1)^2)$

et on utilise $\displaystyle u - 1 \underset{x \to 0} = \frac x 2 - \frac 1 8 \, x^2 + \textrm{o} (x^2)$

donc $\displaystyle h(x) \underset {x \to 0} = \frac {\pi}4 + \frac 1 2 \left ( \frac x 2 - \frac {x^2} 8 \right )$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \, \frac 1 4 \, \frac {x^2} 4 + \, \textrm{o} (x ^2)$

$\displaystyle h(x) \underset {x \to 0} = \frac {\pi}4 + \frac x 4 - \frac {x^2} {8} + \, \textrm{o} (x ^2)$ .

3.5. DL d’un quotient à l’ordre $n$ au voisinage de 0

Soit à calculer le DL de $\displaystyle f(x) = \frac {N(x)} { D(x)}$ à l’ordre $n$ .

$\bullet$ 1 er cas : le DL de $D(x)$ a un terme constant non nul.

On écrit les DL de $D$ et $N$ à l’ordre $n$ en $0$ : $\displaystyle N(x) \underset {x \to 0} {= } A(x) + \textrm{o} ( x^n )$ et $\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} {= } B(x) + \textrm{o} ( x^n )$ .

En divisant par le terme constant $b_0$ non nul de $B(x)$ les quantités $N(x)$ et $D(x)$ , on se ramène à une expression de la forme $\displaystyle \frac {M(x)} {1 + u(x)}$ ,

La fonction $u$ admettant $0$ pour limite en $0$ . On utilise le DL de $\displaystyle \frac 1 {1 + t}$ pour obtenir celui de $\displaystyle \frac 1 {1 + u(x)}$ puis on fait un produit de 2 développements limités.

Exemple 1 :

DL de $\displaystyle f : x \mapsto \frac {\cos(x)} {\textrm{e} ^x + \sqrt{1 + x}}$ en $0$ à l’ordre 3.

Correction :

$\displaystyle f : x \mapsto \frac {\cos(x)} {\textrm{e} ^x + \sqrt{1 + x}}$ en $0$ à l’ordre 2.

$\bullet$ Comme le dénominateur admet $2$ pour limite en $0$ , on écrit les développements limités du numérateur

$N$ et du dénominateur $D$ à l’ordre 2.

$\ast$ $\displaystyle N(x) = \cos(x) \underset {x \to 0} = 1 - \frac {x^2} 2 + \textrm{o}(x^2)$

$\ast$ $\displaystyle D(x) = \textrm{e} ^x + \sqrt{1 + x}$

avec $\displaystyle \textrm{e} ^x \underset {x \to 0} = 1 + x + \frac {x^2} 2 + \textrm{o}(x^2)$

$\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset {x \to 0} = 1 + \frac x 2 - \frac {x^2} 8 + \textrm{o}(x^2)$

$\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} = 2 + \frac {3\, x} 2 + \frac {3\, x^2} 8 + \textrm{o}(x^2)$

et en factorisant $2$

$\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} = 2 \left ( 1 + \frac {3\, x} 4 + \frac {3\, x^2} {16 } + \textrm{o}(x^2) \right )$

$\bullet$ En utilisant $\quad \quad \displaystyle \frac 1 {1 + u} \underset {u \to 0} = 1 - u + u ^2 + \textrm{o}(u^2)$

pour $\displaystyle u = \frac {3\, x} 4 + \frac {3\, x^2} {16 } + \textrm{o}(x^2)$

$\displaystyle \frac 2 {D(x)} \underset {x \to 0} = 1 - \frac {3 \, x} 4 - \frac {3\, x^2} {16 } + \frac {9 \, x^2} {16} + \textrm{o}(x^2)$

$\displaystyle \frac 2 {D(x)} \underset {x \to 0} = 1 - \frac {3 \, x} 4 + \frac {3\, x^2} {8} + \textrm{o}(x^2)$ .

$\bullet$ Il reste à faire un produit de deux DL à l’ordre 2 :

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \frac 1 2 \left ( 1 - \frac {x^2} 2 + \textrm{o}(x^2) \right )$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \times \left ( 1 - \frac {3 \, x} 4 + \frac {3\, x^2} {8} + \textrm{o}(x^2) \right )$

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \frac 1 2 \left ( 1 - \frac {3 \, x} 4 - \frac { x^2} {8} + \textrm{o}(x^2) \right )$ .

$\bullet$ 2 ème cas : le DL de $D$ a un terme constant nul et $\displaystyle D(x) \underset {x \to 0} \sim \alpha_k \, x ^k$ (la valuation de la partie régulière du DL de $D$ est égale à $k$ ).

$\; \; \ast$ si la valuation de $A$ est supérieure ou égale à $k$ , on écrit les DL de $N$ et $D$ à l’ordre $n + k$ . On simplifie par $x^k$ et on se ramène au premier cas.

$\; \; \ast$ si la valuation $h$ de $A$ vérifie $h < k$ , on introduit $\displaystyle F : x \mapsto \frac {x^{k - h} \, f(x)} {g(x)}$ .

Les valuations des nouvelles parties régulières $B(x)$ et $x^{k-h} A(x)$ sont alors égales à $k$ , ce qui permet d’appliquer la méthode décrite dans le deuxième cas à $F$ .

Il est alors indispensable de réfléchir aux ordres des différents DL si l’on veut une expression de $\displaystyle \frac f g$ en $\textrm{o}(x^n)$

Il faut écrire celui de $F$ à l’ordre $n + k - h$ (pour simplifier à la fin par $x ^{k - h}$ ).
Les valuations des parties régulières du numérateur et du dénominateur étant égales à $k$ , il faut écrire ces développements limites de $g$ et de $x \mapsto x^ {k - h}\, f(x)$ à l’ordre $n + 2\, k - h$ , les simplifier par $x^k$ , utiliser la méthode décrite dans le 1er cas au quotient de deux DL à l’ordre $n + k - h$ dont la valuation du dénominateur est nulle et ainsi obtenir le DL de $F$ à l’ordre $n + k - h$ comme souhaité.

Si l’on a écrit le développement limité de $F$ sous la forme :

$\quad \displaystyle F(x) \underset {x \to 0 } = \sum _ {i = 0 } ^{n + k - h} \gamma _ i\, x ^i + \textrm{o} (x ^{n + k - h} )$

on obtient

$\quad \displaystyle \frac {f(x)} {g(x)} \underset {x \to 0 } {=} \sum _ {i = 0} ^{n + k - h} {\gamma_i} \, x ^{i - k + h} + \textrm{o}(x^n)$ .

On remarquera que la partie $\displaystyle\sum _ {i = 0} ^{k - h - 1} \gamma_i \, x ^{i - k + h}$ est formée de termes élevés à une puissance strictement négative.

exemple 2

Développement limité à l’ordre 4 de $f : \displaystyle x \mapsto \frac {x} {\sin x}$ .

Correction :

La valuation du DL de $\sin$ en $0$ étant égale à 1, il faut diviser par $x$ , donc écrire le DL de $\sin$ à l’ordre 5

$\displaystyle \sin(x) \underset {x \to 0}= x - \frac {x^3 } {6} + \frac {x ^5} {120} + \textrm{o} (x ^{5 } )$

$\displaystyle \frac {\sin(x)} x \underset {x \to 0}= 1 - \frac {x^2 } {6} + \frac {x ^4} {120} + \textrm{o} (x ^{4} )$ .

En utilisant $\displaystyle \frac 1 {1 + u} \underset {u \to 0} = 1 - u + u^2 - u ^3 + u ^4 + \textrm{o} (u^4)$
avec $\displaystyle u \underset {x \to 0}= - \frac {x^2 } {6} + \frac {x ^4} {120} + \textrm{o} (x ^{4} )$

$\displaystyle u^2 \underset {x \to 0}= \frac {x^4}{36} + \textrm{o} (x ^{4} )$ .

Les termes $u^3$ et $u^4$ ne contiennent pas de termes de degré inférieur ou égal à 4,

donc $\displaystyle \frac {x} {\sin x} \underset {x \to 0}= 1 + \frac {x^2 } {6} - \frac {x ^4} {120} + \frac {x^4}{36} + \textrm{o} (x ^{4} )$

$\displaystyle \frac {x} {\sin x} \underset {x \to 0}= 1 + \frac {x^2 } {6} + \frac {7 \, x^4}{360 } + \textrm{o} (x ^{4} )$ .

3.6. Intégration

Si au voisinage de $a$ , la fonction continue $f$ vérifie : $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} {=} \sum _ {k = 0} ^n a_k \, (x -a) ^k + \textrm{o} ((x-a) ^n)$

une primitive $F$ de $f$ admet pour DL au voisinage de $a$ :

$\displaystyle F(x) \underset {x \to a} {=} F(a)$ $\displaystyle + \sum_{k = 0} ^n \frac {a_k} {k + 1} \, (x- a) ^{k + 1} + \textrm{o} ((x-a)^{n+1})$

Il n’y a aucune difficulté si l’on n’oublie pas $F (a)$ .

Il est bon de savoir que le DL de $f : x \mapsto \ln(\cos x)$ se calcule plus simplement en utilisant le DL de $f ' : x \mapsto - \tan(x)$ qu’en faisant une composition de DL .

C’est en utilisant cette méthode que l’on retrouve facilement les DL de $x \mapsto \ln(1 + x)$ à l’ordre $n$ ou de $x \mapsto \textrm{Arctan}(x)$ à l’ordre $2 \,n + 1$ en $0$

exemple 1

Déterminer le développement limité en $0$ à l’ordre $2 \, n + 1$ de $x \mapsto \textrm{Arcsin} (x)$

Correction :

$f = \textrm{Arcsin}$ est dérivable sur $]- 1 , \, 1[$ et $f'(x) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 - x^2 }}$ .

On a vu en 3.3 que

$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n \binom {2 \, k} k \, \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} }\, x^k + \textrm{o} (x ^n)$

$f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} =$ $\quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k \, ( - x^2 ) ^k + \textrm{o} (x ^{2 \, n} )$

$f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n \binom {2 \, k} k \frac {1} {2 ^{2 \, k} } \, x^{2 \,k} + \textrm{o} (x ^{2 \, n} )$

Par intégration du DL sachant que $f(0) = 0$ ,

$\textrm{Arcsin}(x) \displaystyle \underset {x \to 0} =$ $\displaystyle \; \; \sum _ {k = 0} ^n \binom {2 \, k} k \, \frac {x^{2 \, k + 1}} {(2 \, k + 1) \, 2 ^{2 \, k} }+ \textrm{o} (x ^{2 \, n + 1 } )$ .

exemple 2

Retrouver le DL à l’ordre 2 en $0$ de $f : x \mapsto \textrm{Arctan}\left ( \sqrt{x + 1} \right )$ .

Correction :

$f'(x) = \displaystyle \frac 1{2\sqrt{1 + x}} \, \frac 1 {1 + (1 + x)}$

$f'(x) = \displaystyle \frac 1{4 \sqrt{1 + x}} \, \frac 1 {1 + x/2}$

On effectue le produit de deux DL à l’ordre 1 :

$f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \frac 1 4 \left ( 1 - \frac {x} 2 + \textrm{o} (x) \right ) \left ( 1 - \frac {x} 2 + \textrm{o} (x)\right )$

$f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \frac 1 4 \left ( 1 - x+ \textrm{o} (x) \right )$

et comme $f(1) = \displaystyle \frac {\pi} 4$ ,

$f(x) \displaystyle \underset{x \to 0} = \frac {\pi} 4 + \frac x 4 - \frac {x^2} {8} + \textrm{o} (x^2)$

3.7. D.L. et dérivées

$\bullet$ M1. $f$ est définie dans un voisinage de $a$ et a un DL d’ordre $n$ en $a$ tronqué à l’ordre 1 sous la forme :

$\quad f(x) \underset {x \to a} {=} \alpha + \beta (x - a) + \textrm{o}(x - a)$

alors $f(a) = \alpha$ et $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \beta$ .

Si $f$ n’était pas définie en $a$ , on la prolonge par continuité en $a$ en posant $f(a) = \alpha$ .

$\bullet$ M2. Si $f$ est de classe $C^n$ au voisina- ge de $a$ , $f$ a un DL d’ordre $n$ en $a$ donné par la formule de Taylor-Young.

Conséquence : si $f$ est de classe $C^{\infty}$ ; $f$ a un DL en $a$ à l’ordre $n$ pour tout $n$ .

$\bullet$ M3.Si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$ et si l’on a obtenu son DL à l’ordre $n$ :

$\displaystyle f(x) \underset {x \to a}{=} \sum _ {k = 0} ^n \alpha _ k \, (x - a) ^k + \textrm{o} ((x - a) ^{n} )$

$\ast$ alors $\forall \, k \in [\![0 , \, n]\!], \, \displaystyle f ^{(k)} (a) = k ! \, \alpha _ k \,$ .

$\ast$ $f'$ admet un DL d’ordre $n-1$ en $a$ donné par :

$\displaystyle f'(x) \underset {x \to a}{=}$ $\displaystyle \quad \sum _ {k = 0} ^{n - 1} k \, \alpha _ k \, (x - a) ^{k - 1} + \textrm{o} ((x - a) ^{n - 1 } )$

$\bullet$ M4. Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ contenant $0$ et si $f$ et $f '$ admettent des DL d’ordre $n + 1$ et $n$ respectivement au voisinage de $0$ , alors la partie régulière du DL à l’ordre $n$ en $0$ de

$f'$ est la dérivée de la partie régulière du DL à l’ordre $n + 1$ en $0$ de $f$

$\bullet$ M5. Si $f$ a un DL d’ordre $n$ en $a$ et si $f$ est dérivable au voisinage de $a$ , on ne peut pas dériver le DL de $f$ sauf si l’on sait que $f$ vérifie les conditions de Taylor Young (cf M3.) ou la condition du M4.

$\bullet$ Il existe des fonctions ayant un DL d’ordre $n$ en $a$ et qui ne sont pas $n$ fois dérivables en $a$ si $n \geq 2$ .

exemple : $f(x) = x^3 \sin(1/x)$ et $f(0) = 0$ , $f(x) \underset {t \to 0} = \textrm{o}(x^2)$ , mais $f ''(0)$ n’existe pas.

Si $n \geq 2$ et si $f$ a un DL d’ordre $n$ en $a$ , on ne peut pas conclure que $f$ est $n$ fois dérivable en $a$ , ni que $f$ est de classe $C^n$ au voisinage de $a$ .

Démo :

$\bullet$ Soit $\displaystyle \varepsilon (x) = x \, \sin \left ( \frac 1 x \right )$ , $\vert \varepsilon (x) \vert \leq \vert x \vert$ , $\displaystyle \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0$ , ce qui permet d’écrire $f(x) \underset {x \to 0} = \textrm{o} (x ^2)$ , donc $f$ a un DL d’ordre 2 en $0$ .

$\bullet$ $f$ ayant un DL à l’ordre 1 en $0$ , $f$ est dérivable en $a$ et $f'(0) = 0$ .

$\bullet$ Si $x \neq 0$ , $\quad \displaystyle f'(x) = 3\, x^2 \sin \left ( \frac 1 x \right ) - x \, \cos \left ( \frac 1 x \right )$ .
Soit $g(x) = \displaystyle \frac {f'(x) - f'(0) } x$

$\displaystyle g(x) = 3\, x \sin \left ( \frac 1 x \right ) - \cos \left ( \frac 1 x \right )$ .

$\ast$ En utilisant $u_n = \displaystyle \frac {1 } {2 \, n \, \pi}$ , la suite $(u_n)_n$ converge vers $0$ .

$g(u_n ) = 1$ , la suite $(g(u_n))_n$ converge vers $1$ .

$\ast$ $v_n = \displaystyle \frac {1 } {(2 \, n + 1) \, \pi}$ , la suite $(v_n)_n$ converge vers $0$ .

$g(v_n ) =- 1$ , la suite $(g(v_n))_n$ converge pas vers $-1$ ,

La fonction $g$ n’admet pas de limite en $0$ , donc $f'$ n’est pas dérivable en $0$ .

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3.8. Recherche d’un DL au voisinage de $a$

$\bullet$ lorsque $a \in \mathbb{R}$ , par utilisation de la formule de Taylor Young, à condition que la fonction $f$ soit de classe $C^n$ au voisinage de $a$ .

$\bullet$ ou par changement d’inconnue (en posant $u = x - a$ si $a \in \mathbb{R}^*$ ou $t = 1/x$ si $a = \infty$ ), à condition d’obtenir un DL calculable en 0.

quand les calculs sont terminés, ne pas développer les puissances de $x - a$ obtenues.

3.9. D.L d’une fonction réciproque

rappels : si $f$ est une fonction continue sur l’intervalle $I$ et strictement monoto- ne, $f$ définit une bijection de $I$ sur $f(I)$ .

Si l’on suppose de plus que $f$ est de classe $C^n$ sur $I$ et que pour tout $x$ de $I$ , $f ' (x) \neq 0$ , la fonction réciproque $g$ de $f$ est de classe $C^n$ sur $f(I)$ .

Conséquence : Si les hypothèses ci-dessus sont vérifiées et si $I$ est un intervalle contenant $0$ , $g = f^{-1}$ est de classe $C^n$ au voisinage de $b = f( 0 )$ donc admet un développement limité à l’ordre $n$ au voisinage de $b$ .

On écrit le DL de $f(x)$ en $0$ à l’ordre $n$ et celui de $g$ en $b$ sous la forme

$\displaystyle g(t)\underset {t \to b } {=} \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \gamma_k \, (t - b) ^k + \textrm{o} ((t - b)^n)$

et en écrivant que $f ^{-1 } \circ f (x) = x$ et en calculant le DL de cette égalité à l’ordre $n$ en $0$ , par unicité du DL de la fonction $x \mapsto x$ en $0$ , on obtient un système d’équations permettant de calculer les $\gamma _k\,$ .

exemple :

Existence de la fonction réciproque de $f : x \mapsto x + \ln(1 + x)$ et détermination du DL de la fonction réciproque à l’ordre $3$ en $0$ .

Correction :

$f : x \mapsto x + \ln(1 + x)$ est de classe $C ^{\infty}$ sur $]- 1 , \,+ \infty[$ et $f'(x) = \displaystyle 1 + \frac 1 {1 + x} > 0$

$f$ admet $- \infty$ pour limite à droite en $-1$ et $+\infty$ pour limite en $+\infty$ . Donc $f$ définit une bijection de

$]- 1 , \, + \infty[$ sur $\mathbb{R}$ et sa fonction réciproque $g$ est de classe $C ^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ .

De plus $g(0) = 0$ donc $g$ admet un développement limité à l’ordre $3$ en $0$ donné par $\quad g(y) \underset {y \to 0} = a\, y + b \, y^2 + c \, y^3 + \textrm{o} (y ^3)$ .

Et $\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = 2 \, x - \frac {x^2} 2 + \frac {x^3} 3 + \textrm{o} (x^3)$ .

On peut effectuer la composition des DL pour trouver le DL de $g \circ f$ en $0$

$\displaystyle g \circ f (x) \underset {x \to 0} = a \left (2 \, x - \frac {x^2} 2 + \frac {x^3} 3 \right )$ $\quad \quad +\, b \, \left ( 4 \, x^2 - 2 \, {x^3} \right) + 8 \, c \, x^3 + \textrm{o}(x^3)$

$\displaystyle g \circ f (x) \underset {x \to 0} = 2 \, a \, x + \left ( - \frac {a} 2 + 4 \, b \right ) x ^2$ $\displaystyle \quad \quad + \, \left ( \frac {a} 3 - 2 \, {b} + 8 \, c \right ) \, x^3 + \textrm{o}(x^3)$

or $g \circ f(x) = x$ , donc par unicité du DL, on obtient les CNS

$\left \{ \begin{matrix} 2 \, a= 1 \\ - a/ 2 + 4 \, b = 0 \\ a/3 -2 \, b + 8 \, c = 0 \end{matrix} \right.$

ssi $\displaystyle a = \frac {1} 2 , \, b = \frac 1 {16}$ et $\displaystyle c =\frac {-1} {192}$

donc $\displaystyle f ^{- 1} (y) \underset {y \to 0} = \frac y 2 + \frac {y ^2} {16} - \frac {y ^3} {192} + \textrm{o} (y ^3)$ .

4. Les développements limités classiques à connaître

$\displaystyle \frac 1 {x + 1} \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n (-1) ^k \, x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)$

$\displaystyle \frac 1 {1 -x} \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)$

$\displaystyle \ln(1 + x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 1} ^n \frac {(-1) ^{k - 1} } {k} \, x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)$

qui permet de trouver
$\displaystyle \ln(1 - x) \underset {x \to 0} = - \sum _{k = 1} ^n \frac {1 } {k} \, x ^k + \, \textrm{o} \, (x^n)$

$\displaystyle \textrm{Arctan} (x) \underset {x \to 0} =$ $\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k } {2 \, k + 1} \, x ^{2\, k + 1} + \, \textrm{o} \, ( x^{2\, n + 2})$

$\displaystyle (1 + x) ^{\alpha} \underset {x \to 0} =1 \; +$ $\displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac {\alpha(\alpha - 1) \cdots (\alpha - k + 1) } {k!} \, x^k + \textrm{o} (x ^n)$

$\displaystyle \textrm{e} ^x \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {x^k} {k !} + \, \textrm{o} \, (x^n)$

$\displaystyle \textrm{ch} (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {x^{2 \, k} } {(2\, k) !} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +1 } )$

$\displaystyle \textrm{sh} (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {x ^{2 \, k + 1} } {(2\, k +1 ) !} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +2 } )$

$\displaystyle \cos (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k } {(2\, k) !} x ^{2 \, k} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +1 } )$

$\displaystyle \sin (x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n \frac {(-1) ^k\, x^{2 \, k + 1} } {(2\, k +1 ) !} + \, \textrm{o} \, (x^{2 \,n +2 } )$

$\displaystyle \tan(x) \underset{x \to 0} = x + \frac {x^3} 3 +\, \textrm{o} \, (x^3)$

et ceux à savoir retrouver

$\displaystyle \sqrt{1 + x} \underset {x \to 0} = 1 + \frac x 2 - \frac {x^2} 8 + \frac {x^3 } {16}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \frac {5 \, x^4} {128} + \textrm{o} (x ^4)$

$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} = 1 - \frac x 2 + \frac {3 \, x^2} 8 - \frac {5\, x^3}{16}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\frac {35\, x^4 } {128} + \textrm{o} (x ^4)$

$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1 + x}} \underset {x \to 0} =$ $\quad \quad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac {(-1)^k} {2 ^{2 \, k} } \binom {2 \, k} k \, x^k + \textrm{o} (x ^n)$ .

5. Utilisation des développements limités en MPSI, PTSI, MP2I et PCSI

5.1. Trouver un équivalent

On suppose que l’on a obtenu le DL de $f$ à l’ordre $n$ au voisinage de $a$ , de partie régulière non nulle :

$\ast$ si $a \in \mathbb{R}$ ,

$f(x) \displaystyle \underset {x \to a} = \sum _{i = 0} ^n \alpha _i \, (x - a) ^i + \textrm{o} ((x - a )^n)$

$\ast$ si $a = \infty$ ,

$f(x) \displaystyle \underset {x \to \infty} {=} \sum _{i = 0} ^n \alpha _i \,\frac 1 {x ^i } + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x ^n} \right )$ .

On note $p$ le plus petit entier tel que $\alpha _ p$ soit non nul, alors

$\quad \quad \ast$ $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} \sim \alpha_p (x - a) ^p$ si $a \in \mathbb {R}$

$\quad \quad \ast$ $\displaystyle f(x) \underset {x \to a} \sim \frac {\alpha_p} {x^p}$ si $a = \infty$ .

Important : on ne conserve qu’un seul terme du DL lorsque l’on écrit un équivalent.

En général, il faut utiliser un DL quand on cherche un équivalent de $f$ , formée d’une somme ou d’une différence.

5.2. Caractère local

Un DL ne donne des renseignements qu’au voisinage du point considéré.

Il ne permet pas de donner le signe de $f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , mais si l’on peut en déduire qu’il existe

$p \in \mathbb{N}^*$ et $\displaystyle \alpha_p \neq 0$ tels que $f(x) \underset {x \to a} \sim \alpha_p (x - a) ^p$ , il permet de dire que, pour $\vert x - a \vert$ assez petit, $f(x)$ et $\alpha _p (x - a)^p$ sont de même signe.

5.3. Recherche de la limite d’un quotient

Dans le cas d’une forme indéterminée 0/0, on cherche un équivalent du dénominateur et on écrit le DL du numérateur au même ordre.

Dans le cas d’une différence de quotients, réduire auparavant au même dénominateur.

5.4. Étude d’une courbe au voisinage de $a$

Dans la plupart des cas, il suffit d’avoir le DL de $f$ à l’ordre 2 en $a$ (à l’ordre 3 si $f$ est impaire et si $a = 0$ ).

Si l’on obtient

$\displaystyle f(x) \underset {x \to a} = \alpha + \beta \, (x - a) + \gamma \, (x - a)^2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, \textrm{o}\, ( (x - a)^2 )$

$\bullet$ Si nécessaire, on prolonge $f$ par continuité en $a$ , en posant $f(a) = \alpha$ . Alors $f$ est dérivable en

$a$ et $f '(a) = \beta$ .

$\bullet$ Une équation de la tangente en $(a , f(a) )$ est $y = \alpha + \beta (x - a)$ .

Pour étudier la position par rapport à la tangente, on étudie le signe de $f(x) - y$ :

$\ast$ si $\gamma \neq 0$ , le signe de $f(x) - y$ est le signe de $\gamma (x - a)^2$ donc le signe de $\gamma$ pour $\vert x - a\vert$ assez petit.

$\ast$ si $\gamma = 0$ , il faut refaire le DL de $f$ à un ordre plus élevé et dans le cas où l’on a obtenu

$\displaystyle f(x) - y \underset {x \to a} \sim \alpha_p (x - a) ^p$ ,

$f(x) - y$ est alors du signe de $\alpha_p (x - a) ^p$ pour $\vert x - a\vert$ assez petit.

Lorsque $p$ est impair, $f(x) - y$ change de signe en $a$ : la courbe traverse sa tangente en $(a , \, f(a))$ , on dit que le graphe $\Gamma$ admet un point d’inflexion en $(a , \, f(a))$ .

$\bullet$ Étude des points critiques : (points tels que $f'(a) = 0$ ).

Dans le cas où l’on peut trouver $p \geq 2$ et $\alpha \neq 0$ tels que $\quad \quad \quad f(x) - f(a) \displaystyle \underset {x \to a} \sim \alpha\, (x - a) ^p$

$\ast$ si $p$ est pair, $f$ admet un maximum local en $a$ si $\alpha > 0$ et un minimum local si $\alpha < 0$

$\ast$ si $p$ est impair, $f(x) - f(a)$ change de signe en $a$ , la courbe traverse sa tangente en $(a , f(a))$ , on a un point d’inflexion à tangente horizontale.

(on trouve $p$ et $\alpha$ en utilisant un DL en $a$ de $f$ ).

5.5. Utilisation des DL dans l’étude des asymptotes obliques

On pose $\displaystyle t = \frac 1 x$ et on calcule le DL de $\displaystyle t \mapsto t f \left ( \frac 1 t \right )$ à l’ordre $2$ quand $t$ tend vers 0.

On obtient une expression de la forme

$\displaystyle t\, f \left ( \frac 1 t \right ) \underset {t \to 0} {=} a + b\, t + c\, t^2 + \textrm{o} (t^2 )$ soit $\displaystyle f(x) \underset {x \to \infty} {= } a\, x + b + \frac c x + \textrm{o} \left ( \frac 1 x \right )$ .

La courbe représentative $\Gamma$ de $f$ admet une asymptote $\Delta$ d’équation $\quad \quad \quad \quad y = a\, x + b$ .

Pour $c \neq 0$ , le signe de $f(x) - a\, x - b$ est celui de $\displaystyle \frac c x$ et il donne la position de la courbe par rapport à l’asymptote.

Dans le cas $c = 0$ , il faut refaire le DL de $\displaystyle t \mapsto t \, f \left ( \frac 1 t \right )$ à un ordre plus élevé.

Exemple

Étude des branches infinies de $\quad f : x \mapsto (x + a) \, \textrm{e} ^{1/x}$ où $a \in \mathbb{R}$ .

Correction :

$f : x \mapsto (x + a) \, \textrm{e} ^{1/x}$ où $a \in \mathbb{R}$ .

On note $t = \displaystyle \frac 1 x$ , $\displaystyle t\, f \left ( \frac 1 t \right ) = (1 + a\, t) \, \textrm{e} ^t$ .

Pour éviter un calcul supplémentaire qui serait dû à une valeur de $a$ annulant le coefficient de $t^2$ , on prend la précaution de calculer le développement limité à l’ordre 3 et non 2.

$\displaystyle t \, f \left ( \frac 1 t \right ) \underset {t \to 0} = (1 + a\, t) \,$ $\displaystyle\quad \quad \quad \quad \quad \times\left ( 1 + t + \frac {t ^2} 2 + \frac {t ^3} 6 + \textrm{o} (t ^3) \right )$

$\displaystyle t \, f \left ( \frac 1 t \right )\underset {t \to 0} = 1 + (a+ 1) \, t + \left (\frac 1 2 + a \right ) t ^2$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \left ( \frac 1 6 + \frac a 2 \right ) \, t ^3 + \textrm{o} (t ^3)$

donc

$\displaystyle f (x) \underset {x \to \infty} = x + (a+ 1) + \left (\frac 1 2 + a \right ) \frac 1 x$ $\displaystyle \quad \quad \quad\quad + \, \left ( \frac 1 6 + \, \frac a 2 \right ) \,\frac 1 {x^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x^2} \right )$

ce qui donne $\displaystyle \lim _ {x \to \infty} f(x) - x - a - 1 = 0$

La droite $\Delta$ d’équation $y = x + a + 1$ est asymptote à la courbe $\Gamma$ .

On étudie le signe de $f(x) - y$ au voisinage de $\infty$ .

$\ast$ si $a \neq - 1/2$ , $\displaystyle f (x) - x - a - 1 \underset {x \to \infty} \sim \left (\frac 1 2 + a \right ) \frac 1 x$

au voisinage de $\infty$ , $f(x) - y$ est du signe de $(2\, a + 1) x$

$\ast$ si $a > - 1/2$ , la courbe est au dessus de l’asymptote si $x \to + \infty$ et en dessous si $x \to - \infty$

$\ast$ si $a < - 1/2$ , la courbe est au dessus de l’asymptote si $x \to - \infty$ et en dessous si $x \to + \infty$ .

$\ast$ si $a = - 1 /2$ ,

$\displaystyle f (x) \underset {x \to \infty} = x + \frac 1 2 - \frac 1 {12}\frac 1 {x ^2 } + \textrm{o} \left ( \frac 1 {x^2} \right )$

$\displaystyle f(x) - x - \frac {1 } 2 \underset {x \to \infty } \sim - \frac 1 {12}\frac 1 {x ^2 }$ donc est négatif au voisinage de l’infini.

La courbe est située sous l’asymptote.

Les cours de maths dispensés en prépa ne sont évidemment pas suffisants pour espérer avoir une bonne moyenne. Par conséquent, ces cours en ligne au programme de Maths pour les Maths Sup vous offrent la possibilité de compléter chez vous, les enseignements reçus en cours. Tous les chapitres de maths de MPSI, PTSI et PCSI sont disponibles, dont les chapitres suivants :

Cours : Développements limités en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI

Résumé de cours et méthodes – Maths Sup Développements limités

Plan :

1. Définitions des DL en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI

PROF DE MATHS PARTICULIER

Des cours de qualité et enseignants aguerris

Préparer des concours ou s'exercer

2. Pour démontrer que $f$ A UN DÉVELOPPENT LIMITÉ

3. Opérations sur les DL

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS

C'est gagner en autonomie

4. Les développements limités classiques à connaître

5. Utilisation des développements limités en MPSI, PTSI, MP2I et PCSI

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